第05講直線與圓的位置關(guān)系及切線的判定與性質(zhì)了解直線與圓的三種位置關(guān)系；了解圓的切線的概念；掌握直線與圓位置關(guān)系的性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無(wú)交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；知識(shí)點(diǎn)2切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過(guò)半徑外端∴是⊙的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。知識(shí)點(diǎn)3切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴；平分知識(shí)點(diǎn)4三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。（3）S△ABC=，其中a，b，c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。BBOADC【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判定】【典例1】（2023?濱江區(qū)二模）已知⊙O的直徑為4，圓心O到直線l的距離為2，則直線l與⊙O（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無(wú)法確定【變式11】（2022秋?江漢區(qū)校級(jí)期末）已知⊙O半徑為4cm，若直線上一點(diǎn)P與圓心O距離為4cm，那么直線與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無(wú)法確定【變式12】（2022秋?洪山區(qū)校級(jí)期末）圓的半徑是6.5cm，如果圓心與直線上某一點(diǎn)的距離是6.5cm，那么該直線和圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．相交或相切【變式13】（2022秋?江夏區(qū)校級(jí)期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無(wú)法確定【題型2利用切線的性質(zhì)求有關(guān)的角度/邊長(zhǎng)的運(yùn)算】【典例2】（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C． D．【變式21】（2023?西湖區(qū)校級(jí)二模）如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長(zhǎng)為（）?A．2 B．4 C． D．【變式22】（2023?九龍坡區(qū)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，∠C＝30°，OA＝2，則BD的長(zhǎng)為（）?A．2 B．2 C．3 D．3【變式23】（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝30°，點(diǎn)O是邊AB上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點(diǎn)D，連接BD．若BD平分∠ABC，，則線段AB的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．6【典例3】（2023?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，以AD為直徑的半圓O恰好切CB于點(diǎn)B．連接BD，若∠CBD＝21°，則∠C的度數(shù)為（）A．42° B．45° C．46° D．48°【變式31】（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式32】（2023?浙江二模）如圖，AC與⊙O相切于點(diǎn)A，B為⊙O上一點(diǎn)，BC經(jīng)過(guò)圓心O，若∠B＝25°，則∠C的大小等于（）A．20° B．40° C．25° D．50°【變式33】（2023?泰安三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點(diǎn)，∠E＝40°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠CDB等于（）?A．25° B．30° C．35° D．40°【題型3切線的判定】【典例4】（2023?東莞市校級(jí)模擬）如圖，∠AOB＝60°，以O(shè)B為半徑的⊙O交OA于點(diǎn)C，且OC＝CA，求證：AB是⊙O的切線．【變式41】（新疆期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E．在AC上取一點(diǎn)D，使得DE＝AD．求證：DE是⊙O的切線．【變式42】（昭通期末）如圖，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，點(diǎn)C是BD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD＝2，求證：AC是⊙O的切線．【變式43】（大名縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，∠BAF的平分線AE交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DE、AB相交于點(diǎn)C．求證：CD是⊙O的切線．【題型4切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用】【典例5】（2023?牧野區(qū)校級(jí)三模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DA平分∠BDE．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）已知AE＝4cm，CD＝6cm，求⊙O的半徑．【變式51】（2023?廣西）如圖，PO平分∠APD，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO交PD于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)O作OB⊥PD，垂足為B．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為4，OC＝5，求PA的長(zhǎng)．【變式52】（2023?金寨縣校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，CD＝CB，AC，BD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BD，CF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接AD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的長(zhǎng)．【變式53】（2023?德慶縣二模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在邊AC上，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的圓交邊AC于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，且BC＝BE．（1）求證：AB是⊙O的切線．（2）若AE＝24，BE＝15，求⊙O的半徑．?【題型5利用切線長(zhǎng)定理的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或周長(zhǎng)】【典例6】（2022秋?金東區(qū)期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC上的點(diǎn)，且DE為⊙O的切線，若△ABC的周長(zhǎng)為25，BC的長(zhǎng)是9，則△ADE的周長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．9 D．16【變式61】（2022秋?鳳臺(tái)縣期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【變式62】（2022秋?林州市期中）如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD切⊙O于點(diǎn)E，且分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，若PA＝6，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．12 D．10【變式63】2022秋?潮州期末）如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，分別交PA、PB于點(diǎn)C、D，若PA＝8，則△PCD的周長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C．16 D．20【題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心】【典例71】（2023?炎陵縣模擬）如圖，已知圓O是△ABC的內(nèi)切圓，且∠A＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（）?A．140° B．135° C．125° D．110°【典例72】（2023?泗陽(yáng)縣一模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有下列問(wèn)題：“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為八步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為十五步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問(wèn)題中，該內(nèi)切圓的直徑長(zhǎng)是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【變式71】（2023?婁底一模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓圓O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠DEF＝53°，則∠A的度數(shù)是（）A．36° B．53° C．74° D．128°【變式72】（2022秋?豐寧縣校級(jí)期末）如圖，△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，與三邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，則⊙O的面積為（）（結(jié)果保留π）A．π B．2π C．3π D．4π【變式73】（2022秋?南開(kāi)區(qū)校級(jí)期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，且∠A＝90°，BC＝10，CA＝8，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．21．（2023?眉山）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)B，連結(jié)OA交⊙O于點(diǎn)C，BD∥OA交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．40° D．45°2．（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．（2022?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長(zhǎng)線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°4．（2023?濱州）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，且∠APB＝56°，若點(diǎn)C是⊙O上異于點(diǎn)A，B的一點(diǎn)，則∠ACB的大小為．5．（2023?岳陽(yáng)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點(diǎn)C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時(shí)，r的值為．6．（2023?浙江）如圖，點(diǎn)A是⊙O外一點(diǎn)，AB，AC分別與⊙O相切于點(diǎn)B，C，點(diǎn)D在上．已知∠A＝50°，則∠D的度數(shù)是．7．（2023?金華）如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，⊙A與x軸相切于點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C，D，連結(jié)AB，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H．（1）求證：四邊形ABOH為矩形．（2）已知⊙A的半徑為4，OB＝，求弦CD的長(zhǎng)．8．（2022?寧夏）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長(zhǎng)．9．（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，∠P＝30°，求CE的長(zhǎng)．1．（2022秋?江夏區(qū)校級(jí)期末）已知⊙O的半徑等于5，圓心O到直線l的距離為4，那么直線l與⊙O的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．無(wú)法確定2．（2022秋?廣陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個(gè)半徑為3的圓，下列結(jié)論中正確的是（）A．點(diǎn)B在⊙A內(nèi) B．直線BC與⊙A相離 C．點(diǎn)C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切3．（2023?綠園區(qū)校級(jí)模擬）將一個(gè)含有30°的直角三角板按如圖所示的位置擺放，一個(gè)頂點(diǎn)O與⊙O的圓心重合，一條直角邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B．將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△O′A′B，使點(diǎn)O′落在⊙O上，邊A′B交線段AO于點(diǎn)C．則∠OCB為（）A．60° B．65° C．85° D．90°4．（2023?船營(yíng)區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，若AC＝PC，則∠P的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．30° D．45°5．（2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑r是（）A．2 B．3 C．4 D．無(wú)法判斷6．（2022秋?聊城期末）如圖，△ABC中，∠A＝80°，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則∠BOC的度數(shù)為（）A．100° B．160° C．80° D．130°7．（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為18cm的三角形紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為（）A．13cm B．8cm C．6.5cm D．隨直線MN的變化而變化8．（2022秋?南沙區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外