3.3解一元一次方程(一)——去括號與去分母掌握解一元一次方程的基本步驟,會用去括號與去分母的方法解一元一次方程,體會解一元一次方程中的轉(zhuǎn)化思想.能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程,進(jìn)一步體會建模思想，并能夠檢驗結(jié)果是否合理知識點一解一元一次方程——去括號1.去括號的方法把括號外的數(shù)或式子(帶著符號)與括號內(nèi)的每一項(帶著符號)相乘,再把所得的積相加.2.去括號的一般順序先去小括號,再去中括號,最后去大括號，一般是由內(nèi)向外去括號；也可以由外向內(nèi)去括號,先去大括號,再去中括號,最后去小括號,此時，要注意把里面的括號看作一個整體.3.去括號的依據(jù)乘法分配律:(其中可以是一個數(shù),也可以是整式，即單項式或多項式).4.去括號的目的與移項、合并同類項、系數(shù)化為1等變形相結(jié)合,最終將一元一次方程轉(zhuǎn)化為(常數(shù))的形式.注意：同學(xué)們，我們在解方程中的去括號法則與整式運算中的去括號法則相同,括號外的因數(shù)是正數(shù)時,去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同;括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)時,去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反；如果括號前是數(shù)字時,應(yīng)利用分配律先將數(shù)與括號內(nèi)的各項分別相乘,以免發(fā)生錯誤.即學(xué)即練（2024上·浙江臺州·七年級校考期中）解方程：；知識點二解一元一次方程——去分母1.去分母根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程各項都乘所有分母的最小公倍數(shù)，從而約去分母,把方程中各項的系數(shù)化成整數(shù).2.去分母的一般步驟(1)確定各分母的最小公倍數(shù):(2)方程兩邊同乘這個最小公倍數(shù),約去分母3.去分母時的注意事項(1)各項都要乘所有分母的最小公倍數(shù),不要漏乘沒有分母的項；(2)如果分子是一個多項式,去分母時要將分子作為一個整體加上括號;(3)分母含有小數(shù)的應(yīng)先化小數(shù)，分母為整數(shù)分母,再去分母;(4)化分母中的小數(shù)為整數(shù)不同于去分母，不是將方程兩邊乘同一個數(shù),而是將分子、分母乘同一個數(shù).即學(xué)即練（2024上·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）解方程時，去分母后正確的是（）A． B．C．3 D．3知識點三一元一次方程的解法綜合歸類解一元一次方程的基本思路是通過對方程變形，把含有未知數(shù)的項歸到方程的一邊,把常數(shù)項歸到方程的另一邊，最終把方程轉(zhuǎn)化成“”的形式.解一元一次方程的一般步驟如下表：步驟具體做法根據(jù)注意事項去分母在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)等式的性質(zhì)2(1)不要漏乘不含分母的項;(2)分?jǐn)?shù)線有括號的作用,去分母時,分子是多項式的要加上括號（簡記為“見多必括”）去括號將括號前面的系數(shù)與括號內(nèi)的各項相乘去括號法則、乘法分配律(1)不要漏乘括號里的任何一項;(2)不要弄錯符號移項把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊,常數(shù)項移到另一邊等式的性質(zhì)1(1)移項要變號;(2)不要丟項合并同類項把方程中的同類項分別合并,化“ax=b(a≠0)”的形式合并同類項法則未知數(shù)及其指數(shù)不變,系數(shù)相加兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù),得等式的性質(zhì)2(1)對于化簡后含字母系數(shù)的方程,要確保系數(shù)不為0時才能將系數(shù)化為1;(2)分子、分母不能顛倒注意：（1）同學(xué)們，我們在學(xué)習(xí)移項時一定要注意去分母與應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)變形的區(qū)別.去分母是把方程中的每一項都乘各分母的最小公倍數(shù)，與方程中的每一項都有關(guān);而應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)變形只是對方程中的某一個分?jǐn)?shù)進(jìn)行變形,與其他項無關(guān).（2）ax=b變形為(a≠0),當(dāng)a為整數(shù)時,兩邊直接除以a較為方便;當(dāng)a為分?jǐn)?shù)時,兩邊都乘它的倒數(shù)不容易出錯.解一元一次方程的常見錯誤(1)去分母時漏乘,忘記添括號;(2)去括號時沒注意符號變化或漏乘:(3)移項時沒改變符號;(4)方程兩邊同乘負(fù)數(shù)時容易出現(xiàn)符號的問題，導(dǎo)致解方程錯誤.知識點四列一元一次方程解應(yīng)用題1.分析分量關(guān)系利用一元一次方程解決實際問題時,要找出問題中的已知量與未知量的關(guān)系，并能夠找出題目中的等量關(guān)系2.列一元一次方程解決實際問題的基本步驟仔細(xì)審題:認(rèn)真讀題，反復(fù)審題，弄清問題中的已知量是什么,未知量是什么，并找出各數(shù)量之間的等量關(guān)系；設(shè)未知數(shù):一般設(shè)題目里所求的未知數(shù)是,特殊情況下也可設(shè)與所求量相關(guān)的另一個未知數(shù)為;（直接設(shè)元與間接設(shè)元）列方程:根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，利用等量關(guān)系列出方程;解方程:求未知數(shù)的值;檢驗所得的解是否正確，是否符合題意；（第一檢驗等式是否成立；第二檢驗時候復(fù)合題意）寫出答案.簡言之，審設(shè)列解驗答.注意：(1)設(shè)未知數(shù)列方程時,要注意單位的統(tǒng)一噢！這是題目常見陷阱哈！一般如果我們計算的數(shù)據(jù)非常極端時，就要考慮單位是否出現(xiàn)問題.(2)對于實際問題中的方程的解，必須檢驗是否符合實際意義,對與現(xiàn)實生活不符的結(jié)果,要進(jìn)行必要的取舍.即學(xué)即練（2024上·廣東河源·七年級統(tǒng)考期末）在甲處工作的有132人，在乙處工作的有108人，如要使乙處工作的人數(shù)是甲處工作人數(shù)的，應(yīng)從乙處調(diào)多少人到甲處？若設(shè)應(yīng)從乙處調(diào)x人到甲處，則下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．題型1去括號、去分母解一元一次方程例1（2025上·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?；(2)．舉一反三1（2025上·安徽六安·七年級校考期中）解方程：(1)；(2)．舉一反三2（2025上·北京西城·七年級北京市西城外國語學(xué)校?？计谥校┙庀铝蟹匠蹋?1)；(2)．題型2已知方程的解求參數(shù)的值例2（2024下·廣東深圳·七年級深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的方程的解滿足，則的值是（

）A． B．10 C． D．舉一反三1（2024上·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于的方程的解，則的值是．舉一反三2（2025上·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解為，則等于（

）A．4 B． C．3 D．題型3相反數(shù)、倒數(shù)與解方程的綜合問題例3若方程與的解互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．舉一反三1（2024上·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）已知方程的解和方程的解互為相反數(shù)，求a的值．舉一反三2（2025下·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知方程的解與關(guān)于x的方程的解互為倒數(shù)，求k的值．題型4解方程中的相同解問題例4（2024上·浙江臺州·七年級?？计谥校┤舴匠痰慕馀c關(guān)于x的方程的解相同，求k的值．舉一反三1（2024上·黑龍江大慶·七年級期末）若與的解相同，則k的值為（

