引言：命題風(fēng)格與考查方向2015年高考數(shù)學(xué)遼寧理科卷（使用新課標(biāo)Ⅱ卷）以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為綱領(lǐng)，延續(xù)“基礎(chǔ)為本、能力立意”的命題思路。全卷覆蓋函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何、數(shù)列、概率統(tǒng)計等核心板塊，通過“知識交匯、方法融合”的題型設(shè)計，檢驗學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算與創(chuàng)新思維能力。本文從題型特點、典型題目解析、命題趨勢三個維度展開，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與備考提供參考。一、選擇題：基礎(chǔ)與能力的雙重考查選擇題共12題（滿分60分），涵蓋集合、函數(shù)、立體幾何、不等式、概率、復(fù)數(shù)等知識點，注重對概念本質(zhì)的理解與靈活運用。典型例題1：函數(shù)性質(zhì)與分式不等式題目：已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(-x)=f(x)\)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，若\(f(2)=0\)，則不等式\(\frac{f(x)}{x}>0\)的解集為____。解題思路：1.奇偶性分析：由\(f(-x)=f(x)\)知\(f(x)\)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于\(y\)軸對稱；結(jié)合\((0,+\infty)\)單調(diào)遞減，可得\((-\infty,0)\)單調(diào)遞增。2.特殊點與符號分析：\(f(2)=0\)，故\(f(-2)=0\)；分式不等式\(\frac{f(x)}{x}>0\)等價于“\(x>0\)時\(f(x)>0\)”或“\(x<0\)時\(f(x)<0\)”。3.單調(diào)性應(yīng)用：\(x>0\)時，\(f(x)>0\)即\(f(x)>f(2)\)，因單調(diào)遞減，故\(0<x<2\)；\(x<0\)時，\(f(x)<0\)即\(f(x)<f(-2)\)，因\((-\infty,0)\)單調(diào)遞增，故\(x<-2\)。解集：\((-\infty,-2)\cup(0,2)\)。易錯點：忽略偶函數(shù)的對稱性導(dǎo)致單調(diào)性分析錯誤；分式不等式轉(zhuǎn)化時未考慮\(x\)的正負(fù)對不等號的影響。典型例題2：立體幾何三視圖還原題目：某幾何體的三視圖如圖（正視圖為等腰三角形，側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為矩形），則該幾何體的體積為____。解題思路：1.幾何體還原：由三視圖特征，幾何體為“底面是矩形的直四棱錐”（一條側(cè)棱垂直于底面）。2.尺寸對應(yīng)：底面矩形的長、寬由俯視圖得，高由正視圖（或側(cè)視圖）的等腰三角形高（或直角三角形直角邊）得。3.體積公式：\(V=\frac{1}{3}\times\text{底面積}\times\text{高}\)。易錯點：三視圖還原錯誤（誤判為棱柱或其他幾何體）；底面積或高的尺寸對應(yīng)錯誤（如正視圖的高與幾何體的高混淆）。二、填空題：知識交匯與技巧性計算填空題共4題（滿分20分），考查數(shù)列、向量、立體幾何、不等式等，注重對數(shù)學(xué)技巧（如賦值法、數(shù)列性質(zhì)、向量投影）的運用。典型例題3：等差數(shù)列性質(zhì)與前\(n\)項和題目：已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，則\(S_7=\)____。解題思路：1.等差數(shù)列性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)；且\(a_1+a_7=a_3+a_5=2a_4\)。2.求\(a_4\)：由\(a_3+a_4+a_5=12\)，得\(3a_4=12\)，故\(a_4=4\)。3.前\(n\)項和公式：\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=\frac{7\times2a_4}{2}=7a_4=28\)。易錯點：等差數(shù)列性質(zhì)記憶模糊（如未利用\(a_1+a_7=2a_4\)）；前\(n\)項和公式記錯（如誤將\(S_n\)記為\(na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)導(dǎo)致計算繁瑣）。典型例題4：向量模長與數(shù)量積題目：已知\(|\boldsymbol{a}|=2\)，\(|\boldsymbol|=1\)，\(\boldsymbol{a}\)與\(\boldsymbol\)的夾角為\(60^\circ\)，則\(|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol|=\)____。解題思路：1.模長公式：\(|\boldsymbol{m}|=\sqrt{\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{m}}\)，故\(|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol|=\sqrt{(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol)\cdot(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol)}\)。2.數(shù)量積展開：\(\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol+4\boldsymbol\cdot\boldsymbol}=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^2-4|\boldsymbol{a}||\boldsymbol|\cos\theta+4|\boldsymbol|^2}\)。3.代入計算：\(\sqrt{4-4\times2\times1\times\frac{1}{2}+4\times1}=\sqrt{4-4+4}=2\)。易錯點：模長公式理解錯誤（直接相減向量模長，如\(|\boldsymbol{a}|-2|\boldsymbol|\)）；數(shù)量積公式中夾角的余弦值符號錯誤。