高一數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)試題函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是構(gòu)建代數(shù)體系的重要基石，其概念、性質(zhì)及應(yīng)用貫穿高一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。本次復(fù)習(xí)試題圍繞定義域與值域、單調(diào)性與奇偶性、函數(shù)圖像與變換、分段函數(shù)與抽象函數(shù)、實際應(yīng)用五大模塊設(shè)計，通過典型題型幫助同學(xué)們鞏固核心知識，提升解題能力。一、選擇題（夯實基礎(chǔ)概念，聚焦核心考點）1.定義域求解（分式、根式、對數(shù)的限制條件綜合）函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\lg(3-x)}\)的定義域為（）A.\([1,3)\)B.\([1,2)\cup(2,3)\)C.\((1,3)\)D.\((1,2)\cup(2,3)\)解析：定義域需同時滿足三類限制：根式要求：\(x-1\geq0\impliesx\geq1\)；對數(shù)真數(shù)要求：\(3-x>0\impliesx<3\)；分母不為零：\(\lg(3-x)\neq0\implies3-x\neq1\impliesx\neq2\)。綜上，定義域為\([1,2)\cup(2,3)\)，選B。2.奇偶性判斷（奇函數(shù)的定義驗證）函數(shù)\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性為（）A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶D.既奇又偶解析：先判斷定義域\(\mathbb{R}\)關(guān)于原點對稱，再驗證\(f(-x)\)：\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-(x^3+\sinx)=-f(x)\)，滿足奇函數(shù)定義\(f(-x)=-f(x)\)，故為奇函數(shù)，選A。3.單調(diào)性的應(yīng)用（利用單調(diào)性解不等式）已知\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上的單調(diào)遞增函數(shù)，且\(f(2x-1)>f(3)\)，則\(x\)的取值范圍為（）A.\(x>2\)B.\(x<2\)C.\(x>1\)D.\(x<1\)解析：單調(diào)遞增函數(shù)的性質(zhì)：若\(f(a)>f(b)\)，則\(a>b\)（“增函數(shù)，大自變量對應(yīng)大函數(shù)值”）。因此\(2x-1>3\implies2x>4\impliesx>2\)，選A。二、填空題（深化函數(shù)理解，提升計算能力）1.二次函數(shù)的值域（配方法的應(yīng)用）函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)，\(x\in[0,3]\)的值域為\(\boldsymbol{[2,6]}\)。解析：通過配方法變形：\(f(x)=(x-1)^2+2\)。當(dāng)\(x=1\)（在區(qū)間\([0,3]\)內(nèi)）時，\(f(x)_{\text{min}}=2\)；當(dāng)\(x=3\)時，\(f(3)=3^2-2\times3+3=6\)，為區(qū)間內(nèi)最大值。2.函數(shù)圖像的平移變換（“左加右減，上加下減”法則）將函數(shù)\(y=2^x\)的圖像向左平移1個單位，再向下平移2個單位，所得函數(shù)的解析式為\(\boldsymbol{y=2^{x+1}-2}\)。解析：圖像平移遵循“左加右減（針對\(x\)），上加下減（針對\(y\)）”：向左平移1個單位：\(y=2^{x+1}\)（\(x\)變?yōu)閈(x+1\)，對應(yīng)“左加”）；向下平移2個單位：\(y=2^{x+1}-2\)（整體減2，對應(yīng)“下減”）。3.分段函數(shù)的嵌套求值（分層計算，注意定義域切換）已知分段函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\2^x,&x>0\end{cases}\)，則\(f(f(-1))=\boldsymbol{1}\)。解析：先求內(nèi)層\(f(-1)\)：因\(-1\leq0\)，代入第一段得\(f(-1)=-1+1=0\)；再求外層\(f(0)\)：因\(0\leq0\)，代入第一段得\(f(0)=0+1=1\)。三、解答題（綜合應(yīng)用考點，提升邏輯推理能力）1.