）A． B．4 C．6 D．舉一反三2（2025上·重慶南岸·七年級?？计谀┮阎P(guān)于的方程與的解相同，則．題型5求方程的特殊解（整數(shù)解）問題例5（2024下·上海徐匯·六年級?？计谥校╆P(guān)于的方程的解是正整數(shù)，則整數(shù)的值為．舉一反三1（2024下·黑龍江齊齊哈爾·七年級克東縣第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）關(guān)于的方程的解為自然數(shù)，則整數(shù)的值為．舉一反三2（2025上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用表示不大于的最大整數(shù)，如，，則方程的解是．舉一反三3（2024上·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？甲灾髡猩┮阎P(guān)于x的方程的解都是整數(shù)，求整數(shù)的值．舉一反三4（2018上·北京·七年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元一次方程kx+x=5(k≠-1)(1)解方程(用含k的式子表示出此方程的解)；(2)當(dāng)k為哪些整數(shù)值時，此方程的解也為整數(shù)？題型6題型去分母解小數(shù)型方程例6解方程：．舉一反三1解方程:；舉一反三2（2025下·河南周口·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀與思考閱讀以下材料，完成任務(wù)．分子、分母含小數(shù)的一元一次方程的解法我們知道，解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，那么像這樣分子、分母均含有小數(shù)的方程如何求出它的解呢？下面是某同學(xué)的解答過程：解：原方程可化為，去分母，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．任務(wù)：(1)該同學(xué)由變形到是利用了（

）A．等式的基本性質(zhì)1

B．等式的基本性質(zhì)2C．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

D．去分母(2)請仿照上述方法解方程：．解題關(guān)鍵．題型7絕對值方程例7先閱讀下列解題過程，然后回答問題．解方程：．解：當(dāng)時，原方程可化為，解得；當(dāng)時，原方程可化為，解得．原方程的解是或．根據(jù)上面的解題過程，解方程：．舉一反三1（2024上·山西太原·七年級太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）探究發(fā)現(xiàn)閱讀下列解題過程并解答下列問題：解方程.解：①若時，原方程可化為一元一次方程，∴；②若時，原方程可化為一元一次方程，∴；③若時，則原式中，這顯然不成立，∴原方程的解是或.(1)解方程.(2)若方程的解也是方程的解，求的值.舉一反三2解方程：．題型8已知錯解求原方程的解例8（2024上·江西吉安·七年級校考階段練習(xí)）某同學(xué)在解方程時，方程右邊的沒有乘6，其他步驟正確，結(jié)果方程的解為．求a的值，并求出該方程正確的解．舉一反三1（2025上·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）解方程時，小剛在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．舉一反三2（2024上·湖北恩施·七年級?？计谀┬≤娡瑢W(xué)在解關(guān)于x的方程去分母時，方程右邊的沒有乘，因而求得方程的解為，則m的值和方程的正確的解分別為（

）A．2，2 B．，3 C．， D．3，3舉一反三3（2024上·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）小馬虎在解關(guān)于的方程去分母時，方程右邊的“”沒有乘以6，最后他求得方程的解為3．(1)求的值；(2)求該方程正確的解．題型9特殊解最值問題例9（2024上·福建福州·七年級福建省福州第十九中學(xué)?？计谥校τ趦蓚€不相等的有理數(shù)a、b，我們規(guī)定：min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．按照這個規(guī)定，解決下列問題：（1）填空：min{|﹣5|，2}＝．（2）解方程：min{﹣4，x2+1}＝min{x﹣1，3﹣2x}．舉一反三1（2025下·重慶·七年級統(tǒng)考期末）我們常用符號表示小于或者等于x的最大整數(shù)．例如，，，．由此可以知道，當(dāng)x為整數(shù)時，．請根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)______；______；______．(2)計算并找規(guī)律______；______

______；______根據(jù)以上計算，可歸納出：①當(dāng)x為整數(shù)時，______．②當(dāng)x不為整數(shù)時，______．(3)計算：(4)解關(guān)于x的方程：舉一反三2（2025上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知當(dāng)時，代數(shù)式的值為0；關(guān)于y的方程的解為；(1)求的值；(2)若規(guī)定表示不超過a的最大整數(shù)，例如：，請在此規(guī)定下求的值．題型10巧算解方程例10解方程：．舉一反三1（2024上·云南昆明·七年級?？计谥校┰诮庖辉淮畏匠虝r，巧妙利用整體法，可以達(dá)到簡化計算的效果．例如，在解方程時，把看作一個整體．令，得：，去括號，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化為1，得：，故，解得．閱讀以上材料，請用同樣的方法解方程：舉一反三2（2024上·河南許昌·七年級校聯(lián)考競賽）解方程，（2）舉一反三3（2024上·湖南郴州·七年級校考階段練習(xí)）將4個數(shù)a、b、c、d排成2行2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義，例如：，解方程：．舉一反三4解方程：．題型11整體思想之換元法解方程例11（2025上·七年級課時練習(xí)）解方程：．舉一反三1（2024上·山西忻州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，完成任務(wù)．七年級同學(xué)在學(xué)完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)在一元一次方程的部分習(xí)題和練習(xí)題中，存在著許多解題技巧，只要在解題中注重研究其結(jié)構(gòu)特點和特殊規(guī)律，巧妙地運用某些基本性質(zhì)、法則，就可以達(dá)成“一點通”的效果．小明是一名喜歡動腦筋的學(xué)生，在解方程時，不是直接給方程去括號，而是假設(shè)，然后把方程變形為：，，．，解，得．上面的問題中利用新的未知量來代替原來的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原來的未知量，從而得以求解，這種解方程的方法叫做換元法．任務(wù)：參照材料中的解題方法解方程．舉一反三2先看例子，再解類似的題目.例：解方程：.解：設(shè)，則原方程化為.解得.所以.解得.問題：用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解方程：.舉一反三3解方程．題型12利用方程思想求代數(shù)式的項和系數(shù)例12（2024上·河北·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）方程中被陰影蓋住的是一個常數(shù)，若該方程的解是，則這個常數(shù)是（

）A． B． C． D．舉一反三1（2025上·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）已知兩個關(guān)于x的整式，其中系數(shù)□被污染(1)若□是，化簡；(2)若時，的值為28，求原題中系數(shù)□所表示的數(shù)舉一反三2（2025上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）已知兩個整式，，其中系數(shù)■被污染．(1)若■是，化簡；(2)若時，的值為18．①說明原式中■是幾？②若的倒數(shù)等于本身，的值是多少？（2）①把代入，解方程即可求解；②根據(jù)倒數(shù)的定義求得，分別代入求解即可．【詳解】（1）（2）∵的倒數(shù)等于本身，∴，∵，∴或.【點睛】本題考查整式的加減混合運算，解一元一次方程，掌握基本的運算法則和順序，并注意題中要求，是解題關(guān)鍵．題型13裂項相消法解方程例13下列求和方法，相信你還記得：+++…+＝（1﹣）+（-）+（-）+…+（-）．請利用這個方法解方程+++…+＝2017，得x＝．舉一反三1（2024上·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期中）解方程：舉一反三2（2024上·江西撫州·七年級南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：．題型14利用框圖解方程例14（2024上·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下面解方程的途徑．(1)按照上述途徑，填寫下面的空格．(2)已知關(guān)于的方程的解是或（、、均為常數(shù)），求關(guān)于的方程（、為常數(shù)，）的解（用含、的代數(shù)式表示）．舉一反三1（2025上·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下面解方程的途徑．解方程方程的解是，→(1)按照上述途徑，填寫下面的空格．解方程方程的解是，→(2)已知關(guān)于x的方程的解是或（a、b、c均為常數(shù)），求關(guān)于x的方程（k、m為常數(shù)，）的解（用含k、m的代數(shù)式表示）．舉一反三2（2025下·四川內(nèi)江·七年級統(tǒng)考期末）閱讀解方程的途徑：

