變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)下病毒傳播特性與機(jī)制的深度剖析一、引言1.1研究背景與意義在當(dāng)今數(shù)字化和全球化的時(shí)代，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)無處不在，它們滲透到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生物和技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域。從互聯(lián)網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)到電力傳輸網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)，這些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)支撐著現(xiàn)代社會(huì)的運(yùn)行，同時(shí)也成為各種“病毒”傳播的溫床。這里的“病毒”不僅包括計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的惡意軟件、病毒程序，還涵蓋了生物學(xué)領(lǐng)域的傳染病，以及社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的謠言、虛假信息等具有傳播性質(zhì)的不良元素。以互聯(lián)網(wǎng)為例，隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模不斷擴(kuò)大，結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜，計(jì)算機(jī)病毒的傳播也變得愈發(fā)迅速和難以控制。一旦病毒入侵，它能夠通過網(wǎng)絡(luò)連接迅速擴(kuò)散，從一臺(tái)計(jì)算機(jī)蔓延到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，給個(gè)人用戶、企業(yè)乃至國(guó)家的信息安全帶來嚴(yán)重威脅。2017年爆發(fā)的WannaCry勒索病毒，在短短數(shù)天內(nèi)就感染了全球范圍內(nèi)的大量計(jì)算機(jī)，涉及金融、醫(yī)療、教育等多個(gè)行業(yè)，導(dǎo)致眾多機(jī)構(gòu)的業(yè)務(wù)癱瘓，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失。這一事件充分凸顯了研究計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播規(guī)律及防控策略的緊迫性和重要性。在生物學(xué)領(lǐng)域，傳染病的傳播同樣與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)密切相關(guān)。人類社會(huì)的交往網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，具有無標(biāo)度特性，這使得傳染病能夠在人群中快速擴(kuò)散。2020年爆發(fā)的新型冠狀病毒肺炎疫情，迅速在全球范圍內(nèi)蔓延，對(duì)人類的生命健康、社會(huì)經(jīng)濟(jì)和生活秩序造成了深遠(yuǎn)的影響。研究傳染病在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播機(jī)制，對(duì)于制定有效的防控措施、預(yù)測(cè)疫情發(fā)展趨勢(shì)具有重要意義。通過對(duì)人群接觸網(wǎng)絡(luò)的分析，可以確定疫情傳播的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)和傳播路徑，從而有針對(duì)性地采取隔離、疫苗接種等防控手段，有效遏制疫情的擴(kuò)散。無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一種重要類型，具有獨(dú)特的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，其節(jié)點(diǎn)度分布服從冪律分布，即少數(shù)節(jié)點(diǎn)（集散節(jié)點(diǎn)）擁有大量的連接，而大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接數(shù)較少。這種結(jié)構(gòu)特點(diǎn)使得無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在病毒傳播過程中表現(xiàn)出與其他網(wǎng)絡(luò)不同的行為模式。研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播，有助于深入理解病毒在復(fù)雜系統(tǒng)中的傳播規(guī)律，揭示傳播過程中的關(guān)鍵因素和機(jī)制。例如，了解病毒在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度、傳播范圍以及傳播過程中的閾值現(xiàn)象等，能夠?yàn)橹贫ǜ泳珳?zhǔn)有效的防控策略提供理論依據(jù)。此外，研究變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播還具有重要的理論意義。傳統(tǒng)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)研究主要集中在固定冪律指數(shù)的情況下，然而，現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)往往更加復(fù)雜，冪律指數(shù)可能會(huì)隨著網(wǎng)絡(luò)的演化、節(jié)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)變化以及外部環(huán)境的影響而發(fā)生改變。變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)更能真實(shí)地反映現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，對(duì)其進(jìn)行研究可以拓展和深化復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，為解決實(shí)際問題提供更具普適性的方法和模型。通過探索變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的特性和規(guī)律，可以進(jìn)一步完善病毒傳播理論，為跨學(xué)科研究提供新的視角和思路。對(duì)變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的研究，無論是從保障信息安全、維護(hù)人類健康，還是從推動(dòng)理論發(fā)展的角度來看，都具有不可忽視的重要意義。它能夠?yàn)槲覀儜?yīng)對(duì)各種病毒傳播問題提供科學(xué)的方法和策略，為構(gòu)建更加安全、穩(wěn)定和健康的社會(huì)環(huán)境提供有力支持。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的研究始于20世紀(jì)末，隨著對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的深入，其獨(dú)特的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和性質(zhì)逐漸被揭示。