課時(shí)7拋物線的方程與性質(zhì)課標(biāo)要求1．了解拋物線的實(shí)際背景，掌握拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．2．通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．知識(shí)梳理1．拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：（1）在平面內(nèi)；（2）動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離相等；（2）定點(diǎn)不在定直線上．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)離心率e＝準(zhǔn)線方程范圍開口方向焦半徑(其中P(x0，y0))【拓展知識(shí)】與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論：(以圖為依據(jù))

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．（1）y1y2＝，x1x2＝．（2）AB＝x1＋x2＋p＝(θ為直線AB的傾斜角)，AF＝，BF＝．（3）為定值．（4）以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線．（5）以AF或BF為直徑的圓與y軸．（6）過焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于(通徑)．基礎(chǔ)回顧1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)（1）平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．()（2）若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線一定相切．()（3）若一拋物線過點(diǎn)P(－2，3)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y2＝2px(p＞0)．()（4）方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線為焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4)．()2．若F是拋物線的焦點(diǎn)，P是拋物線上任意一點(diǎn)，PF長(zhǎng)的最小值為1，且是拋物線上兩點(diǎn)，AF+BF=6，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（

）A． B． C． D．3．（多選題）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是()A．y2＝－xB．x2＝－8yC．x2＝－yD．y2＝－8x(2024·江西南昌市模擬)設(shè)圓O：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，過點(diǎn)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

考點(diǎn)掃描考點(diǎn)一拋物線的定義及其應(yīng)用例1（1）是拋物線的一條焦點(diǎn)弦，且，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A．2B．C．D．（2）（2024·河北唐山市模擬）已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，且AF＋BF＝3，則線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．eq\f(5,2)B．eq\f(3,2)C．1D．3（3）（2024·天津卷）的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為______．規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）（2023·江蘇南通市模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且，若的面積為，則（

）A．2 B．4 C． D．（2023·江蘇南京市模擬）已知圓C過點(diǎn)，且與直線相切，則其圓心到直線距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．（3）已知點(diǎn)M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P，PM＋PF的最小值為41，則p的值為________．考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)例2（1）（2023·廣東珠海市三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若FN=FM，則△FMN的面積為（

）A．4 B． C． D．2（2）（2024?安徽蕪湖市模擬）已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，點(diǎn)A，B在拋物線上，且直線AB過點(diǎn)D，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若FA＝2FB＝6，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)(2024·湖南長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)月考)拋物線C的焦點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線對(duì)稱的點(diǎn)為(0，－9)，則拋物線C的方程為()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y（2）（2024·福建泉州市三模）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，且滿足，E為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到拋物線準(zhǔn)線的距離為()A．eq\f(11,4)B．eq\f(9,4)C．eq\f(5,2)D．eq\f(5,4)考點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)應(yīng)用例3（1）（2023·廣東廣州市一模）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸上，過點(diǎn)（2，0）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，且，線段PQ的中點(diǎn)為M，則直線MF的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．1（2）（2024·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中）已知直線：和直線：，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．例4已知為拋物線的弦，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上.當(dāng)過拋物線焦點(diǎn)且長(zhǎng)度為時(shí)，中點(diǎn)到軸的距離為.(1)求拋物線的方程；(2)若為直角，求證：直線過定點(diǎn).規(guī)律方法：對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）（2024·山東德州市統(tǒng)考）曲線上有兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到的最小距離為，點(diǎn)與和的距離之和的最小值為，則的值為（

）A． B． C． D．（2）（2024·湖南岳陽市期末）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)A作的垂線，垂足為B.設(shè)，直線AF與相交于點(diǎn).若，且△ACD的面積為，則直線的斜率___________，拋物線的方程為___________.拓展與延伸17阿基米德三角形知識(shí)梳理拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫作阿基米德三角形，如圖．性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊AB的中線MQ平行于拋物線的對(duì)稱軸．性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線，該直線與以點(diǎn)C為中點(diǎn)的弦平行．性質(zhì)3若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊AB過定點(diǎn)（若直線l方程為ax＋by＋c＝0，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為C）.性質(zhì)4底邊AB長(zhǎng)為a的阿基米德三角形的面積最大值為eq\f(a3,8p).性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小，最小值為p2.例1（1）已知點(diǎn)P?3,2在拋物線C:y2=2pxp>0的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A.1B.2C.3D.3（2）(多選題)(2024·江蘇如皋中學(xué)模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2，l1，l2交于點(diǎn)P.下面關(guān)于△PAB的描述正確的有()A．點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上B．AP⊥PBC．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則△PAB的面積S的最小值為eq\f(p2,2)D．PF⊥AB例2已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p的值；(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，切點(diǎn)是A，B，求△PAB面積的最大值．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（1）直線l經(jīng)過點(diǎn)（0,2）且與拋物線y2＝8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足這樣條件的直線l有___條.（2）點(diǎn)M（2,1）是拋物線x2＝2py上的點(diǎn)，則以點(diǎn)M為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為___.（3）已知拋物線P：x2＝2py(p>0).①若拋物線上點(diǎn)M（m，2）到焦點(diǎn)F的距離為3,求拋物線P的方程;②設(shè)拋物線P的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為E,過E作拋物線P的切線,求此切線方程;鞏固提升1．已知拋物線C：x2＝4y，直線y＝kx＋b與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AB＝8，且拋物線在A，B處的切線相交于點(diǎn)P，則△PAB面積的最大值為()A．8B．16C．16eq\r(2)D．322．(多選題)(2024·河北廊坊市模擬)如圖，△PAB為阿基米德三角形．拋物線x2＝2py(p>0)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線PA，PB交于點(diǎn)P.則下列結(jié)論正確的有()A．若弦AB過焦點(diǎn)，則△PAB為直角三角形，且∠APB＝90°B．點(diǎn)P的坐標(biāo)是C．弦AB所在的直線的方程為(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D．△PAB的邊AB的中線與y軸平行(或重合)3．已知拋物線P：x2＝4y的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為E，則過E作拋物線P的切線方程為