§7.6空間向量的概念與運(yùn)算(分值：80分)一、單項選擇題(每小題5分，共20分)1.在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則AF12(AB+AC)等于A.EF B.BD C.EFD.DBD2.(2024·嘉興模擬)設(shè)x，y∈R，a=(1，1，1)，b=(1，y，z)，c=(x，4，2)，且a⊥c，b∥c，則|2a+b|等于()A.22 B.0 C.3 D.323.(2025·長春模擬)下列可使非零向量a，b，c構(gòu)成空間的一個基底的條件是()A.a，b，c兩兩垂直B.b=B.b=λc(λ∈R)C.a=mb+nc(m，n∈R) D.a+b+c=04.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，AD1·DCAB1·BC=4，則cos〈AA1A.23 B.23 C.34二、多項選擇題(每小題6分，共12分)5.下列命題正確的是()A.平面α，β的法向量分別為n1=(0，1，3)，n2=(1，2，6)，則α∥βB.直線l的方向向量為a=(1，1，2)，直線m的方向向量為b=2，1，-1C.直線l的方向向量為a=(0，1，1)，平面α的法向量為n=(1，1，1)，則l∥αD.平面α經(jīng)過A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)三點(diǎn)，向量n=(1，u，t)是平面α的一個法向量，則u+t=16.下列說法正確的是()A.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)(3，4，5)關(guān)于Oxy平面對稱的點(diǎn)為(3，4，5)B.對空間任意一點(diǎn)O與不共線的A，B，C三點(diǎn)，若OP=xOA+yOB+zOC，其中x，y，z∈R且x+y+z=1，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.已知a=(0，1，1)，b=(0，0，1)，則a在b上的投影向量為(0，0，1)D.向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則向量p在基底{a+b，ab，c}下的坐標(biāo)為(3，1，3)三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知a=(1，0，2)，b=(3，2，1)，c=(1，m，3)，若{a，b，c}不能構(gòu)成空間的一個基底，則實(shí)數(shù)m=.

8.(2024·佛山統(tǒng)考)已知棱長為1的正四面體ABCD，M為BC的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，則BN·DM=.

四、解答題(共28分)9.(13分)如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn).求證：(1)PB∥平面EFH；(5分)(2)PD⊥平面AHF.(8分)10.(15分)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1，CA=a，CB=b，CC1=c，〈a，b〉=〈a，c〉=2π3，〈b，c〉=π2，N(1)用a，b，c表示向量A1N；(5(2)在線段C1B1上是否存在點(diǎn)M，使AM⊥A1N？若存在，求出M的位置，若不存在，請說明理由.(10分)每小題5分，共10分11.(2024·河北省多校聯(lián)考)1941年中國共產(chǎn)黨在嚴(yán)重的困難面前，號召根據(jù)地軍民，自力更生，艱苦奮斗，尤其是通過開展大生產(chǎn)運(yùn)動，最終走出了困境.如圖就是當(dāng)時纏線用的線拐子，在結(jié)構(gòu)簡圖中線段AB與CD所在直線異面垂直，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD，線拐子使用時將絲線從點(diǎn)A出發(fā)，依次經(jīng)過D，B，C又回到點(diǎn)A，這樣一直循環(huán)，絲線纏好后從線拐子上脫下，稱為“束絲”.圖中AB=EF=CD=30cm，則絲線纏一圈的長度為()A.902cm B.903cmC.606cm D.803cm12.(2025·唐山模擬)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，CC1=C1D1=3，C1B1=1，點(diǎn)P為線段B1C上一點(diǎn)，則C1P·D1P