單調(diào)性的證明（奇函數(shù)在對稱區(qū)間的單調(diào)性分析）已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。求證：\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上也單調(diào)遞減。證明：設(shè)\(x_1<x_2<0\)，則\(-x_1>-x_2>0\)（不等式兩邊乘-1，不等號方向改變）。因\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，故\(f(-x_1)<f(-x_2)\)。又\(f(x)\)是奇函數(shù)，滿足\(f(-x)=-f(x)\)，因此：\(f(-x_1)=-f(x_1)\)，\(f(-x_2)=-f(x_2)\)，代入得\(-f(x_1)<-f(x_2)\)，兩邊乘-1（不等號方向改變）得\(f(x_1)>f(x_2)\)。由單調(diào)性定義：“若\(x_1<x_2\)時\(f(x_1)>f(x_2)\)，則函數(shù)單調(diào)遞減”，故\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞減。2.實際應(yīng)用：利潤函數(shù)的建模與最值（二次函數(shù)的實際意義）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本函數(shù)為\(C(x)=200+5x\)（\(x\)為產(chǎn)量，單位：件；\(C(x)\)單位：元），收入函數(shù)為\(R(x)=10x-0.1x^2\)（\(R(x)\)單位：元）。（1）求利潤函數(shù)\(P(x)\)的解析式；（2）當(dāng)產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤為多少？解析：（1）利潤=收入-成本，故\(P(x)=R(x)-C(x)\)：\(P(x)=(10x-0.1x^2)-(200+5x)=-0.1x^2+5x-200\)（\(x>0\)且\(x\)為正整數(shù)）。（2）利潤函數(shù)\(P(x)=-0.1x^2+5x-200\)是開口向下的二次函數(shù)，其頂點橫坐標(biāo)為\(x=-\frac{2a}\)（\(a=-0.1,b=5\)）：\(x=-\frac{5}{2\times(-0.1)}=25\)，代入得最大利潤：\(P(25)=-0.1\times25^2+5\times25-200=62.5\)（元）。3.抽象函數(shù)的性質(zhì)與解析式（賦值法的應(yīng)用）已知對任意\(x,y\in\mathbb{R}\)，函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(1)=2\)。（1）求\(f(3)\)的值；（2）求\(f(x)\)的解析式。解析：（1）利用賦值法，令\(x=y=1\)，則\(f(1+1)=f(1)+f(1)\impliesf(2)=2f(1)=4\)；再令\(x=2,y=1\)，則\(f(2+1)=f(2)+f(1)\impliesf(3)=4+2=6\)。（2）先求\(f(0)\)：令\(x=y=0\)，則\(f(0+0)=f(0)+f(0)\impliesf(0)=2f(0)\impliesf(0)=0\)；再令\(y=-x\)，則\(f(x+(-x))=f(x)+f(-x)\impliesf(0)=f(x)+f(-x)\)，結(jié)合\(f(0)=0\)，得\(f(-x)=-f(x)\)，故\(f(x)\)是奇函數(shù)；對于任意實數(shù)\(x\)，令\(x=n\)（\(n\)為整數(shù)），由\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)的可加性，得\(f(n)=nf(1)=2n\)；推廣到有理數(shù)\(\frac{m}{n}\)（\(m,n\)為整數(shù)，\(n\neq0\)），令\(x=\frac{m}{n}\)，\(y=\frac{m}{n}\)（共\(n\)次），得\(f(m)=nf\left(\frac{m}{n}\right)\impliesf\left(\frac{m}{n}\right)=\frac{m}{n}f(1)=2\cdot\frac{m}{n}\)；結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)與連續(xù)性（高一階段可默認(rèn)初等函數(shù)連續(xù)性），得對任意實數(shù)\(x\)，\(f(x)=2x\)。復(fù)習(xí)建議1.概念優(yōu)先：定義域、奇偶性、單調(diào)性的定義是解題核心，需精準(zhǔn)理解“任意”“存在”等限定詞的邏輯；