1998年，Albert-LászlóBarabási和RékaAlbert在研究萬維網(wǎng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)頁之間的鏈接分布呈現(xiàn)出冪律特征，即少數(shù)網(wǎng)頁擁有大量的鏈接，而大多數(shù)網(wǎng)頁的鏈接數(shù)較少，這種網(wǎng)絡(luò)被稱為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。此后，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的研究迅速發(fā)展，涉及到物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)、社會(huì)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)特性研究方面，眾多學(xué)者圍繞其冪律分布、小世界特性、節(jié)點(diǎn)度相關(guān)性等展開深入探討。研究發(fā)現(xiàn)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的冪律分布使得網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)故障具有較強(qiáng)的魯棒性，因?yàn)榇蠖鄶?shù)節(jié)點(diǎn)的連接數(shù)較少，即使部分節(jié)點(diǎn)失效，對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的連通性影響較小。然而，在面對(duì)蓄意攻擊，尤其是針對(duì)集散節(jié)點(diǎn)的攻擊時(shí)，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)卻顯得極為脆弱，集散節(jié)點(diǎn)的失效可能導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的連通性急劇下降，甚至瓦解。如互聯(lián)網(wǎng)中的核心路由器，作為集散節(jié)點(diǎn)，一旦遭受攻擊或出現(xiàn)故障，可能引發(fā)大規(guī)模的網(wǎng)絡(luò)癱瘓。在病毒傳播模型研究領(lǐng)域，傳統(tǒng)的傳染病模型如SI（Susceptible-Infected）模型、SIS（Susceptible-Infected-Susceptible）模型和SIR（Susceptible-Infected-Removed）模型等被廣泛應(yīng)用于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播研究中。SI模型假設(shè)節(jié)點(diǎn)一旦被感染就會(huì)永久處于感染狀態(tài)；SIS模型則考慮了感染節(jié)點(diǎn)可能恢復(fù)為易感狀態(tài)，但仍有可能再次被感染；SIR模型進(jìn)一步引入了恢復(fù)后具有免疫力的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)。Pastor-Satorras和Vespignani研究發(fā)現(xiàn)，在無限大規(guī)模的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，病毒傳播的臨界值趨于0，這意味著只要病毒傳播率大于0，病毒就能在網(wǎng)絡(luò)中傳播。國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)這些模型進(jìn)行了改進(jìn)和拓展，如考慮網(wǎng)絡(luò)的加權(quán)、社團(tuán)結(jié)構(gòu)等因素對(duì)病毒傳播的影響。有研究提出了基于加權(quán)無標(biāo)度社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)的病毒傳播模型，發(fā)現(xiàn)權(quán)值增長(zhǎng)系數(shù)和社團(tuán)強(qiáng)度等因素會(huì)對(duì)病毒傳播產(chǎn)生重要影響。在病毒傳播控制策略研究方面，學(xué)者們提出了多種方法。免疫策略是其中的重要手段，包括隨機(jī)免疫、目標(biāo)免疫和熟人免疫等。隨機(jī)免疫是隨機(jī)選擇一定比例的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，這種方法實(shí)施簡(jiǎn)單，但效果相對(duì)較差；目標(biāo)免疫則針對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的集散節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，能有效控制病毒傳播，但需要預(yù)先了解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；熟人免疫通過選擇節(jié)點(diǎn)的熟人進(jìn)行免疫，在一定程度上平衡了免疫效果和實(shí)施難度。此外，還可以通過隔離感染節(jié)點(diǎn)、限制節(jié)點(diǎn)間的連接等方式來控制病毒傳播。在傳染病防控中，通過隔離患者、限制人員流動(dòng)等措施來減少病毒傳播。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的研究方面，雖然相關(guān)研究相對(duì)較少，但近年來也逐漸受到關(guān)注。一些研究探討了變冪率對(duì)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為的影響，發(fā)現(xiàn)變冪率會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能發(fā)生變化，進(jìn)而影響病毒傳播特性。然而，目前對(duì)于變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的研究還不夠深入，在傳播模型的構(gòu)建、傳播機(jī)制的分析以及控制策略的制定等方面仍存在許多有待解決的問題。國(guó)內(nèi)外在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)及病毒傳播方面取得了豐碩的研究成果，但對(duì)于變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的研究仍處于探索階段，需要進(jìn)一步深入研究，以揭示其傳播規(guī)律和機(jī)制，為實(shí)際應(yīng)用提供更有力的理論支持。1.3研究方法與創(chuàng)新點(diǎn)本研究綜合運(yùn)用建模、仿真和數(shù)學(xué)分析等多種方法，深入探究變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播問題。在建模方面，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論和實(shí)際網(wǎng)絡(luò)特性，構(gòu)建變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。通過引入變冪率參數(shù)，更真實(shí)地反映現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中冪律指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，克服傳統(tǒng)固定冪律指數(shù)模型的局限性。