2025年大一上學(xué)期高數(shù)B期末考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x\gt1\)B.\(x\gt1\)且\(x\neq2\)C.\(x\geq1\)D.\(x\geq1\)且\(x\neq2\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的值為（）A.0B.1C.3D.\(\frac{1}{3}\)3.函數(shù)\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^2\)D.\(x\)5.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\frac{1}{2}x^3+C\)C.\(x^3+C\)D.\(3x^3+C\)6.設(shè)函數(shù)\(z=x^2+y^2\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）A.\(2x\)B.\(2y\)C.\(x^2\)D.\(y^2\)7.已知函數(shù)\(y=\cosx\)，則\(y^\prime\)=（）A.\(\sinx\)B.-\(\sinx\)C.\(\cosx\)D.-\(\cosx\)8.極限\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)=（）A.0B.1C.\(e\)D.\(\infty\)9.函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)的極小值點(diǎn)是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=2\)D.\(x=3\)10.定積分\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.3二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln\frac{1-x}{1+x}\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\intxdx=\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.設(shè)\(z=f(x,y)\)，則偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)（）A.是把\(y\)看作常數(shù)，對\(x\)求導(dǎo)B.是把\(x\)看作常數(shù)，對\(y\)求導(dǎo)C.與\(y\)無關(guān)D.其值與\(y\)的取值有關(guān)6.下列函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)（\(x\gt0\)）C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)（\(x\gt0\)）7.關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是（）A.駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)C.可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)D.函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可能不存在8.下列哪些是無窮小量（）A.\(\lim_{x\to0}x\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\sinx\)D.\(\lim_{x\to\infty}e^{-x}\)9.定積分的性質(zhì)包括（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx=\int_{a}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）10.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處（）A.有極大值B.有極小值C.是駐點(diǎn)D.偏導(dǎo)數(shù)存在三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2-1}\)是偶函數(shù)。（）2.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=\infty\)。（）3.若函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處一定可導(dǎo)。（）4.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=3x^2\)。（）5.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。（）6.函數(shù)\(z=xy\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}=y\)。（）7.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）8.無窮小量與無窮大量的乘積一定是無窮小量。（）9.函數(shù)\(y=\sinx\)的一個原函數(shù)是\(-\cosx\)。（）10.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間。-答案：對\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\intxe^xdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+2xy+y^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的全微分。-答案：先求偏導(dǎo)數(shù)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x+2y\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2x+2y\)。在點(diǎn)\((1,2)\)處，\(\frac{\partialz}{\partialx}=6\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=6\)。全微分\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy=6dx+6dy\)。4.簡述函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。-答案：函數(shù)極限與數(shù)列極限聯(lián)系緊密。海涅定理表明，函數(shù)\(f(x)\)在\(x\tox_0\)時極限為\(A\)的充要條件是，對任意以\(x_0\)為極限的數(shù)列\(zhòng)(\{x_n\}\)（\(x_n\neqx_0\)），數(shù)列\(zhòng)(\{f(x_n)\}\)的極限都為\(A\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖像特點(diǎn)。-答案：函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)是反比例函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)向右平移1個單位得到。其定義域?yàn)閈(x\neq1\)，圖像有兩條漸近線，\(x=1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上分別單調(diào)遞減。2.討論多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)、可微之間的關(guān)系。-答案：可微則偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù)；偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)，也不一定可微；函數(shù)連續(xù)推不出偏導(dǎo)數(shù)存在，也推不出可微。即可微條件最強(qiáng)，連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)存在之間無必然推出關(guān)系。3.討論利用定積分求平面圖形面積的一般步驟。-答案：先確定平面圖形由哪些曲線圍成，明確積分區(qū)間；然后判斷曲線上下位置關(guān)系，確定被積函數(shù)（上曲線減下曲線）；最后利用定積分公式計(jì)算積分值，得到平面圖形的面積。4.討論在實(shí)際問題中如何利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。-答案：首先建立目標(biāo)函數(shù)，確定其定義域；接著對函數(shù)求導(dǎo)，找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；然后將這些點(diǎn)以及定義域端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，最大的即為最大值，最小的即為最小值。答案一、