按照圖1所示的途徑，已知關(guān)于x的方程的解是或（a、b、c均為常數(shù)），則關(guān)于x的方程（k、m為常數(shù)，）的解為（

）A． B．C． D．題型15新定義之和差積商型解方程例15（2024下·四川資陽·七年級校考階段練習(xí)）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“和解方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；(2)請自行寫出一個除上述你方程外的“和解方程”：______(3)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．舉一反三1（2025上·江西贛州·七年級于都縣第二中學(xué)?？计谀┪覀円?guī)定關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程是“差解方程”，例如：的解為，則該方程就是“差解方程”，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：【定義理解】（1）判斷：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知識應(yīng)用】（3）已知關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，則__________．（4）已知關(guān)于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代數(shù)式的值．舉一反三2（2024上·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定：若關(guān)于的一元一次方程的解為，則稱該方程為“積解方程”．例如：的解為且，則稱方程是“積解方程”，請回答下列問題：(1)判斷一元一次方程是不是“積解方程”，并說明理由．(2)若關(guān)于的一元一次方程是“積解方程”，求的值并求出該方程的解．舉一反三3（2024上·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解為，則稱該方程為“商解方程”．例如：2＋x＝4的解為x＝2且，則方程2＋x＝4是“商解方程”．請回答下列問題：(1)判斷3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若關(guān)于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．題型16方程其他新定義問題例16（2025上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次方程（其中，、為常數(shù)），若這個方程的解恰好為，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程的解為，恰好為，則方程為“恰解方程”(1)已知關(guān)于的一元一次方程是“恰解方程”，則的值為______(2)已知關(guān)于的一元一次方程是“恰解方程”，且解為．求的值；(3)已知關(guān)于的一元一次方程和都是“恰解方程”，求代數(shù)式的值．舉一反三1（2024上·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程（其中，b為常數(shù)）若這個方程的解恰好為，則稱這個方程為“緣解方程”，例如：方程的解為，且．則方程為“緣解方程”．(1)已知關(guān)于x的一元一次方程是“緣解方程”則b的值為______；(2)已知關(guān)于x的一元一次方程是“緣解方程”，且解為，求m，n的值；(3)已知關(guān)于x的一元一次方程是“緣解方程”，求代數(shù)式的值．舉一反三2（2024上·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）定義：如果一個一元一次方程的一次項系數(shù)與常數(shù)項的差剛好是這個方程的解的2倍，則稱這個方程為妙解方程．如：方程中，，方程的解為，則方程為妙解方程．請根據(jù)上述定義解答：關(guān)于x的一元一次方程是妙解方程，則．舉一反三3（2024上·湖南長沙·七年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義：對于一個有理數(shù)x，我們把稱作x的“青一值”．若，則有理數(shù)x的“青一值”；若，則有理數(shù)x的“青一值”．例：；．（1）求有理數(shù)和的“青一值”；（2）已知有理數(shù)，，且它們的“青一值”相等，叫，試求代數(shù)式的值；（3）解方程：．舉一反三4（2025上·安徽淮北·七年級淮北市第二中學(xué)?？计谥校┒x：關(guān)于x的方程與方程（a，b均為不等于0的常數(shù)）互為“反對方程”例如：方程與方程互為“反對方程”．(1)若方程與方程互為“反對方程”，則______．(2)若關(guān)于x的方程與方程互為“反對方程”，求m，n的值．(3)若關(guān)于x的方程與其“反對方程”的解都是整數(shù)，求常數(shù)b的值．舉一反三5（2024上·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期末）規(guī)定：若兩個一元一次方程所含未知數(shù)相同，并且其中一個方程的解是另一個方程解的2倍，則這個方程叫做另一個方程的倍解方程.如一元一次方程的解是，的解是.10是5的2倍，因此一元一次方程是的倍解方程.已知關(guān)于的一元一次方程是的倍解方程，求的值.題型17題型解比例方程例17（2024上·湖北黃石·七年級統(tǒng)考期末）解比例或解方程．(1)(2)(3)舉一反三1（2024上·黑龍江大慶·六年級統(tǒng)考期末）解方程．(1)；(2)；(3)舉一反三2（2024下·黑龍江綏化·六年級?？计谀┙獗壤?1)(2)3.6∶x=2∶4.5(3)15∶3＝12∶x(4)34∶210＝x∶35舉一反三3（2024上·廣東珠?！て吣昙壗y(tǒng)考開學(xué)考試）解方程或解比例．(1)(2)(3)題型18題型定義新運算例18（2025上·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┒x一種新的運算：對于任意的有理數(shù)a，b，c，d都有，應(yīng)用新運算計算：(1)求的值；(2)如果，求x的值．舉一反三1（2025上·廣東廣州·七年級?？茧A段練習(xí)）廣大附中的學(xué)生們不僅喜歡鉆研數(shù)學(xué)問題，他們還喜歡自己命題相互考．下面是小張同學(xué)命制的試題，對于任意四個有理數(shù)，，，，我們給它一個規(guī)定：，例如：請根據(jù)上述規(guī)定的運算解決下列問題：(1)計算：；(2)計算：；(3)若有理數(shù)，求的值．舉一反三2（2025上·北京西城·七年級北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┦切乱?guī)定的這樣一種運算法則：，例如．(1)求的值；(2)若，求x的值．舉一反三3（2025上·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）課堂上，老師說：“我定義了一種新的運算，叫☆運算．”老師根據(jù)規(guī)律，寫出了幾組按照☆運算法則進(jìn)行運算的式子：第一組：；；第二組：；；第三組：；；；．小明說：我知道老師定義的☆運算法則了，聰明的你看出來了嗎？請你幫忙歸納☆運算法則：(1)歸納☆運算法則，填寫下列空白部分：①同號兩個數(shù)進(jìn)行☆運算時，結(jié)果的符號為負(fù)，數(shù)值部分取絕對值相加；②異號兩個數(shù)進(jìn)行☆運算時，____________；③特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行☆運算，或是任何數(shù)和0進(jìn)行☆運算都等于______；(2)填空：______；______；(3)若，求的值．題型19解方程糾錯問題例19（2025上·山西太原·七年級?？计谀┫旅媸切∮渫瑢W(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并解答問題．解方程：解：去分母，得．…第一步去括號，得．…第二步移項，得．…第三步合并同類項，得，…第四步方程兩邊同除以，得．…第五步(1)以上求解過程中，第三步的依據(jù)是；(2)從第步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是；(3)該方程正確的解為．舉一反三1（2025上·山西太原·七年級統(tǒng)考期末）（1）解方程：；（2）下面是小亮同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并解答相應(yīng)問題．解方程：．解：去分母，得．

第一步去括號，得．

第二步移項，得．

第三步合并同類項，得

第四步方程兩邊同除以，得．

第五步填空：①以上求解步驟中，第________步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是_____________________________；②該方程正確的解為________．舉一反三2（2025上·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）嘉琪同學(xué)在解方程：時，步驟如下：嘉琪的計算從第幾步開始出錯，錯誤的原因什么？請給出正確的解答過程．舉一反三3（2024上·河南鄭州·七年級校聯(lián)考期末）下面是小穎同學(xué)解一元一次方程的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．解方程：．解：去分母，得，?第一步去括號，得，?第二步___________，得，?第三步合并同類項，得，?第四步方程兩邊同除以3，得，?第五步(1)以上求解步驟中，第三步進(jìn)行的是___________，這一步的依據(jù)是___________；(2)以上求解步驟中，第___________步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤原因是___________；(3)請寫出正確解方程的過程．舉一反三4（2025下·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）老師讓同學(xué)們解方程，某同學(xué)給出了如下的解答過程：解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并得：，兩邊都除以7，得，

根據(jù)該同學(xué)的解答過程，你發(fā)現(xiàn)：(1)從第_______步開始出現(xiàn)錯誤，該步錯誤的原因是______________________；(2)請你給出正確的解答過程．題型20解一元一次方程分類討論問題例20（2014上·七年級課時練習(xí)）已知方程的解滿足，則．舉一反三1（2024上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期末）對于三個互不相等的有理數(shù)a，b，c，我們規(guī)定符號表示a，b，c三個數(shù)中較大的數(shù)，例如.按照這個規(guī)定則方程的解為．舉一反三2（2024下·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）解關(guān)于x的方程：．舉一反三3（2024上·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數(shù)的“”運算：．以表示對正整數(shù)進(jìn)行次“”運算．例如，表示對2進(jìn)行2次“”運算，由于2是偶數(shù)，因此，第一次運算的結(jié)果為，由于第一次運算的結(jié)果1是奇數(shù)，故第二次運算的結(jié)果為，所以的運算結(jié)果是6．據(jù)此回答：(1)求的運算結(jié)果；(2)若為偶數(shù)，且的運算結(jié)果為8，求的值；(3)求的運算結(jié)果．一、單選題1．（2025上·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期中）根據(jù)如圖所示的程序計算，若輸入的值為時，輸出的值為，輸入值為-1時，輸出值為()