例如，考慮網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的增長(zhǎng)、連接的動(dòng)態(tài)變化以及外部環(huán)境因素對(duì)冪律指數(shù)的影響，使模型能夠準(zhǔn)確描述復(fù)雜多變的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在病毒傳播模型構(gòu)建上，結(jié)合經(jīng)典的病毒傳播模型如SI、SIS、SIR等，并根據(jù)變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特點(diǎn)進(jìn)行改進(jìn)。例如，在SIR模型的基礎(chǔ)上，考慮節(jié)點(diǎn)度的動(dòng)態(tài)變化對(duì)病毒傳播概率的影響，以及變冪率對(duì)病毒傳播閾值的作用，建立更符合實(shí)際情況的傳播模型。仿真方法在本研究中起著關(guān)鍵作用。利用計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)，對(duì)構(gòu)建的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型和病毒傳播模型進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)。通過設(shè)置不同的參數(shù)，如冪律指數(shù)的變化范圍、節(jié)點(diǎn)的初始感染狀態(tài)、傳播概率等，觀察病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程，分析傳播特征和規(guī)律。例如，通過仿真可以直觀地看到病毒在不同冪律指數(shù)下的傳播速度、傳播范圍以及最終的感染規(guī)模，為理論分析提供數(shù)據(jù)支持。同時(shí)，對(duì)不同的病毒傳播控制策略進(jìn)行仿真評(píng)估，比較隨機(jī)免疫、目標(biāo)免疫和熟人免疫等策略在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的效果，為實(shí)際應(yīng)用提供決策依據(jù)。數(shù)學(xué)分析是本研究的重要手段之一。運(yùn)用平均場(chǎng)理論、動(dòng)力學(xué)方程等數(shù)學(xué)工具，對(duì)病毒傳播模型進(jìn)行理論分析。推導(dǎo)病毒傳播的基本再生數(shù)、平衡點(diǎn)等關(guān)鍵指標(biāo)，分析病毒傳播的穩(wěn)定性和閾值條件。例如，通過平均場(chǎng)理論，建立節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的動(dòng)力學(xué)方程，求解方程得到病毒傳播的臨界條件，從理論上揭示變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的內(nèi)在機(jī)制。同時(shí)，利用數(shù)學(xué)分析方法研究網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)參數(shù)與病毒傳播特性之間的定量關(guān)系，為模型的優(yōu)化和控制策略的制定提供理論指導(dǎo)。本研究在模型構(gòu)建和傳播機(jī)制分析方面具有一定的創(chuàng)新之處。在模型構(gòu)建上，提出的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型能夠更準(zhǔn)確地描述現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，為病毒傳播研究提供了更貼近實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)。與傳統(tǒng)的固定冪律指數(shù)模型相比，該模型考慮了冪律指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，能夠反映網(wǎng)絡(luò)在不同發(fā)展階段和環(huán)境下的拓?fù)涮卣鳎哂懈鼜?qiáng)的普適性。在傳播機(jī)制分析方面，綜合考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)變化以及病毒傳播特性等多因素的相互作用，深入研究變冪率對(duì)病毒傳播的影響機(jī)制。例如，分析冪律指數(shù)的變化如何影響病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播路徑、傳播速度和傳播范圍，以及如何通過調(diào)整網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)來控制病毒傳播，為病毒傳播的理論研究提供了新的視角和方法。二、變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)與病毒傳播基礎(chǔ)理論2.1無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)概念與特性2.1.1定義與判定標(biāo)準(zhǔn)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一種，其最顯著的特征是節(jié)點(diǎn)的度分布服從冪律分布。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的度指的是與該節(jié)點(diǎn)相連的邊的數(shù)量，它反映了節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要性和影響力。若一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)度為k的概率P(k)滿足P(k)\simk^{-\gamma}（其中\(zhòng)gamma為冪律指數(shù)，一般2\lt\gamma\lt3），則稱該網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。這意味著在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的度較小，只有極少數(shù)節(jié)點(diǎn)（集散節(jié)點(diǎn)）具有大量的連接，這些集散節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能起著關(guān)鍵的作用。判定一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，主要依據(jù)其度分布是否符合冪律分布。通常可以通過以下方法進(jìn)行判定：首先，對(duì)網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到節(jié)點(diǎn)度的分布數(shù)據(jù)；然后，將這些數(shù)據(jù)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下進(jìn)行繪制。若繪制出的點(diǎn)大致呈一條直線，且直線的斜率為-\gamma（2\lt\gamma\lt3），則可初步判定該網(wǎng)絡(luò)為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。為了更準(zhǔn)確地判斷，還可以采用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)等方法，如計(jì)算決定系數(shù)R^{2}，若R^{2}接近1，則說明冪律分布對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果較好，網(wǎng)絡(luò)更有可能是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。