三、解答題：綜合能力的分層考查解答題共5題（含選做題，滿分70分），按“基礎(chǔ)—中檔—難題”梯度設(shè)置，考查數(shù)列/三角、立體幾何、概率統(tǒng)計、解析幾何、函數(shù)導(dǎo)數(shù)，選做題考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程或不等式選講。（一）數(shù)列解答題：遞推關(guān)系與求和題目：已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)（\(n\in\mathbb{N}^*\)），求\(\{a_n\}\)的通項公式及前\(n\)項和\(S_n\)。解題思路：1.構(gòu)造等比數(shù)列：遞推式\(a_{n+1}=2a_n+1\)為線性非齊次遞推，令\(a_{n+1}+\lambda=2(a_n+\lambda)\)，展開得\(\lambda=1\)，故\(\{a_n+1\}\)是以\(2\)為首項、\(2\)為公比的等比數(shù)列。2.通項公式：\(a_n+1=2^n\)，即\(a_n=2^n-1\)。3.前\(n\)項和：\(S_n=\sum_{k=1}^n(2^k-1)=\sum_{k=1}^n2^k-\sum_{k=1}^n1=(2^{n+1}-2)-n=2^{n+1}-n-2\)。易錯點：構(gòu)造等比數(shù)列時\(\lambda\)的求解錯誤；等比數(shù)列求和公式記錯（如首項或公比判斷錯誤）；分組求和時忽略\(\sum_{k=1}^n1\)的項數(shù)。（二）立體幾何解答題：線面平行與二面角題目：在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)為矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(E\)為\(PD\)的中點。（1）求證：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）若\(PA=AB=1\)，\(AD=\sqrt{3}\)，求二面角\(D-AE-C\)的余弦值。解題思路：1.線面平行證明：連接\(BD\)交\(AC\)于\(O\)，連接\(OE\)。由矩形性質(zhì)，\(O\)為\(BD\)中點；\(E\)為\(PD\)中點，故\(OE\parallelPB\)（中位線定理）。又\(OE\subset\)平面\(AEC\)，\(PB\not\subset\)平面\(AEC\)，故\(PB\parallel\)平面\(AEC\)。2.二面角求解（向量法）：建系：以\(A\)為原點，\(AB\)、\(AD\)、\(AP\)為\(x\)、\(y\)、\(z\)軸，得\(A(0,0,0)\)，\(D(0,\sqrt{3},0)\)，\(E(0,\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\)，\(C(1,\sqrt{3},0)\)。求法向量：平面\(DAE\)的法向量\(\boldsymbol{n_1}=(1,0,0)\)（沿\(x\)軸）；平面\(AEC\)的法向量\(\boldsymbol{n_2}=(-\sqrt{3},1,-\sqrt{3})\)（由\(\boldsymbol{AE}\)、\(\boldsymbol{AC}\)的點積為0求解）。余弦值：\(|\cos\langle\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle|=\frac{|\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\)。易錯點：（1）中位線找錯或線面平行判定定理條件遺漏；（2）建系錯誤（如軸的對應(yīng)關(guān)系混亂）；（3）法向量計算錯誤或二面角方向判斷錯誤。（三）解析幾何解答題：橢圓與直線的位置關(guān)系題目：已知橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的離心率為\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，點\((2,\sqrt{2})\)在\(C\)上。（1）求\(C\)的方程；（2）直線\(l\)不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，\(l\)與\(C\)交于\(A\)、\(B\)兩點，線段\(AB\)的中點為\(M\)，證明：直線\(OM\)的斜率與直線\(l\)的斜率的乘積為定值。解題思路：1.橢圓方程求解：由離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)得\(c=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)，結(jié)合\(a^2=b^2+c^2\)得\(b^2=\frac{a^2}{2}\)。代入點\((2,\sqrt{2})\)得\(\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1\)，解得\(a^2=8\)，\(b^2=4\)，故橢圓方程為\(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\)。2.定值證明：設(shè)\(l:y=kx+m\)（\(k\neq0,m\neq0\)），聯(lián)立橢圓方程得\((1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-8=0\)。由韋達(dá)定理，\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{2km}{1+2k^2}\)，\(y_0=kx_0+m=\frac{m}{1+2k^2}\)。直線\(OM\)的斜率\(k_{OM}=\frac{y_0}{x_0}=-\frac{1}{2k}\)，故\(k_{OM}\cdotk=-\frac{1}{2}\)（定值）。易錯點：（1）橢圓基本量關(guān)系錯誤（如\(a^2=b^2+c^2\)記錯）；（2）聯(lián)立方程時計算錯誤；（3）中點坐標(biāo)或斜率計算時符號/約分錯誤。四、命題特點與備考啟示命題特點1.核心考點突出：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何等主干知識占比超80%，且在各題型中反復(fù)考查（如函數(shù)性質(zhì)貫穿選擇、填空、解答題）。2.數(shù)學(xué)思想滲透：分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、方程思想貫穿全卷（如遞推數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想）。3.計算能力要求高：解析幾何、導(dǎo)數(shù)題運算量較大，需熟練掌握代數(shù)變形、韋達(dá)定理等技巧。4.創(chuàng)新意識考查：概率統(tǒng)計結(jié)合實際問題，選做題體現(xiàn)模塊差異，要求