A． B．1 C．3 D．42．（2025上·湖南長沙·七年級?？计谥校┓匠痰慕鉃椋?/p>

）A．2 B． C．3 D．3．（2025上·四川南充·七年級統(tǒng)考期末）解方程去分母不小心，變?yōu)椋玫浇鉃椋匠陶_的解應(yīng)為（

）A． B． C． D．4．（2025下·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習(xí)）已知方程的解是正數(shù)，則的最小整數(shù)解是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2025上·江蘇常州·七年級統(tǒng)考期末）若是關(guān)于x的方程的解，則a等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題6．（2024上·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定：如果關(guān)于的一元一次方程的解為，則稱該方程為和解方程．例如：的解為，且，故方程是和解方程．若關(guān)于的一元一次方程是和解方程，則．7．（2025上·廣東廣州·七年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于的方程的解是整數(shù)，則整數(shù)的值有（）A．4個 B．8個 C．12個 D．16個8．（2025下·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）若是關(guān)于方程的一個解，則的值是．三、解答題9．（2017上·廣東深圳·七年級深圳中學(xué)?？计谀┙夥匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．10．（2025上·湖北黃岡·七年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的方程與方程的解相同，求m的值．11．（2024上·江蘇·七年級專題練習(xí)）解方程：．12．（2025下·吉林長春·七年級統(tǒng)考期中）花花同學(xué)完成了一道解一元一次方程的作業(yè)題，解答過程如下：解方程：．解：．?①．?②．?③．?④．?⑤(1)上面的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤（填入編號），錯誤的原因是．(2)請完整地寫出正確的解答過程．13．（2025上·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）計算：．圓圓在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．(1)如果被污染的數(shù)字是，請計算．(2)如果計算結(jié)果等于14，求被污染的數(shù)字．14．（2025上·河南商丘·七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程為“差解方程”．例如：的解為2，且，則方程是差解方程．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)判斷是否為差解方程，并說明理由．(2)若關(guān)于x的一元一次方程是差解方程，求的值．15．（2024上·湖南長沙·七年級雅禮中學(xué)?？计谀┒x：對于一個有理數(shù)x，我們把[x]稱作x的對稱數(shù).若，則[x]=x-2:若x<0，則[x]=x+2.例：[1]=1-2=-1，[-2]=-2+2=0（1）求[]，[-1]的值；（2）已知有理數(shù)a>0.b<0，且滿足[a]=[b]，試求代數(shù)式的值：（3）解方程：[2x]+[x+1]=1

3.3解一元一次方程(一)——去括號與去分母掌握解一元一次方程的基本步驟,會用去括號與去分母的方法解一元一次方程,體會解一元一次方程中的轉(zhuǎn)化思想.能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系準(zhǔn)確列出方程,進(jìn)一步體會建模思想，并能夠檢驗結(jié)果是否合理知識點一解一元一次方程——去括號1.去括號的方法把括號外的數(shù)或式子(帶著符號)與括號內(nèi)的每一項(帶著符號)相乘,再把所得的積相加.2.去括號的一般順序先去小括號,再去中括號,最后去大括號，一般是由內(nèi)向外去括號；也可以由外向內(nèi)去括號,先去大括號,再去中括號,最后去小括號,此時，要注意把里面的括號看作一個整體.3.去括號的依據(jù)乘法分配律:(其中可以是一個數(shù),也可以是整式，即單項式或多項式).4.去括號的目的與移項、合并同類項、系數(shù)化為1等變形相結(jié)合,最終將一元一次方程轉(zhuǎn)化為(常數(shù))的形式.注意：同學(xué)們，我們在解方程中的去括號法則與整式運算中的去括號法則相同,括號外的因數(shù)是正數(shù)時,去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同;括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)時,去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反；如果括號前是數(shù)字時,應(yīng)利用分配律先將數(shù)與括號內(nèi)的各項分別相乘,以免發(fā)生錯誤.即學(xué)即練（2024上·浙江臺州·七年級?？计谥校┙夥匠蹋?；【答案】【分析】先去括號，再移項，合并同類項，未知項系數(shù)化為1，求解即可；【詳解】解：去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，解得，所以，是原方程的解.知識點二解一元一次方程——去分母1.去分母根據(jù)等式的性質(zhì)2,方程各項都乘所有分母的最小公倍數(shù)，從而約去分母,把方程中各項的系數(shù)化成整數(shù).2.去分母的一般步驟(1)確定各分母的最小公倍數(shù):(2)方程兩邊同乘這個最小公倍數(shù),約去分母3.去分母時的注意事項(1)各項都要乘所有分母的最小公倍數(shù),不要漏乘沒有分母的項；(2)如果分子是一個多項式,去分母時要將分子作為一個整體加上括號;(3)分母含有小數(shù)的應(yīng)先化小數(shù)，分母為整數(shù)分母,再去分母;(4)化分母中的小數(shù)為整數(shù)不同于去分母，不是將方程兩邊乘同一個數(shù),而是將分子、分母乘同一個數(shù).即學(xué)即練（2024上·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）解方程時，去分母后正確的是（）A． B．C．3 D．3【答案】D【分析】根據(jù)去分母和去括號法則，化簡后進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：方程去分母，得：，即：；故選：D．【點睛】本題考查一元一次方程去分母，去括號．熟練掌握去分母和去括號法則，是解題的關(guān)鍵．知識點三一元一次方程的解法綜合歸類解一元一次方程的基本思路是通過對方程變形，把含有未知數(shù)的項歸到方程的一邊,把常數(shù)項歸到方程的另一邊，最終把方程轉(zhuǎn)化成“”的形式.解一元一次方程的一般步驟如下表：步驟具體做法根據(jù)注意事項去分母在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)等式的性質(zhì)2(1)不要漏乘不含分母的項;(2)分?jǐn)?shù)線有括號的作用,去分母時,分子是多項式的要加上括號（簡記為“見多必括”）去括號將括號前面的系數(shù)與括號內(nèi)的各項相乘去括號法則、乘法分配律(1)不要漏乘括號里的任何一項;(2)不要弄錯符號移項把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊,常數(shù)項移到另一邊等式的性質(zhì)1(1)移項要變號;(2)不要丟項合并同類項把方程中的同類項分別合并,化“ax=b(a≠0)”的形式合并同類項法則未知數(shù)及其指數(shù)不變,系數(shù)相加兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù),得等式的性質(zhì)2(1)對于化簡后含字母系數(shù)的方程,要確保系數(shù)不為0時才能將系數(shù)化為1;(2)分子、分母不能顛倒注意：（1）同學(xué)們，我們在學(xué)習(xí)移項時一定要注意去分母與應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)變形的區(qū)別.去分母是把方程中的每一項都乘各分母的最小公倍數(shù)，與方程中的每一項都有關(guān);而應(yīng)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)變形只是對方程中的某一個分?jǐn)?shù)進(jìn)行變形,與其他項無關(guān).（2）ax=b變形為(a≠0),當(dāng)a為整數(shù)時,兩邊直接除以a較為方便;當(dāng)a為分?jǐn)?shù)時,兩邊都乘它的倒數(shù)不容易出錯.解一元一次方程的常見錯誤(1)去分母時漏乘,忘記添括號;(2)去括號時沒注意符號變化或漏乘:(3)移項時沒改變符號;(4)方程兩邊同乘負(fù)數(shù)時容易出現(xiàn)符號的問題，導(dǎo)致解方程錯誤.知識點四列一元一次方程解應(yīng)用題1.分析分量關(guān)系利用一元一次方程解決實際問題時,要找出問題中的已知量與未知量的關(guān)系，并能夠找出題目中的等量關(guān)系2.列一元一次方程解決實際問題的基本步驟仔細(xì)審題:認(rèn)真讀題，反復(fù)審題，弄清問題中的已知量是什么,未知量是什么，并找出各數(shù)量之間的等量關(guān)系；設(shè)未知數(shù):一般設(shè)題目里所求的未知數(shù)是,特殊情況下也可設(shè)與所求量相關(guān)的另一個未知數(shù)為;（直接設(shè)元與間接設(shè)元）列方程:根據(jù)所設(shè)的未知數(shù)和題目中的已知條件，利用等量關(guān)系列出方程;解方程:求未知數(shù)的值;檢驗所得的解是否正確，是否符合題意；（第一檢驗等式是否成立；第二檢驗時候復(fù)合題意）寫出答案.簡言之，審設(shè)列解驗答.注意：(1)設(shè)未知數(shù)列方程時,要注意單位的統(tǒng)一噢！這是題目常見陷阱哈！一般如果我們計算的數(shù)據(jù)非常極端時，就要考慮單位是否出現(xiàn)問題.(2)對于實際問題中的方程的解，必須檢驗是否符合實際意義,對與現(xiàn)實生活不符的結(jié)果,要進(jìn)行必要的取舍.即學(xué)即練（2024上·廣東河源·七年級統(tǒng)考期末）在甲處工作的有132人，在乙處工作的有108人，如要使乙處工作的人數(shù)是甲處工作人數(shù)的，應(yīng)從乙處調(diào)多少人到甲處？若設(shè)應(yīng)從乙處調(diào)x人到甲處，則下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】用含x的式子表示出調(diào)動后甲處和乙處的人數(shù)，再根據(jù)等量關(guān)系列方程即可．【詳解】解：設(shè)應(yīng)從乙處調(diào)x人到甲處，則甲處現(xiàn)有的工作人數(shù)為人，乙處現(xiàn)有的工作人數(shù)為人．根據(jù)“乙處工作的人數(shù)是甲處工作人數(shù)的”列方程得：，故選D．題型1去括號、去分母解一元一次方程例1（2025上·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟知等式的性質(zhì)．根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1即可．【詳解】（1）解：（2）解：舉一反三1（2025上·安徽六安·七年級?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了解一元一次方程，（1）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把系數(shù)化為，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把系數(shù)化為，即可求出解；熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，方程左右同乘得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，解得：；（2）解：，方程左右同乘得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，解得：．舉一反三2（2025上·北京西城·七年級北京市西城外國語學(xué)校校考期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程；（1）先去括號，再移項合并同類項，最后未知數(shù)系數(shù)化為1；（2）先去分母，然后去括號，再移項合并同類項，最后未知數(shù)系數(shù)化為1；解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般步驟，準(zhǔn)確計算．【詳解】（1）解：去括號得：，移項合并同類項得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：去分母得：，去括號得：，移項合并同類項得：，系數(shù)化為1得：；題型2已知方程的解求參數(shù)的值例2（2024下·廣東深圳·七年級深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于的方程的解滿足，則的值是（