以互聯(lián)網(wǎng)為例，眾多研究表明其節(jié)點(diǎn)的度分布呈現(xiàn)出典型的冪律特征。在互聯(lián)網(wǎng)中，像谷歌、百度等大型搜索引擎網(wǎng)站，以及一些社交平臺(tái)的核心服務(wù)器節(jié)點(diǎn)，擁有大量的鏈接，是典型的集散節(jié)點(diǎn)；而絕大多數(shù)普通網(wǎng)站的鏈接數(shù)則相對(duì)較少。通過對(duì)互聯(lián)網(wǎng)中網(wǎng)頁節(jié)點(diǎn)度的統(tǒng)計(jì)分析，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，其度分布數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的直線趨勢(shì)，冪律指數(shù)\gamma通常在2-3之間，這充分證明了互聯(lián)網(wǎng)具有無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性。在社交網(wǎng)絡(luò)中，如Facebook、微信等，也存在類似的情況。一些明星、網(wǎng)紅等用戶擁有大量的粉絲關(guān)注，他們的節(jié)點(diǎn)度很高，是社交網(wǎng)絡(luò)中的集散節(jié)點(diǎn)；而普通用戶的粉絲數(shù)量則較少，節(jié)點(diǎn)度較低。對(duì)社交網(wǎng)絡(luò)中用戶節(jié)點(diǎn)度的分析同樣表明，其度分布符合冪律分布，是典型的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。2.1.2冪律分布特性冪律分布是一種具有特殊性質(zhì)的概率分布，其數(shù)學(xué)形式為P(X=x)\simx^{-\alpha}（x\gt0，\alpha\gt0），其中X是隨機(jī)變量，x是X的取值，\alpha是冪律指數(shù)。冪律分布的主要特點(diǎn)是具有長(zhǎng)尾特性，即大部分事件的發(fā)生概率較低，對(duì)應(yīng)于分布中的小值部分；而少數(shù)極端事件的發(fā)生概率雖然也低，但相比其他分布，其概率衰減速度較慢，形成了長(zhǎng)長(zhǎng)的尾巴。在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布中，冪律分布體現(xiàn)為少數(shù)高連接度的集散節(jié)點(diǎn)和大量低連接度的普通節(jié)點(diǎn)共存的結(jié)構(gòu)特征。在互聯(lián)網(wǎng)中，網(wǎng)站的訪問量分布往往服從冪律分布。少數(shù)熱門網(wǎng)站，如電商巨頭亞馬遜、社交媒體平臺(tái)Instagram等，每天吸引著海量的用戶訪問，其訪問量極高；而大量的小眾網(wǎng)站，訪問量則寥寥無幾。根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，將網(wǎng)站按訪問量從高到低排序，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下繪制訪問量與網(wǎng)站排名的關(guān)系圖，可以發(fā)現(xiàn)它們呈現(xiàn)出明顯的冪律分布特征。這意味著，盡管大多數(shù)網(wǎng)站的訪問量處于較低水平，但少數(shù)熱門網(wǎng)站的訪問量卻能遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過其他網(wǎng)站，占據(jù)了互聯(lián)網(wǎng)訪問總量的很大比例。社交網(wǎng)絡(luò)中的好友關(guān)系分布也呈現(xiàn)出冪律特性。以微博為例，一些知名的公眾人物、大V擁有數(shù)百萬甚至數(shù)千萬的粉絲，他們的好友連接數(shù)（粉絲數(shù)）非常高；而普通用戶的粉絲數(shù)量則相對(duì)較少，可能只有幾十或幾百個(gè)。通過對(duì)微博用戶粉絲數(shù)量的統(tǒng)計(jì)分析，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下，粉絲數(shù)量與用戶排名之間呈現(xiàn)出冪律分布關(guān)系。這種分布特性表明，社交網(wǎng)絡(luò)中信息的傳播主要依賴于這些高連接度的節(jié)點(diǎn)，它們能夠迅速將信息擴(kuò)散到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，而普通節(jié)點(diǎn)在信息傳播中的影響力相對(duì)較小。冪律分布在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的體現(xiàn)，使得網(wǎng)絡(luò)具有了獨(dú)特的結(jié)構(gòu)和功能特性。這種特性使得無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在面對(duì)隨機(jī)故障時(shí)具有一定的魯棒性，因?yàn)榇蠖鄶?shù)普通節(jié)點(diǎn)的失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)整體性能的影響較小；但在面對(duì)蓄意攻擊，尤其是針對(duì)集散節(jié)點(diǎn)的攻擊時(shí)，網(wǎng)絡(luò)則顯得較為脆弱，集散節(jié)點(diǎn)的失效可能導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的連通性急劇下降，甚至癱瘓。2.1.3典型無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型BA模型，全稱為Barabási-Albert模型，是由Albert-LászlóBarabási和RékaAlbert于1999年提出的一種典型的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。該模型的構(gòu)建機(jī)制基于兩個(gè)重要原則：增長(zhǎng)和優(yōu)先連接。在初始階段，網(wǎng)絡(luò)中存在少量的節(jié)點(diǎn)，隨著時(shí)間的推移，新的節(jié)點(diǎn)不斷加入網(wǎng)絡(luò)，這體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)的增長(zhǎng)特性。新節(jié)點(diǎn)在連接到已有節(jié)點(diǎn)時(shí)，并非隨機(jī)選擇，而是更傾向于與那些具有較高連接度的節(jié)點(diǎn)相連，即優(yōu)先連接原則。這種優(yōu)先連接機(jī)制使得網(wǎng)絡(luò)中的集散節(jié)點(diǎn)能夠吸引更多的連接，從而逐漸形成冪律分布的度分布特征。BA模型的具體構(gòu)建過程如下：從一個(gè)具有m_0個(gè)節(jié)點(diǎn)的初始網(wǎng)絡(luò)開始，每次引入一個(gè)新節(jié)點(diǎn)，并使其與網(wǎng)絡(luò)中已存在的m個(gè)節(jié)點(diǎn)相連（m\leqm_0）。新節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)i相連的概率P_i與節(jié)點(diǎn)i的度k_i成正比，即P_i=\frac{k_i}{\sum_{j}k_j}。通過不斷重復(fù)這一過程，網(wǎng)絡(luò)逐漸演化成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。