圖論考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.一個連通圖的生成樹含有圖中（）。A.所有頂點B.部分頂點C.所有邊D.部分邊2.完全圖\(K_5\)的邊數(shù)是（）。A.10B.15C.20D.253.圖中度數(shù)為奇數(shù)的頂點個數(shù)必為（）。A.奇數(shù)B.偶數(shù)C.0D.任意數(shù)4.以下哪種圖一定是歐拉圖（）。A.連通圖B.樹C.連通且所有頂點度數(shù)為偶數(shù)的圖D.有哈密爾頓回路的圖5.最小生成樹是（）。A.連通無回路子圖B.權(quán)值最小的生成樹C.最大權(quán)值生成樹D.有向樹6.一個圖的鄰接矩陣中元素\(a_{ij}\)表示（）。A.頂點\(i\)到頂點\(j\)的邊數(shù)B.頂點\(i\)的度數(shù)C.頂點\(j\)的度數(shù)D.邊的權(quán)值7.圖\(G\)中從頂點\(u\)到頂點\(v\)的最短路徑長度是（）。A.邊數(shù)B.權(quán)值之和C.頂點數(shù)D.以上都不對8.若圖\(G\)是二分圖，則\(G\)中不存在（）。A.偶數(shù)長度回路B.奇數(shù)長度回路C.哈密爾頓回路D.歐拉回路9.樹\(T\)有\(zhòng)(n\)個頂點，則邊數(shù)為（）。A.\(n\)B.\(n-1\)C.\(n+1\)D.\(2n\)10.下列說法正確的是（）。A.連通圖一定有哈密爾頓路徑B.有歐拉回路的圖一定有哈密爾頓回路C.樹是連通無回路圖D.完全圖都不是平面圖二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于圖的表示方法的有（）。A.鄰接矩陣B.關(guān)聯(lián)矩陣C.邊集表示D.頂點集表示2.關(guān)于歐拉圖，正確的是（）。A.連通圖B.存在歐拉回路C.所有頂點度數(shù)為偶數(shù)D.存在歐拉路徑3.生成樹的性質(zhì)有（）。A.連通B.無回路C.包含所有頂點D.邊數(shù)固定4.圖的連通性包括（）。A.連通B.強連通C.單向連通D.弱連通5.哈密爾頓圖的必要條件有（）。A.頂點數(shù)\(n\geq3\)B.任意兩個不相鄰頂點度數(shù)之和大于等于\(n\)C.存在哈密爾頓回路D.存在哈密爾頓路徑6.下列哪些圖是平面圖（）。A.樹B.\(K_4\)C.\(K_{2,3}\)D.\(K_5\)7.圖的權(quán)值可以表示（）。A.距離B.費用C.時間D.邊的數(shù)量8.以下哪些操作可以在圖上進行（）。A.添加頂點B.刪除頂點C.添加邊D.刪除邊9.關(guān)于圖的同構(gòu)，正確的是（）。A.頂點數(shù)相同B.邊數(shù)相同C.對應(yīng)頂點度數(shù)相同D.結(jié)構(gòu)相同10.圖的遍歷方法有（）。A.廣度優(yōu)先搜索B.深度優(yōu)先搜索C.先序遍歷D.后序遍歷三、判斷題（每題2分，共10題）1.任何圖都存在生成樹。（）2.二分圖一定沒有哈密爾頓回路。（）3.圖的鄰接矩陣一定是對稱矩陣。（）4.歐拉圖一定是連通圖。（）5.最小生成樹是唯一的。（）6.一個圖中度數(shù)為0的頂點稱為孤立點。（）7.哈密爾頓圖一定有哈密爾頓路徑。（）8.平面圖的邊數(shù)\(e\)與頂點數(shù)\(v\)滿足\(e\leq3v-6\)。（）9.有向圖中所有頂點的入度之和等于出度之和。（）10.樹是一種特殊的圖，它的任意兩個頂點之間有且僅有一條路徑。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述歐拉圖和半歐拉圖的區(qū)別。答案：歐拉圖存在經(jīng)過每條邊一次且僅一次的回路，即歐拉回路；半歐拉圖存在經(jīng)過每條邊一次且僅一次的路徑，即歐拉路徑，但不存在歐拉回路。2.簡述求最小生成樹的Prim算法基本思想。答案：從圖中任取一頂點，將其加入生成樹頂點集。每次從生成樹頂點集與剩余頂點集之間選取權(quán)值最小的邊，將該邊及對應(yīng)頂點加入生成樹，直至所有頂點都在生成樹中。3.說明圖的連通性分類及特點。答案：連通圖任意兩頂點間有路徑；強連通圖有向圖中任意兩頂點相互可達；單向連通圖至少有一方向可達；弱連通圖忽略邊方向后是連通圖。4.簡述判斷一個圖是否為二分圖的方法。答案：用染色法，對圖中頂點進行染色，相鄰頂點染不同顏色，若能不沖突地染完所有頂點，使其分為兩類，每類內(nèi)頂點不相鄰，則是二分圖，否則不是。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論圖論在計算機網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。答案：在計算機網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建模，分析網(wǎng)絡(luò)連通性、最短路徑選擇，如路由算法。還用于資源分配，通過圖的匹配算法合理分配網(wǎng)絡(luò)資源，提高網(wǎng)絡(luò)性能和效率。2.探討哈密爾頓問題在實際生活中的意義。答案：在物流配送中規(guī)劃遍歷所有地點且不重復(fù)的最優(yōu)路線；在電路板布線避免線路交叉且經(jīng)過所有連接點。能有效提高資源利用、降低成本、優(yōu)化流程。3.談?wù)剤D的表示方法對算法設(shè)計的影響。答案：鄰接矩陣適合判斷頂點間是否有邊，利于一些簡單算法；關(guān)聯(lián)矩陣用于分析邊與頂點關(guān)系。合適表示法能簡化算法設(shè)計，減少時間和空間復(fù)雜度，提高算法效率。4.討論平面圖在實際工程中的應(yīng)用。答案：在集成電路設(shè)計中避免線路交叉，合理布局元件；在城市規(guī)劃設(shè)計道路、管網(wǎng)等，保證布局合理，避免沖突，提高空間利用和工程可行性。答案一、單項選擇題1.A2.A3.B4.C5.B6.A7.B8.B9.B10.C二、多項選擇題1.ABC2.ABC3.AB