）A． B．10 C． D．【答案】B【分析】先求出方程的解；再把求出的解代入方程，求關(guān)于m的一元一次方程即可．【詳解】解：∵，解得：，將代入方程得：，解得：，故選：B．【點睛】此題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．舉一反三1（2024上·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于的方程的解，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)方程解的定義，把代入方程即可得出的值．【詳解】解：關(guān)于的方程的解是，，．故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，掌握方程解的定義，以及一元一次方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三2（2025上·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于的方程的解為，則等于（

）A．4 B． C．3 D．【答案】A【分析】把代入方程得，再解方程即可得到答案．【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正確進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．題型3相反數(shù)、倒數(shù)與解方程的綜合問題例3若方程與的解互為相反數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先解，由兩個方程的解互為相反數(shù)，則把代入，解方程即可．【詳解】解：，，∵方程與的解互為相反數(shù)，∴的解為：，∴，，，解得：，故選：．【點睛】此題考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出關(guān)于的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．舉一反三1（2024上·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習(xí)）已知方程的解和方程的解互為相反數(shù)，求a的值．【答案】【分析】通過解方程求得的值．然后根據(jù)相反數(shù)的定義把的值代入方程，列出關(guān)于的新方程，通過解新方程可以求得的值．【詳解】解：解方程，解得：，則依題意，得，解得，．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的定義．使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，掌握一元一次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2025下·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知方程的解與關(guān)于x的方程的解互為倒數(shù)，求k的值．【答案】【分析】先求出第一個方程的解是，把代入第二個方程得出，求出k的值即可．【詳解】解方程得：，∵方程的解與關(guān)于的方程的解互為倒數(shù)，∴關(guān)于的方程的解是，把代入方程得：，解得．【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，解一元一次方程和一元一次方程的解等知識點，能得出關(guān)于k的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．題型4解方程中的相同解問題例4（2024上·浙江臺州·七年級校考期中）若方程的解與關(guān)于x的方程的解相同，求k的值．【答案】的值為【分析】先根據(jù)題意求出方程的解，之后把解代入方程即可求出．【詳解】解：，去括號，得，移項，得，合并，得，系數(shù)化為1，得，方程的解也是方程的解，，解得，的值為．【點睛】本題考查解一元一次方程和一元一次方程的解，掌握定義是關(guān)鍵．舉一反三1（2024上·黑龍江大慶·七年級期末）若與的解相同，則k的值為（

）A． B．4 C．6 D．【答案】B【分析】先求解方程，得到，再把代入方程求解即可.【詳解】解：解方程，得，把代入方程，得，解得；故選：B.【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正確理解題意、熟練掌握一元一次方程的解法是關(guān)鍵.舉一反三2（2025上·重慶南岸·七年級?？计谀┮阎P(guān)于的方程與的解相同，則．【答案】/0.5【分析】分別解出兩方程的解，兩解相等，就得到關(guān)于m的方程，從而可以求出m的值．【詳解】解：由，得，由，得，由關(guān)于的方程與的解相同，得，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了同解方程，解決的關(guān)鍵是能夠求解關(guān)于y的方程，根據(jù)同解的定義建立方程．題型5求方程的特殊解（整數(shù)解）問題例5（2024下·上海徐匯·六年級?？计谥校╆P(guān)于的方程的解是正整數(shù)，則整數(shù)的值為．【答案】8或/或8【分析】解一元一次方程，可得出，結(jié)合原方程的解是正整數(shù)且為整數(shù)，可得出或，解之即可得出的值．【詳解】解：，，．又原方程的解是正整數(shù)，且為整數(shù)，或，或．故答案為：8或．【點睛】本題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的解是正整數(shù)及是整數(shù)，找出關(guān)于的一元一次方程．舉一反三1（2024下·黑龍江齊齊哈爾·七年級克東縣第三中學(xué)?？奸_學(xué)考試）關(guān)于的方程的解為自然數(shù)，則整數(shù)的值為．【答案】l或3【分析】解關(guān)于的一元一次方程，分情況討論的取值．【詳解】解∶∵關(guān)于的方程的解為自然數(shù)，為整數(shù)，∴，∴或時，x為或，符合題意，故答案為∶或．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的解的定義，解一元一次方程．舉一反三2（2025上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）用表示不大于的最大整數(shù)，如，，則方程的解是．【答案】或【分析】利用不等式，求出的范圍，然后再代入原方程求出的值．【詳解】解：令代入原方程得，即，又，，整理得，即，或，將代入原方程得：，解得，將代入原方程得：，解得，經(jīng)檢驗，或是原方程的解．故答案為：或．【點睛】此題考查了取整函數(shù)的性質(zhì)，不等式組與方程的綜合．注意性質(zhì)的應(yīng)用．舉一反三3（2024上·廣東廣州·九年級廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？甲灾髡猩┮阎P(guān)于x的方程的解都是整數(shù)，求整數(shù)的值．【答案】，，，【分析】用因式分解法可得到根的簡單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定的值才能全面而準(zhǔn)確．【詳解】解：當(dāng)時，原方程為，所以，符合題意；當(dāng)時，原方程為，所以，符合題意；當(dāng)且時，原方程化為，解得，．為整數(shù)，且，均為整數(shù)根，，，，，得，，，，，，或，，，得，，，，．綜上所述，當(dāng)?shù)闹禐?，，，時，原方程的根都為整數(shù)．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解一元一次方程，整除，掌握一元二次方程的整數(shù)根與有理根的相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三4（2018上·北京·七年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知關(guān)于x的一元一次方程kx+x=5(k≠-1)(1)解方程(用含k的式子表示出此方程的解)；(2)當(dāng)k為哪些整數(shù)值時，此方程的解也為整數(shù)？【答案】（1）x=；（2）-6，-2，0，4【分析】（1）合并關(guān)于x的同類項，然后把系數(shù)化為1即可；（2）根據(jù)（1）中求得的結(jié)果討論即可.【詳解】（1）∵kx+x=5，∴(k+1)x=5，∵k≠-1∴x=;（2）∵x=，k為整數(shù)，方程的解為整數(shù)，∴k+1=-5，-1，1，5，∴k=-6，-2，0，4，【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．題型6題型去分母解小數(shù)型方程例6解方程：．【答案】【分析】利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，先將含有的小數(shù)化為整數(shù)，再按步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原方程可化為：，去分母，得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化為，得：.【點睛】本題考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．舉一反三1解方程:；【答案】【分析】先把小數(shù)都處理成整數(shù)，再按解一元一次方程的步驟計算即可．【詳解】解：原方程可化為：，去分母，可得：，去括號，可得：，移項，可得：，合并同類項，可得：，系數(shù)化為1，可得：．【點睛】本題考查一元一次方程的解法，一般解方程步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1．舉一反三2（2025下·河南周口·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀與思考閱讀以下材料，完成任務(wù)．分子、分母含小數(shù)的一元一次方程的解法我們知道，解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，那么像這樣分子、分母均含有小數(shù)的方程如何求出它的解呢？下面是某同學(xué)的解答過程：解：原方程可化為，去分母，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．任務(wù)：(1)該同學(xué)由變形到是利用了（

