三角形第十七章17.3多邊形及其內(nèi)角和多邊形及其相關(guān)概念知識點1教材知識全解多邊形在平面內(nèi),由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形內(nèi)角多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角外角多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角對角線連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的對角線凸多邊形畫出多邊形的任何一條邊所在直線,如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè),那么這個多邊形叫做凸多邊形(本節(jié)只討論凸多邊形)正多邊形各個角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形下列選項中的圖形,不是凸多邊形的是

(

)

例1A解:根據(jù)凸多邊形的概念可知選項A中的圖形不是凸多邊形.故選A.教材知識全解多邊形的內(nèi)角和知識點2內(nèi)容n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°要點解讀(1)多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)方法多樣(如圖),但都是把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題進(jìn)行解決.

(2)n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加,每增加一條邊,其內(nèi)角和增加180°.(3)任意多邊形的內(nèi)角和都是180°的整數(shù)倍特別提醒正n邊形每個內(nèi)角的度數(shù)是

如圖所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù).

例2連接BE,設(shè)DE與BC的交點為M,如圖.解：在△CDM與△BEM中,∠CMD=∠BME,∴∠C+∠D=∠MBE+∠MEB,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABC+∠MBE+∠MEB+∠DEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°.通過作輔助線把∠C與∠D的和轉(zhuǎn)化為∠MBE與∠MEB的和,從而把問題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬?nèi)角和,運用“轉(zhuǎn)化思想”是解決本題的關(guān)鍵.點撥一個多邊形截去一個角后,形成的另一個多邊形的內(nèi)角和

為2520°,則原多邊形的邊數(shù)是

(

)A.17

B.16

C.15

D.15或16或17例3D多邊形的內(nèi)角和可以表示成(n-2)·180°(n≥3且n是整數(shù)),一個

多邊形截去一個角后,多邊形的邊數(shù)可能增加了一條,也可能不

變或減少了一條,根據(jù)(n-2)·180°=2520°,解得n=16,則多邊形的邊

數(shù)是15或16或17.故選D.解：多邊形截去一個角的三種情況:(1)過多邊形的一條對角線截去一個角,則新多邊形的邊數(shù)比原多邊形的邊數(shù)少1,如圖①;(2)只過多邊形的一個頂點截去一個角,則新多邊形的邊數(shù)與原多邊形的邊數(shù)相同,如圖②;(3)不過多邊形的頂點截去一個角,則新多邊形的邊數(shù)比原多邊形的邊數(shù)多1,如圖③.點撥多邊形的外角和知識點3內(nèi)容多邊形的外角和為360°證明過程多邊形的每個內(nèi)角同與它相鄰的外角互為鄰補(bǔ)角,所以n邊形的內(nèi)角和加上外角和為n·180°,則外角和等于n·180°-(n-2)×180°=360°應(yīng)用(1)已知正多邊形的外角度數(shù),求邊數(shù).(2)已知正多邊形的邊數(shù),求外角度數(shù)

(2023北京海淀期中)如圖,小明從A點出發(fā),沿直線前進(jìn)1米

后左轉(zhuǎn)30°,再沿直線前進(jìn)1米,又向左轉(zhuǎn)30°,……,照這樣走下去,

他第一次回到出發(fā)地A點時,一共走了

(

)

A.10米

B.12米C.16米

D.20米例4B小明從A點出發(fā),第一次回到出發(fā)地A點時,所走的路線是正多

邊形,∵正多邊形的每個外角是30°,∴正多邊形的邊數(shù)是360°÷30°=12,∴他第一次回到出發(fā)地A點時,一共走了1×12=12(米),故選B.解：

(2022河北中考)如圖,將三角形紙片剪掉一角得四邊形,設(shè)

△ABC與四邊形BCDE的外角和的度數(shù)分別為α,β,則正確的是

(

)

例5AA.α-β=0B.α-β<0C.α-β>0

D.無法比較α與β的大小∵任意多邊形的外角和為360°,∴α=β=360°.∴α-β=0.故選A.解：模型觀念主要是指對運用數(shù)學(xué)模型解決實際問題有清晰的認(rèn)識.知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實聯(lián)系的基本途徑;初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程,從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.這就是模型觀念的素養(yǎng).核心素養(yǎng)全解模型觀念——構(gòu)建方程模型求角度素養(yǎng)解讀把所研究數(shù)學(xué)問題中的已知量與未知量之間的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程(組),從而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問題目的的思維方法稱為構(gòu)建方程

模型.如圖,∠CDM,∠FCA為△ACD的兩個外角,射線DE、CG

分別平分∠CDM、∠FCA,CG交DA的延長線于點G,DE交AC的

延長線于點E,∠E=∠1,∠G=∠2,求∠ACD的度數(shù).

典例剖析例題分析

設(shè)∠G=x,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)表示出∠2、∠EDM、∠CDM,

根據(jù)平角的定義計算即可.解:設(shè)∠G=x,則∠2=x,∴∠FCG=2x,∵CG平分∠FCA,∴∠FCA=4x,∠ACG=2x,∴∠E=∠1=4x,∠CAD=∠AGC+∠ACG=3x,∴∠EDM=∠EAD+∠E=7x,∵DE平分∠CDM,∴∠CDM=14x,∴1