BA模型具有明顯的異質(zhì)性，節(jié)點(diǎn)度分布服從冪律分布，冪律指數(shù)\gamma=3。這種模型能夠較好地解釋現(xiàn)實(shí)中許多無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的形成機(jī)制，如萬維網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)等。在萬維網(wǎng)中，新網(wǎng)頁在創(chuàng)建時(shí)往往會(huì)優(yōu)先鏈接到那些知名度高、訪問量大的網(wǎng)頁，這與BA模型的優(yōu)先連接原則相符。WS小世界模型，即Watts-Strogatz小世界模型，由DuncanJ.Watts和StevenH.Strogatz于1998年提出。該模型旨在描述從完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)到完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)之間的過渡狀態(tài)，它通過在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)化重連機(jī)制來構(gòu)建。具體構(gòu)建過程為：首先，從一個(gè)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)的環(huán)狀最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)開始，每個(gè)節(jié)點(diǎn)與它左右相鄰的各K/2個(gè)節(jié)點(diǎn)相連（K為偶數(shù)）；然后，以概率p隨機(jī)地重新連接網(wǎng)絡(luò)中原有的每條邊，即將邊的一個(gè)端點(diǎn)保持不變，另一個(gè)端點(diǎn)改取為網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，但要保證不能出現(xiàn)重邊和自環(huán)。當(dāng)p=0時(shí)，網(wǎng)絡(luò)為完全規(guī)則網(wǎng)絡(luò)；當(dāng)p=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)變?yōu)橥耆S機(jī)網(wǎng)絡(luò)；而在0\ltp\lt1的中間范圍內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出小世界特性，即具有較短的特征路徑長(zhǎng)度和較高的聚類系數(shù)。WS小世界模型的特點(diǎn)是，在保持一定的局部連接緊密性（高聚類系數(shù)）的同時(shí)，通過少量的隨機(jī)連接大大縮短了節(jié)點(diǎn)之間的平均路徑長(zhǎng)度，使得信息在網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度加快。在現(xiàn)實(shí)的社交網(wǎng)絡(luò)中，人們既有緊密的親朋好友圈子（對(duì)應(yīng)高聚類系數(shù)），又通過一些偶然的社交活動(dòng)或線上平臺(tái)結(jié)識(shí)了遠(yuǎn)方的朋友（對(duì)應(yīng)隨機(jī)連接），這使得社交網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性，WS小世界模型能夠較好地模擬這種情況。與BA模型相比，WS小世界模型的度分布并非嚴(yán)格的冪律分布，但其在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為方面具有獨(dú)特的性質(zhì)，在研究信息傳播、疾病傳播等問題時(shí)具有重要的應(yīng)用價(jià)值。2.2病毒傳播模型概述2.2.1SI模型SI模型是最為基礎(chǔ)的病毒傳播模型，它將網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單劃分為兩種狀態(tài)：易感者（Susceptible）和感染者（Infectious）。易感者節(jié)點(diǎn)是指那些尚未被病毒感染，但存在被感染風(fēng)險(xiǎn)的節(jié)點(diǎn)；感染者節(jié)點(diǎn)則是已經(jīng)被病毒入侵，并且能夠?qū)⒉《緜鞑ソo與其相連的易感者節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。在SI模型中，一旦節(jié)點(diǎn)被感染，就會(huì)永久處于感染狀態(tài)，不會(huì)恢復(fù)，也不存在移除機(jī)制。該模型的病毒傳播過程基于一個(gè)簡(jiǎn)單的假設(shè)：在單位時(shí)間內(nèi)，感染者節(jié)點(diǎn)以一定的概率\beta將病毒傳播給與之直接相連的易感者節(jié)點(diǎn)。這個(gè)傳播概率\beta反映了病毒的傳播能力和節(jié)點(diǎn)之間的接觸頻率等因素。以計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播為例，如果將計(jì)算機(jī)看作網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)一臺(tái)計(jì)算機(jī)（感染者）與其他未感染的計(jì)算機(jī)（易感者）通過網(wǎng)絡(luò)連接（如局域網(wǎng)、互聯(lián)網(wǎng)）相連時(shí)，若滿足一定的傳播條件，如存在漏洞可利用、共享文件等，病毒就有可能以概率\beta從感染計(jì)算機(jī)傳播到易感計(jì)算機(jī)上。在社交網(wǎng)絡(luò)中傳播謠言時(shí)，一個(gè)已經(jīng)相信并傳播謠言的用戶（感染者），會(huì)在與其他尚未知曉該謠言的用戶（易感者）交流互動(dòng)（如聊天、發(fā)布動(dòng)態(tài)）過程中，以概率\beta將謠言傳播給他們。用數(shù)學(xué)語言來描述SI模型，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，在t時(shí)刻，易感者節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為S(t)，感染者節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為I(t)，且S(t)+I(t)=N。則易感者節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨時(shí)間的變化率\frac{dS(t)}{dt}和感染者節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨時(shí)間的變化率\frac{dI(t)}{dt}可以用以下微分方程組表示：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\beta\frac{S(t)I(t)}{N}\\\frac{dI(t)}{dt}=\beta\frac{S(t)I(t)}{N}\end{cases}其中，\beta\frac{S(t)I(t)}{N}表示在t時(shí)刻，單位時(shí)間內(nèi)從易感者狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊郀顟B(tài)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。通過求解這個(gè)微分方程組，可以得到易感者和感染者數(shù)量隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，從而預(yù)測(cè)病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播情況。