）A．等式的基本性質(zhì)1

B．等式的基本性質(zhì)2C．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

D．去分母(2)請仿照上述方法解方程：．【答案】(1)C(2)【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可解答．（2）根據(jù)題目中的解答過程解答即可．【詳解】（1）變形到，是分子與分母乘10，分子與分母乘2，分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整數(shù)，分式的值不變：分式的基本性質(zhì)故選：C．（2）方程可化為去分母，得，去括號，得，移項、合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．【點睛】本題考查了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，解一元一次方程．掌握解一元一次方程的步驟是解題關(guān)鍵．題型7絕對值方程例7先閱讀下列解題過程，然后回答問題．解方程：．解：當(dāng)時，原方程可化為，解得；當(dāng)時，原方程可化為，解得．原方程的解是或．根據(jù)上面的解題過程，解方程：．【答案】或【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，然后化為一元一次方程即可求得．【詳解】解：當(dāng)時，原方程可化為，解得；當(dāng)時，原方程可化為，解得．所以原方程的解是或．【點睛】本題主要考查含絕對值符號的一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的性質(zhì)將絕對值符號去掉，從而化為一般的一元一次方程求解．舉一反三1（2024上·山西太原·七年級太原師范學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）探究發(fā)現(xiàn)閱讀下列解題過程并解答下列問題：解方程.解：①若時，原方程可化為一元一次方程，∴；②若時，原方程可化為一元一次方程，∴；③若時，則原式中，這顯然不成立，∴原方程的解是或.(1)解方程.(2)若方程的解也是方程的解，求的值.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)例題可以分大于0、小于0和等于0三種情況進(jìn)行討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可求解；（2）首先解方程求得的值，然后代入求得的值，進(jìn)而求得代數(shù)式的值．【詳解】（1）解：原方程可以化成，當(dāng)時，原方程可以化成，解得：，當(dāng)時，原方程可化成，解得：，當(dāng)時，原式不成立．原方程的解是或；（2）∵解得或∵∴∴或，當(dāng)時，當(dāng)時．【點睛】本題考查了含有絕對值的方程的解法，正確進(jìn)行討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般的方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三2解方程：．【答案】【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時，則，當(dāng)，則，當(dāng)時，則，分別解一元一次方程，求得的值，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，原方程可化為：，，解得：，∵，∴不符合題意，舍去；當(dāng)時，原方程可化為：，．；當(dāng)時，原方程可化為：，與不相符，舍去；綜上所述，方程的解為：．【點睛】本題考查了絕對值的意義，解一元一次方程，代數(shù)式求值，求得的值是解題的關(guān)鍵．題型8已知錯解求原方程的解例8（2024上·江西吉安·七年級校考階段練習(xí)）某同學(xué)在解方程時，方程右邊的沒有乘6，其他步驟正確，結(jié)果方程的解為．求a的值，并求出該方程正確的解．【答案】，該方程正確的解為【分析】根據(jù)錯誤步驟得到，為方程的解，求出，將代入原方程，依次去分母、去括號、移項、合并同類項，即可解方程．【詳解】解：由題意可知，為方程的解，，解得：，將代入原方程，得：，去分母，得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，該方程正確的解為．【點睛】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法和步驟是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2025上·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）解方程時，小剛在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意按照小剛的解方程步驟解方程，再根據(jù)解為求出a的值，再按照正確的步驟解方程即可．【詳解】解：由題意得，小剛的解題過程如下：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，∵小剛的求解結(jié)果為，∴，∴，正確過程如下：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，故選D．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，正確理解題意還原小剛的解題過程從而求出a的值是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2024上·湖北恩施·七年級校考期末）小軍同學(xué)在解關(guān)于x的方程去分母時，方程右邊的沒有乘，因而求得方程的解為，則m的值和方程的正確的解分別為（

）A．2，2 B．，3 C．， D．3，3【答案】C【分析】根據(jù)題意，解得，根據(jù)方程的解為2，求得，然后將代入原方程，求得正確的解，即可求解．【詳解】解：∵去分母時，方程右邊的沒有乘，即，∴解得：，∵求得方程的解為，即∴原方程為∴即解得：，故選：C．【點睛】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．舉一反三3（2024上·安徽蕪湖·七年級統(tǒng)考期末）小馬虎在解關(guān)于的方程去分母時，方程右邊的“”沒有乘以6，最后他求得方程的解為3．(1)求的值；(2)求該方程正確的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得是方程的解，將之代入即可求出的值；（2）根據(jù)解一元一次方程的一般步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為；進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：由題意得，是方程的解，∴，解得；（2）原方程為，去分母得：，去括號得：，移項合并得：，系數(shù)化為得：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解本題的關(guān)鍵．題型9特殊解最值問題例9（2024上·福建福州·七年級福建省福州第十九中學(xué)?？计谥校τ趦蓚€不相等的有理數(shù)a、b，我們規(guī)定：min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如：min{﹣1，3}＝﹣1．按照這個規(guī)定，解決下列問題：（1）填空：min{|﹣5|，2}＝．（2）解方程：min{﹣4，x2+1}＝min{x﹣1，3﹣2x}．【答案】（1）2；（2）方程的解為或x=-3．【分析】（1）根據(jù)|﹣5|=5＞2比較大小得出2最小即可；（2）根據(jù)x2+1＞0＞-4，得出min{﹣4，x2+1}=-4，根據(jù)x﹣1=3﹣2x，解得，分兩種情況討論當(dāng)時x﹣1＞3﹣2x，得出min{x﹣1，3﹣2x}=3-2x，當(dāng)時x﹣1＜3﹣2x，得出min{x﹣1，3﹣2x}=x﹣1，然后列方程3-2x=-4，或x﹣1=-4解方程即可．【詳解】解：（1）∵|﹣5|=5＞2，∴min{|﹣5|，2}＝2，故答案為2；（2）∵x2+1＞0＞-4，∴min{﹣4，x2+1}=-4，∵x﹣1=3﹣2x，解得，當(dāng)時x﹣1＞3﹣2x，∴min{x﹣1，3﹣2x}=3-2x，∴3-2x=-4，解得；當(dāng)時x﹣1＜3﹣2x，min{x﹣1，3﹣2x}=x﹣1，x﹣1=-4，解得x=-3．綜合得方程的解為或x=-3．【點睛】本題考查新定義最小值問題，仔細(xì)閱讀題目，抓住兩個數(shù)比較大小，得出最小值，利用等式列方程是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2025下·重慶·七年級統(tǒng)考期末）我們常用符號表示小于或者等于x的最大整數(shù)．例如，，，．由此可以知道，當(dāng)x為整數(shù)時，．請根據(jù)以上信息，解決下列問題：(1)______；______；______．(2)計算并找規(guī)律______；______