答案精析1.C[在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，則AB+AC＝2AE，所以AF－＝AF－AE2.D[由a⊥c?a·c＝0?x－4+2＝0?x＝2，由b∥c?12＝y(tǒng)-4＝z2?所以|2a+b|＝|2(1，1，1)+(1，－2，1)|＝|(3，0，3)|＝32.]3.A[由基底定義可知只有非零向量a，b，c不共面時才能構(gòu)成空間中的一個基底.對于A，因為非零向量a，b，c兩兩垂直，所以非零向量a，b，c不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，故A正確；對于B，b＝λc，則b，c共線，由向量特性可知空間中任意兩個向量是共面的，所以a與b，c共面，故B錯誤；對于C，由共面向量定理可知非零向量a，b，c共面，故C錯誤；對于D，a+b+c＝0，即a＝－b－c，故由共面向量定理可知非零向量a，b，c共面，故D錯誤.]4.B[因為AD1·DC－AB1·BC＝(AD+AA＝AD·AB+AA1·AB－AB·AD－AA1·AD＝所以AA1·BD＝－cos〈AA1，BD〉＝-42×3＝－5.BD[對于A，向量n1＝(0，1，3)與n2＝(1，2，6)不共線，平面α與β不平行，A錯誤；對于B，由a＝(1，－1，2)，b＝2，1，-12，得a·b＝1×2－1×1+2×-12＝對于C，a·n＝1×(－1)+(－1)×(－1)＝0，a⊥n，則l?α或l∥α，C錯誤；對于D，BA＝(1，－1，－1)，BC＝(－1，1，0)，由n＝(1，u，t)是平面α的一個法向量，得BA解得u+t＝1，D正確.]6.ABD[對于A，點(diǎn)(3，－4，5)關(guān)于Oxy平面對稱的點(diǎn)應(yīng)滿足橫、縱坐標(biāo)不變，豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，即為(3，－4，－5)，故A正確；對于B，因為x+y+z＝1，則z＝1－x－y，所以O(shè)P＝xOA+yOB+(1－x－y)OC，即OP－OC＝xOA－xOC+yOB－yOC，所以CP＝xCA+yCB，所以P，A，B，C四點(diǎn)共面，故對于C，由投影向量定義可得a在b上的投影向量為a·b|b|2b＝-11b＝－b＝(0，對于D，設(shè)向量p在基底{a+b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a+b)+y(a－b)+zc，又向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(4，2，3)，則p＝4a+2b+3c，所以4a+2b+3c＝x(a+b)+y(a－b)+zc＝(x+y)a+(x－y)b+zc，所以x+y所以向量p在基底{a+b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(3，1，3)，故D正確.]7.2解析依題意a，b，c三個向量共面，∴存在唯一有序?qū)崝?shù)對(λ，μ)，使c＝λa+μb，即(－1，m，3)＝λ(1，0，2)+μ(3，－2，1)，即λ+3μ8.－1解析由題意可知|BA|＝|BC|＝|BD|＝1，且BA·BC＝BA·BD＝因為M為BC的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，則BN＝1＝12所以BN·DM＝12BA＝14BA·BC+1＝14×12+14×19.證明(1)∵E，H分別是線段PA，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(xiàn)(0，1，1)，H(1，0，0).PD＝(0，2，－2)，AH＝(1，0，0)，AF＝(0，1，1)，∴PD·AF＝0×0+2×1+(－2)×1＝0，PD·AH＝0×1+2×0+(－2)×0＝0.∴PD⊥AF，PD⊥AH，∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF?平面AHF，∴PD⊥平面AHF.10.解(1)A1N＝A1A+AN＝C1C(2)假設(shè)存在點(diǎn)M，使AM⊥A1N，設(shè)C1M＝λC1B1＝λb(λ∈[顯然AM＝c－a+λb.因為AM⊥A1N，所以AM·A1N＝即(c－a+λb)·-12a所以－12c·a+12c·b－c2+12a2－12a·b+c·a－12λa·b+12λb2－設(shè)CA＝CB＝CC1＝1，又〈a，b〉＝〈a，c〉＝2π3，〈b，c〉＝π所以12c·a－c2+12a2－12+12λa·b+即12×1×1×-12－12+12×12－12+12λ×1×1×-1所以當(dāng)C1M＝23C1B1AM⊥A1N.11.C[依題意BE⊥EF，F(xiàn)D⊥EF，BE⊥FD，所以BE·EF＝0，F(xiàn)D·EF＝0，BE·FD＝0，又BD＝所以BD＝BE2+EF2+FD2+2BE·EF+2BE＝152+302+152＝152×6，所以|BD|＝156，同理可得|AD|＝|AC|＝|BC|＝156，所以絲線纏一圈的長度為4×156＝606(cm).]12.3解析以C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1D1，C1B1，C1C為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C