立體幾何點(diǎn)線面位置關(guān)系練習(xí)題集一、核心知識梳理立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系是空間圖形研究的基礎(chǔ)，需結(jié)合平面基本性質(zhì)與空間位置關(guān)系的判定/性質(zhì)定理分析：1.平面的基本公理公理1（直線在平面內(nèi)）：若一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，則直線在此平面內(nèi)（用于證明“線在面內(nèi)”）。公理2（平面交線）：若兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，則它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線（用于找平面交線、證明“點(diǎn)共線”“線共點(diǎn)”）。公理3（平面確定）：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面（推論：直線與直線外一點(diǎn)、兩條相交直線、兩條平行直線均能確定一個平面）。公理4（平行傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（空間中直線平行的傳遞性）。2.空間位置關(guān)系分類線線關(guān)系：平行（無公共點(diǎn)，方向相同）、相交（有且只有一個公共點(diǎn)）、異面（無公共點(diǎn)，不平行也不相交）。線面關(guān)系：直線在平面內(nèi)（有無數(shù)公共點(diǎn)）、直線與平面平行（無公共點(diǎn)）、直線與平面相交（有且只有一個公共點(diǎn)）。面面關(guān)系：平行（無公共點(diǎn)）、相交（有一條公共直線）。3.關(guān)鍵判定與性質(zhì)定理（舉例）線面平行：判定：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則直線與平面平行（\(l\not\subset\alpha,m\subset\alpha,l\parallelm\impliesl\parallel\alpha\)）。性質(zhì)：若直線與平面平行，過直線的平面與原平面相交，則直線與交線平行（\(l\parallel\alpha,l\subset\beta,\alpha\cap\beta=m\impliesl\parallelm\)）。線面垂直：判定：若一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直（\(l\perpm,l\perpn,m\capn=P,m,n\subset\alpha\impliesl\perp\alpha\)）。性質(zhì)：垂直于同一平面的兩條直線平行（\(l\perp\alpha,m\perp\alpha\impliesl\parallelm\)）。面面平行：判定：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行（\(m\subset\alpha,n\subset\alpha,m\capn=P,m\parallel\beta,n\parallel\beta\implies\alpha\parallel\beta\)）。性質(zhì)：若兩個平行平面同時與第三個平面相交，則交線平行（\(\alpha\parallel\beta,\alpha\cap\gamma=m,\beta\cap\gamma=n\impliesm\paralleln\)）。二、基礎(chǔ)練習(xí)題題1：命題真假判斷判斷下列命題的真假，若假請舉反例：(1)若兩條直線無公共點(diǎn)，則它們平行；(2)若直線\(l\parallel\)平面\(\alpha\)，則\(l\)與\(\alpha\)內(nèi)任意直線平行；(3)若兩個平面有三個公共點(diǎn)，則兩平面重合。題2：線面平行的證明在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)為\(DD_1\)中點(diǎn)，求證：\(B_1C\parallel\)平面\(ABE\)。題3：異面直線的判定在正四面體\(P-ABC\)中，判斷直線\(PA\)與\(BC\)的位置關(guān)系，并證明。題4：面面垂直的判定已知四邊形\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，求證：平面\(PAB\perp\)平面\(PBC\)。題5：點(diǎn)共線問題平面\(\alpha\cap\)平面\(\beta=l\)，點(diǎn)\(A\in\alpha\)且\(A\in\beta\)，點(diǎn)\(B\in\alpha\)且\(B\in\beta\)。求證：\(A,B\inl\)。三、進(jìn)階練習(xí)題題6：折疊中的位置關(guān)系將矩形\(ABCD\)沿對角線\(BD\)折疊，使點(diǎn)\(C\)落在平面\(ABD\)外的點(diǎn)\(C'\)處，求證：\(AC'\perpBD\)。題7：存在性問題在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是平行四邊形，\(E\)為\(PC\)中點(diǎn)。是否存在點(diǎn)\(F\)，使得\(BF\parallel\)平面\(ADE\)？若存在，指出\(F\)的位置；若不存在，說明理由。題8：綜合位置關(guān)系與角度在直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AC=BC=CC_1=2\)，求異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角的余弦值。四、解題思路與技巧1.證明“平行”的常用思路線線平行：利用公理4（平行傳遞性）、線面平行性質(zhì)（線面平行→線線平行）、面面平行性質(zhì)（面面平行→線線平行）、三角形中位線/平行四邊形對邊平行等。