______；______根據(jù)以上計算，可歸納出：①當(dāng)x為整數(shù)時，______．②當(dāng)x不為整數(shù)時，______．(3)計算：(4)解關(guān)于x的方程：【答案】(1)1，，6(2)0，0，，，0，(3)(4)無解【分析】（1）依據(jù)題意，逐個計算即可得解；（2）依據(jù)題目信息，逐個計算可以得解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合（1）（2）列出算式計算即可得解；（4）依據(jù)題意，分成兩種情況：①若為整數(shù)；②不是整數(shù)分別列方程計算即可得解．【詳解】（1）解：，，．故答案為：1，，6；（2），，，．根據(jù)以上計算，可歸納出：①當(dāng)為整數(shù)時，．②當(dāng)不為整數(shù)時，．故答案為：0，0，，，0，；（3）；（4）由題意，①當(dāng)為整數(shù)時，，．．．為整數(shù)，不合題意；②當(dāng)是不是整數(shù)時，結(jié)果必為整數(shù)，結(jié)果必然包含小數(shù)，原方程不成立；綜上所述，方程無解．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算和解一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是明確表示不超過的最大整數(shù)．舉一反三2（2025上·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知當(dāng)時，代數(shù)式的值為0；關(guān)于y的方程的解為；(1)求的值；(2)若規(guī)定表示不超過a的最大整數(shù)，例如：，請在此規(guī)定下求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把時，代數(shù)式，根據(jù)代數(shù)式值為0，得出m的值，將m的值和代入，求出n的值，即可求出；（2）先計算出，再根據(jù)題目所給新定義即可求解．【詳解】（1）解：∵當(dāng)時，代數(shù)式的值為0，∴將代入，得，解得∵關(guān)于的方程的解為，∴將代入，得，解得．∴．（2）解：由（1）知，，∴．【點睛】本題考查了方程的解的定義，以及解方程，正確求得m，n的值是關(guān)鍵．題型10巧算解方程例10解方程：．【答案】【分析】把方程左右兩邊分別通分后再去分母，即可求解．【詳解】方程兩邊分別通分后相加，得．化簡，得，去分母得：，去括號得：，移項合并得：解得：．【點睛】本題考查了解一元一次方程，本題若直接去分母，則兩邊應(yīng)同乘各分母的最小公倍數(shù)420，運算量大容易出錯，但是把方程左右兩邊分別通分后再去分母，會給解方程帶來方便．舉一反三1（2024上·云南昆明·七年級校考期中）在解一元一次方程時，巧妙利用整體法，可以達(dá)到簡化計算的效果．例如，在解方程時，把看作一個整體．令，得：，去括號，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化為1，得：，故，解得．閱讀以上材料，請用同樣的方法解方程：【答案】x=【分析】把x+2看作一個整體，再按照解一元一次方程的方法求解即可．【詳解】解：令a=x+2，則2a=2x+4，原方程得：，去括號，得：4a-20=1，移項，得：4a=21，系數(shù)化為1，得：a=．故x+2=，解得x=．【點睛】本題考查了解一元一次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．舉一反三2（2024上·河南許昌·七年級校聯(lián)考競賽）解方程，（1）（2）【答案】（1）x=6；（2）.【分析】（1）首先把分子和分母中的小數(shù)化為整數(shù)，然后按照去分母、去括號、合并同類項、移項、系數(shù)化為1的步驟解方程即可；（2）先變形為，再整理得，即可解.【詳解】解：（1）方程變形為，去分母得，去括號合并同類項得-10x+60=0,移項得-10x=-60,系數(shù)化為1得x=6.（2）方程變形為，∴∴∴，∴.【點睛】此題主要考查了解一元一次方程，正確掌握解方程的方法是解題關(guān)鍵．舉一反三3（2024上·湖南郴州·七年級校考階段練習(xí)）將4個數(shù)a、b、c、d排成2行2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義，例如：，解方程：．【答案】x=1【分析】根據(jù)新定義運算列方程，故可求解．【詳解】解：∵∴-5（x-3）-2（-3x+5）=6-5x+15+6x-10=6x=1．【點睛】此題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程求解．舉一反三4解方程：．【答案】【分析】方法1：先去中括號，再去大括號，化成一元一次方程的一般形式進(jìn)而求解；方法2：設(shè)，則則原方程可化為，解出y，然后再代回去解出x即可．【詳解】【方法1】去中括號得到：，整理得：，，，解得：．【方法2】設(shè)，則原方程可化為．整理，得．解得，即，∴．【點睛】仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)方程中含有未知數(shù)x的地方都有，遇到這種情況，我們可以先將看成一個整體，即利用換元法設(shè)，代入原方程求得y，再求x．對比兩種方法，方法一的計算比較煩瑣，容易將符號寫錯，而方法二顯得簡捷很多．題型11整體思想之換元法解方程例11（2025上·七年級課時練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】按照解一元一次方程的步驟，把看成整體來計算．【詳解】解：原方程可化為，，，解得．【點睛】本題考查解一元一次方程，把看成整體是關(guān)鍵．舉一反三1（2024上·山西忻州·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料，完成任務(wù)．七年級同學(xué)在學(xué)完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)在一元一次方程的部分習(xí)題和練習(xí)題中，存在著許多解題技巧，只要在解題中注重研究其結(jié)構(gòu)特點和特殊規(guī)律，巧妙地運用某些基本性質(zhì)、法則，就可以達(dá)成“一點通”的效果．小明是一名喜歡動腦筋的學(xué)生，在解方程時，不是直接給方程去括號，而是假設(shè)，然后把方程變形為：，，．，解，得．上面的問題中利用新的未知量來代替原來的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原來的未知量，從而得以求解，這種解方程的方法叫做換元法．任務(wù)：參照材料中的解題方法解方程．【答案】x=-4【分析】根據(jù)題示的方法，設(shè)7-2x=a，將原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程求解即可．【詳解】解：設(shè)7-2x=a，則原方程變形為：∴解得，a=15即7-2x=15，解得，x=-4【點睛】本題考查了換元法解方程．換元法的一般步驟為：設(shè)元，換元，解元，還原．舉一反三2先看例子，再解類似的題目.例：解方程：.解：設(shè)，則原方程化為.解得.所以.解得.問題：用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解方程：.【答案】【分析】根據(jù)例子，可設(shè)，則可將化為，解得方程即可.【詳解】解：設(shè)，則原方程化為.解得，所以.解得.【點睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握計算法則是解題關(guān)鍵.舉一反三3解方程．【答案】【分析】方程去分母，去括號，移項合并，將y系數(shù)化為1即可求出解．【詳解】解：原方程可化為，即．將看作一個整體進(jìn)行合并，得，所以，移項，得．【點睛】本題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，將未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．題型12利用方程思想求代數(shù)式的項和系數(shù)例12（2024上·河北·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）方程中被陰影蓋住的是一個常數(shù)，若該方程的解是，則這個常數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接把y的值代入，進(jìn)而計算得出答案．【詳解】解：把代入方程得解得：，故選：B．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正確代入解方程是解題關(guān)鍵．舉一反三1（2025上·陜西咸陽·七年級統(tǒng)考期末）已知兩個關(guān)于x的整式，其中系數(shù)□被污染(1)若□是，化簡；(2)若時，的值為28，求原題中系數(shù)□所表示的數(shù)【答案】(1)(2)10【分析】（1）根據(jù)整式的加減，先去括號，然后合并同類項；（2）把x的值代入計算即可；【詳解】（1）因為□是，所以