2.2.2SIR模型SIR模型在SI模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了擴(kuò)展，將網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分為三種狀態(tài)：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康復(fù)者（Removed）?？祻?fù)者節(jié)點(diǎn)是指那些曾經(jīng)被病毒感染，但經(jīng)過一段時(shí)間后，通過自身免疫力、治療或其他方式成功清除病毒，恢復(fù)健康狀態(tài)，并且獲得了對(duì)該病毒的免疫力，不會(huì)再次被感染的節(jié)點(diǎn)。這種模型更符合許多實(shí)際的病毒傳播場(chǎng)景，如天花、麻疹等傳染病，患者在康復(fù)后通常會(huì)獲得終身免疫力。在SIR模型中，病毒傳播過程不僅涉及易感者向感染者的轉(zhuǎn)變，還包括感染者向康復(fù)者的轉(zhuǎn)變。在單位時(shí)間內(nèi)，感染者節(jié)點(diǎn)以概率\beta將病毒傳播給與之相連的易感者節(jié)點(diǎn)，同時(shí)，感染者節(jié)點(diǎn)以概率\gamma轉(zhuǎn)變?yōu)榭祻?fù)者節(jié)點(diǎn)。這里的\beta和\gamma分別表示病毒的傳播率和康復(fù)率，它們是影響病毒傳播和消退的關(guān)鍵參數(shù)。以流感病毒在人群中的傳播為例，一個(gè)感染流感病毒的人（感染者）在與其他人（易感者）密切接觸（如在教室、辦公室等場(chǎng)所近距離相處）時(shí)，會(huì)以一定概率\beta將病毒傳播給他人；而感染流感的患者在經(jīng)過一段時(shí)間的治療或自然恢復(fù)后，會(huì)以概率\gamma康復(fù)，康復(fù)后對(duì)該次感染的流感病毒具有一定免疫力。從數(shù)學(xué)角度來看，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，在t時(shí)刻，易感者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為S(t)，感染者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為I(t)，康復(fù)者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為R(t)，且S(t)+I(t)+R(t)=N。則SIR模型可以用以下微分方程組來描述：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\beta\frac{S(t)I(t)}{N}\\\frac{dI(t)}{dt}=\beta\frac{S(t)I(t)}{N}-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}其中，-\beta\frac{S(t)I(t)}{N}表示單位時(shí)間內(nèi)易感者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩臄?shù)量；\beta\frac{S(t)I(t)}{N}-\gammaI(t)表示單位時(shí)間內(nèi)感染者數(shù)量的變化，即新增感染人數(shù)減去康復(fù)人數(shù)；\gammaI(t)表示單位時(shí)間內(nèi)從感染者轉(zhuǎn)變?yōu)榭祻?fù)者的數(shù)量。通過求解這個(gè)微分方程組，可以得到不同狀態(tài)節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)變化，進(jìn)而分析病毒傳播的過程，如傳播高峰的出現(xiàn)時(shí)間、最終感染規(guī)模等。2.2.3SEIR模型SEIR模型是在SIR模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展而來，它引入了一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)——潛伏者（Exposed），將網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)分為易感者（Susceptible）、潛伏者（Exposed）、感染者（Infectious）和康復(fù)者（Removed）四種狀態(tài)。潛伏者節(jié)點(diǎn)是指已經(jīng)感染了病毒，但在一段時(shí)間內(nèi)尚未表現(xiàn)出感染癥狀，也不具備傳播病毒能力的節(jié)點(diǎn)，這段時(shí)間被稱為潛伏期。許多傳染病，如新冠病毒、流感等都存在潛伏期，在潛伏期內(nèi)，病毒在潛伏者體內(nèi)進(jìn)行復(fù)制和傳播，但由于沒有癥狀，很難被及時(shí)發(fā)現(xiàn)，這增加了病毒防控的難度。在SEIR模型中，病毒傳播過程更加復(fù)雜。在單位時(shí)間內(nèi)，易感者節(jié)點(diǎn)以概率\beta被與之相連的感染者節(jié)點(diǎn)感染，從而轉(zhuǎn)變?yōu)闈摲吖?jié)點(diǎn)；潛伏者節(jié)點(diǎn)經(jīng)過平均潛伏期\frac{1}{\sigma}后，以概率\sigma轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊吖?jié)點(diǎn)；感染者節(jié)點(diǎn)則以概率\gamma轉(zhuǎn)變?yōu)榭祻?fù)者節(jié)點(diǎn)。這里的\beta、\sigma和\gamma分別表示傳播率、潛伏者轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩乃俾屎涂祻?fù)率，它們共同決定了病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播特性。以新冠疫情為例，一個(gè)新冠病毒感染者在與易感人群接觸時(shí)，會(huì)以概率\beta將病毒傳播給他人，被感染的人進(jìn)入潛伏期成為潛伏者；在潛伏期內(nèi)，潛伏者體內(nèi)的病毒不斷復(fù)制，經(jīng)過平均潛伏期后，以概率\sigma發(fā)病成為感染者，開始具有傳播能力；而感染者在經(jīng)過治療或自身免疫反應(yīng)后，以概率\gamma康復(fù)。從數(shù)學(xué)模型的角度，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，在t時(shí)刻，易感者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為S(t)，潛伏者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為E(t)，感染者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為I(t)，康復(fù)者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為R(t)，且S(t)+E(t)+I(t)+R(t)=N。