線面平行：構(gòu)造平面內(nèi)與已知直線平行的直線（如“找橋梁直線”或利用中點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系）。面面平行：證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面。2.證明“垂直”的常用思路線線垂直：利用線面垂直的性質(zhì)（線面垂直→線線垂直）、勾股定理逆定理、三垂線定理等。線面垂直：證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直。面面垂直：證明一個平面過另一個平面的一條垂線（面面垂直判定定理）。3.異面直線問題的處理判定：反證法（假設(shè)平行或相交，推出矛盾）；或證明兩條直線不共面。角度計(jì)算：通過平移（如利用棱柱的棱平行性）轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角。五、答案與解析題1解析(1)假。反例：正方體中，\(AB\)與\(CC_1\)無公共點(diǎn)，但它們是異面直線（不平行）。(2)假。反例：\(l\parallel\alpha\)時，\(l\)與\(\alpha\)內(nèi)的直線可能異面（如正方體中，\(A_1D_1\parallel\)平面\(ABCD\)，但\(A_1D_1\)與\(BC\)異面）。(3)假。反例：若三個公共點(diǎn)共線，則兩平面相交（如兩平面交線為\(l\)，\(l\)上有三點(diǎn)，兩平面仍相交）。題2解析思路：利用線面平行的判定，找平面\(ABE\)內(nèi)與\(B_1C\)平行的直線。在正方體中，\(B_1C\parallelA_1D\)（面對角線平行）。連接\(AE\)，易證\(A_1D\parallelAE\)（通過中點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形），故\(B_1C\parallelAE\)。因?yàn)閈(B_1C\not\subset\)平面\(ABE\)，\(AE\subset\)平面\(ABE\)，所以\(B_1C\parallel\)平面\(ABE\)。題3解析位置關(guān)系：異面直線。證明：正四面體\(P-ABC\)中，\(PA\)與\(BC\)無公共點(diǎn)（\(PA\)的端點(diǎn)\(P,A\)均不在\(BC\)上）；假設(shè)\(PA\parallelBC\)，則\(PA\)與\(BC\)共面，與正四面體的棱不共面矛盾（正四面體的棱無平行關(guān)系）。故\(PA\)與\(BC\)異面。題4解析思路：證明一個平面過另一個平面的垂線。因?yàn)閈(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(BC\subset\)平面\(ABCD\)，所以\(PA\perpBC\)。又四邊形\(ABCD\)是矩形，故\(AB\perpBC\)。\(PA\capAB=A\)，且\(PA,AB\subset\)平面\(PAB\)，所以\(BC\perp\)平面\(PAB\)。因?yàn)閈(BC\subset\)平面\(PBC\)，故平面\(PAB\perp\)平面\(PBC\)（面面垂直判定定理）。題5解析因?yàn)閈(A\in\alpha\)且\(A\in\beta\)，所以\(A\)在\(\alpha\)與\(\beta\)的交線\(l\)上（公理2：兩平面有一個公共點(diǎn)，則有且只有一條過該點(diǎn)的交線）。同理，\(B\in\alpha\)且\(B\in\beta\)，故\(B\inl\)。因此\(A,B\inl\)（點(diǎn)共線）。題6解析思路：折疊后利用線面垂直證明線線垂直。取\(BD\)中點(diǎn)\(O\)，連接\(AO,C'O\)。折疊前，矩形\(ABCD\)中，\(AO\perpBD\)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)），\(CO\perpBD\)。折疊后，\(C'O=CO\)，故\(C'O\perpBD\)。因?yàn)閈(AO\capC'O=O\)，且\(AO,C'O\subset\)平面\(AOC'\)，所以\(BD\perp\)平面\(AOC'\)。又\(AC'\subset\)平面\(AOC'\)，故\(BD\perpAC'\)（線面垂直→線線垂直）。題7解析存在性：存在，\(F\)為\(PD\)中點(diǎn)（或\(PB\)中點(diǎn)，需結(jié)合平行關(guān)系驗(yàn)證）。證明：取\(PD\)中點(diǎn)\(F\)，連接\(BF,EF\)。因?yàn)閈(E\)為\(PC\)中點(diǎn)，\(F\)為\(PD\)中點(diǎn)，故\(EF\parallelCD\)（三角形中位線）。又底面\(ABCD\)是平行四邊形，\(CD\parallelAB\)，所以\(EF\parallelAB\)。\(EF\)與\(AB\)平行且相等，故四邊形\(ABFE\)是平行四邊形，\(BF\parallelAE\)。因?yàn)閈(AE\subset\)平面\(ADE\)，\(BF\not\subset\)平面\(ADE\)，所以\(BF\parallel\)平面\(ADE\)。題8解析思路：平移異面直線，轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角。在直三棱柱中，\(AC\parallelA_1C_1\)，故異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角等于\(\angleBA_1C_1\)（或其補(bǔ)角）。計(jì)算得：\(A_1C_1=AC=2\)，\(A_1B=\sqrt{A_1A^2+AB^2}=\sqrt{2^2+(2\sqrt{2})^2}=2\sqrt{3}\)。由向量點(diǎn)積公式：\(\cos\