；（2）設(shè)，當(dāng)時，依題意得：解得故原題中系數(shù)□所表示的數(shù)是10【點睛】本題考查的是整式的加減，解一元一次方程，屬于基礎(chǔ)題.整式的加減的實質(zhì)就是去括號、合并同類項，一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．舉一反三2（2025上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）已知兩個整式，，其中系數(shù)■被污染．(1)若■是，化簡；(2)若時，的值為18．①說明原式中■是幾？②若的倒數(shù)等于本身，的值是多少？【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）去括號，合并同類項即可求解；（2）①把代入，解方程即可求解；②根據(jù)倒數(shù)的定義求得，分別代入求解即可．【詳解】（1）解：（2）解：①依題意得，，解得，；（2）∵的倒數(shù)等于本身，∴，∵，∴或.【點睛】本題考查整式的加減混合運算，解一元一次方程，掌握基本的運算法則和順序，并注意題中要求，是解題關(guān)鍵．題型13裂項相消法解方程例13下列求和方法，相信你還記得：+++…+＝（1﹣）+（-）+（-）+…+（-）．請利用這個方法解方程+++…+＝2017，得x＝．【答案】2018【分析】將原方程提出x化簡得：x[（1）+（）+（）+…+（）]=2017，再根據(jù)已知信息即可求得x的值．【詳解】∵（1）+（）+（）+…+（），∴由2017可得：x[（1）+（）+（）+…+（）]=2017即x（1）=2017，，x=2018．故答案為2018．【點睛】本題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是將原方程提出x化簡得：x[（1）+（）+（）+…+（）]=2017，進(jìn)而解答．舉一反三1（2024上·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期中）解方程：【答案】【分析】先裂項化簡，再通分，然后系數(shù)化為1即可．【詳解】裂項，得化簡，得通分，得系數(shù)化為1，得【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2024上·江西撫州·七年級南城縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程：．【答案】【分析】由題意可知然后問題可求解．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)裂項相消法進(jìn)行求解方程．題型14利用框圖解方程例14（2024上·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下面解方程的途徑．(1)按照上述途徑，填寫下面的空格．(2)已知關(guān)于的方程的解是或（、、均為常數(shù)），求關(guān)于的方程（、為常數(shù)，）的解（用含、的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①；②(2)，詳見解析【分析】（1）①把看作①的x,即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解；（2）按照圖1途徑得到或，然后解關(guān)于x的一元一次方程即可．【詳解】（1）根據(jù)圖1可得：①；②．故答案為：，（2）由題意得：或，解得：．【點睛】本題考查了解方程的整體思想與一元一次方程的解法，根據(jù)題意得出新的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三1（2025上·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下面解方程的途徑．解方程方程的解是，→(1)按照上述途徑，填寫下面的空格．解方程方程的解是，→(2)已知關(guān)于x的方程的解是或（a、b、c均為常數(shù)），求關(guān)于x的方程（k、m為常數(shù)，）的解（用含k、m的代數(shù)式表示）．【答案】(1)，；(2)或．【分析】（1）仿照材料可知，即可求解；（2）仿照材料可知或，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）解：由題意可知：，解得：，故答案為：，；（2）∵關(guān)于x的方程的解是或，∴方程中或，當(dāng)時，，當(dāng)時，；故方程的解為或．【點睛】本題考查了解一元一次方程及含絕對值的方程，利用換元的思想是解決問題的關(guān)鍵．舉一反三2（2025下·四川內(nèi)江·七年級統(tǒng)考期末）閱讀解方程的途徑：

按照圖1所示的途徑，已知關(guān)于x的方程的解是或（a、b、c均為常數(shù)），則關(guān)于x的方程（k、m為常數(shù)，）的解為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，則方程，即為方程，根據(jù)題意可得方程的解為或，由此求出對應(yīng)的x的值即可．【詳解】解：設(shè)，則，∴即為方程，∵關(guān)于x的方程的解是或（a、b、c均為常數(shù)），∴關(guān)于y的方程的解是或（a、b、c均為常數(shù)），∴或，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的特殊解法，正確理解題意利用換元的思想求解是解題的關(guān)鍵．題型15新定義之和差積商型解方程例15（2024下·四川資陽·七年級?？茧A段練習(xí)）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“和解方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；(2)請自行寫出一個除上述你方程外的“和解方程”：______(3)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．【答案】(1)(2)（答案不唯一）(3)【分析】（1）根據(jù)和解方程的定義即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)和解方程的定義寫出關(guān)于x的一元一次方程，即可；（3）根據(jù)和解方程的定義即可得出關(guān)于m、n的二元二次方程組，解之即可得出m、n的值．【詳解】（1）解：3x＝m，解得：，∵方程3x＝m是“和解方程”，∴，解得：；（2）解：方程是“和解方程”，理由：方程，解得：，∵，∴方程是“和解方程”；故答案為：（答案不唯一）（3）解：關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，∴，且，解得：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解、解一元一次方程以及二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)“和解方程“的定義列出關(guān)于m的一元一次方程；根據(jù)和解方程的定義列出關(guān)于m、n的二元二次方程組．舉一反三1（2025上·江西贛州·七年級于都縣第二中學(xué)?？计谀┪覀円?guī)定關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程是“差解方程”，例如：的解為，則該方程就是“差解方程”，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：【定義理解】（1）判斷：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知識應(yīng)用】（3）已知關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，則__________．（4）已知關(guān)于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代數(shù)式的值．【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0【分析】（1）根據(jù)差解方程的定義判斷即可；（2）根據(jù)差解方程的定義即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)差解方程的定義即可得出關(guān)于a、b的二元二次方程，整理即可得出；（4）根據(jù)差解方程的概念列式得到關(guān)于m、n的兩個方程，聯(lián)立求解得到m、n的關(guān)系，得出，，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：（1）∵方程的解為，∴方程是差解方程．故答案為：是；（2）由題意可知，由一元一次方程可知，∴，解得；（3）∵方程是“差解方程”，∴，解方程，得，∴，∴，即．故答案為：16；（4）∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∴．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解差解方程的概念并根據(jù)概念列出方程．舉一反三2（2024上·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定：若關(guān)于的一元一次方程的解為，則稱該方程為“積解方程”．例如：的解為且，則稱方程是“積解方程”，請回答下列問題：(1)判斷一元一次方程是不是“積解方程”，并說明理由．(2)若關(guān)于的一元一次方程是“積解方程”，求的值并求出該方程的解．【答案】(1)是，理由見解析(2)，方程的解為【分析】（1）根據(jù)“積解方程”的概念直接進(jìn)行判斷即可；（2）由題意易得，然后求解m的值，最后代入原方程進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：∵的解為，且，∴一元一次方程是“積解方程”；（2）解：∵一元一次方程是“積解方程”，∴，∵一元一次方程，∴，∴，解得：，∴方程的解為．【點睛】本題主要考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．舉一反三3（2024上·河南駐馬店·七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解為，則稱該方程為“商解方程”．例如：2＋x＝4的解為x＝2且，則方程2＋x＝4是“商解方程”．請回答下列問題：(1)判斷3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若關(guān)于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．【答案】(1)不是(2)m＝【分析】（1）求出方程的解是，再進(jìn)行判斷