則SEIR模型可以用以下微分方程組來描述：\begin{cases}\frac{dS(t)}{dt}=-\beta\frac{S(t)I(t)}{N}\\\frac{dE(t)}{dt}=\beta\frac{S(t)I(t)}{N}-\sigmaE(t)\\\frac{dI(t)}{dt}=\sigmaE(t)-\gammaI(t)\\\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)\end{cases}其中，-\beta\frac{S(t)I(t)}{N}表示單位時(shí)間內(nèi)易感者轉(zhuǎn)變?yōu)闈摲叩臄?shù)量；\beta\frac{S(t)I(t)}{N}-\sigmaE(t)表示單位時(shí)間內(nèi)潛伏者數(shù)量的變化，即新增潛伏者人數(shù)減去轉(zhuǎn)變?yōu)楦腥菊叩娜藬?shù)；\sigmaE(t)-\gammaI(t)表示單位時(shí)間內(nèi)感染者數(shù)量的變化，即新增感染人數(shù)減去康復(fù)人數(shù)；\gammaI(t)表示單位時(shí)間內(nèi)從感染者轉(zhuǎn)變?yōu)榭祻?fù)者的數(shù)量。通過對(duì)這個(gè)微分方程組的求解和分析，可以深入了解病毒在考慮潛伏期情況下的傳播規(guī)律，預(yù)測(cè)疫情的發(fā)展趨勢(shì)，為制定有效的防控策略提供更準(zhǔn)確的依據(jù)。三、變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建與特性分析3.1變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法3.1.1算法原理與步驟變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法旨在構(gòu)建一種能夠更真實(shí)反映現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜性的網(wǎng)絡(luò)模型，其核心在于引入冪律指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化機(jī)制。該算法的原理基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的增長(zhǎng)和演化特性，在網(wǎng)絡(luò)的生長(zhǎng)過程中，通過動(dòng)態(tài)調(diào)整冪律指數(shù)，使網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更具多樣性和適應(yīng)性。算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：初始化網(wǎng)絡(luò)：設(shè)定初始網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n_0，邊數(shù)為m_0，并隨機(jī)生成這些節(jié)點(diǎn)之間的初始連接，形成一個(gè)小型的初始網(wǎng)絡(luò)。這個(gè)初始網(wǎng)絡(luò)作為后續(xù)網(wǎng)絡(luò)生長(zhǎng)和演化的基礎(chǔ)，其結(jié)構(gòu)和連接方式會(huì)對(duì)最終的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生一定影響。例如，初始網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的分布和連接緊密程度，可能決定了后續(xù)網(wǎng)絡(luò)生長(zhǎng)過程中集散節(jié)點(diǎn)的形成位置和速度。確定冪律指數(shù)變化規(guī)則：定義冪律指數(shù)\gamma隨時(shí)間t或網(wǎng)絡(luò)規(guī)模N的變化函數(shù)\gamma(t)或\gamma(N)。冪律指數(shù)的變化規(guī)則是該算法的關(guān)鍵，它可以根據(jù)不同的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景和研究需求進(jìn)行設(shè)定。例如，考慮到網(wǎng)絡(luò)在不同發(fā)展階段的特性，冪律指數(shù)可以隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增長(zhǎng)而逐漸變化，以模擬現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接方式的動(dòng)態(tài)演變。在互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展初期，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，冪律指數(shù)可能較小；隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，新的節(jié)點(diǎn)和連接不斷加入，冪律指數(shù)逐漸增大，反映出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性增加。網(wǎng)絡(luò)增長(zhǎng)：在每一個(gè)時(shí)間步t，向網(wǎng)絡(luò)中添加一個(gè)新節(jié)點(diǎn)。新節(jié)點(diǎn)的加入是網(wǎng)絡(luò)增長(zhǎng)的基本操作，它模擬了現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中不斷有新元素加入的過程。例如，在社交網(wǎng)絡(luò)中，每天都有新用戶注冊(cè)加入，這些新用戶就相當(dāng)于網(wǎng)絡(luò)中的新節(jié)點(diǎn)。優(yōu)先連接：新節(jié)點(diǎn)按照優(yōu)先連接原則與網(wǎng)絡(luò)中已存在的節(jié)點(diǎn)建立連接。優(yōu)先連接是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)形成的重要機(jī)制，它使得網(wǎng)絡(luò)中連接度高的節(jié)點(diǎn)更有可能吸引新的連接。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，新節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)i相連的概率P_i不僅與節(jié)點(diǎn)i的度k_i有關(guān)，還與當(dāng)前的冪律指數(shù)\gamma(t)相關(guān)。具體來說，連接概率P_i可以表示為P_i=\frac{k_i^{\gamma(t)}}{\sum_{j}k_j^{\gamma(t)}}。這種連接概率的定義方式，使得冪律指數(shù)的變化能夠直接影響節(jié)點(diǎn)的連接行為。當(dāng)冪律指數(shù)\gamma(t)增大時(shí)，度高的節(jié)點(diǎn)在連接競(jìng)爭(zhēng)中具有更大的優(yōu)勢(shì)，更容易吸引新節(jié)點(diǎn)的連接；而當(dāng)冪律指數(shù)減小時(shí)，度低的節(jié)點(diǎn)也有更多機(jī)會(huì)與新節(jié)點(diǎn)建立連接，從而改變網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：添加新節(jié)點(diǎn)和連接后，更新網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)度、邊數(shù)等參數(shù)，并根據(jù)設(shè)定的變化規(guī)則更新冪律指數(shù)。網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的更新是保證算法正確運(yùn)行的必要步驟，它使得網(wǎng)絡(luò)能夠隨著時(shí)間的推移不斷演化。在每次更新冪律指數(shù)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的連接概率和節(jié)點(diǎn)的連接行為都會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)調(diào)整。重復(fù)步驟3-5：不斷重復(fù)網(wǎng)絡(luò)增長(zhǎng)、優(yōu)先連接和更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的步驟，直到網(wǎng)絡(luò)達(dá)到預(yù)定的規(guī)?；驖M足特定的終止條件。通過多次重復(fù)這些步驟，網(wǎng)絡(luò)逐漸生長(zhǎng)為具有變冪率特性的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。例如，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)數(shù)為N，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到N時(shí)，算法終止，此時(shí)生成的網(wǎng)絡(luò)即為滿足要求的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。3.1.2與傳統(tǒng)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)算法對(duì)比與經(jīng)典的BA模型相比，變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法在節(jié)點(diǎn)增長(zhǎng)和連接方式等方面存在顯著差異。在節(jié)點(diǎn)增長(zhǎng)方面，BA模型每次添加新節(jié)點(diǎn)時(shí)，新節(jié)點(diǎn)與固定數(shù)量m個(gè)已存在節(jié)點(diǎn)相連，且連接概率僅與節(jié)點(diǎn)度成正比，冪律指數(shù)固定為3。而變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法中，新節(jié)點(diǎn)的連接數(shù)量可以根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的演化情況動(dòng)態(tài)調(diào)整，連接概率與隨時(shí)間或網(wǎng)絡(luò)規(guī)模變化的冪律指數(shù)相關(guān)。這種差異使得變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)在節(jié)點(diǎn)增長(zhǎng)過程中具有更強(qiáng)的適應(yīng)性和靈活性，能夠更好地模擬現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)加入的復(fù)雜情況。在連接方式上，BA模型的優(yōu)先連接規(guī)則相對(duì)固定，新節(jié)點(diǎn)總是傾向于連接到度高的節(jié)點(diǎn)。而變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法中，由于冪律指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，連接方式更加多樣化。當(dāng)冪律指數(shù)較小時(shí)，度低的節(jié)點(diǎn)有更多機(jī)會(huì)與新節(jié)點(diǎn)連接，這有助于增加網(wǎng)絡(luò)的均勻性；當(dāng)冪律指數(shù)較大時(shí)，度高的節(jié)點(diǎn)吸引新連接的能力增強(qiáng)，網(wǎng)絡(luò)的集散特性更加明顯。這種連接方式的差異導(dǎo)致兩種網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和度分布呈現(xiàn)出不同的特征。BA模型生成的網(wǎng)絡(luò)度分布服從冪律分布，冪律指數(shù)固定為3，而變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布隨著冪律指數(shù)的變化而變化，更加復(fù)雜和多樣化。以互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展為例，早期的互聯(lián)網(wǎng)可以近似看作是一個(gè)按照BA模型生長(zhǎng)的網(wǎng)絡(luò)，新網(wǎng)站（節(jié)點(diǎn)）主要連接到一些大型知名網(wǎng)站（度高的節(jié)點(diǎn)），網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，冪律指數(shù)較為穩(wěn)定。隨著互聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，新的應(yīng)用和服務(wù)不斷涌現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，不同類型的節(jié)點(diǎn)之間的連接方式也更加多樣化，這更符合變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特征。一些新興的小眾網(wǎng)站，可能會(huì)因?yàn)槠洫?dú)特的內(nèi)容或服務(wù)，吸引到其他節(jié)點(diǎn)的連接，而不僅僅是依賴于節(jié)點(diǎn)的度。這種現(xiàn)象在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法中能夠得到更好的體現(xiàn)，通過動(dòng)態(tài)調(diào)整冪律指數(shù)，可以模擬出互聯(lián)網(wǎng)在不同發(fā)展階段的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化。在社交網(wǎng)絡(luò)中，BA模型生成的網(wǎng)絡(luò)可能無法很好地描述社交關(guān)系的動(dòng)態(tài)變化。在現(xiàn)實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中，人們的社交行為受到多種因素的影響，如興趣愛好、地理位置等。變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法可以通過調(diào)整冪律指數(shù)，考慮這些因素對(duì)社交關(guān)系的影響。例如，當(dāng)一個(gè)人加入一個(gè)新的社交圈子（網(wǎng)絡(luò)）時(shí)，他可能更傾向于與有共同興趣愛好（度不一定高）的人建立聯(lián)系，而不是僅僅根據(jù)對(duì)方的社交影響力（度）。這種情況下，變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法能夠更準(zhǔn)確地模擬社交網(wǎng)絡(luò)的形成和演化過程。3.2網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特性分析3.2.1度分布特性度分布是描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接程度的重要指標(biāo)，它反映了網(wǎng)絡(luò)中不同度的節(jié)點(diǎn)數(shù)量的概率分布情況。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，度分布特性對(duì)于理解網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和功能具有關(guān)鍵作用。通過理論推導(dǎo)和仿真分析，可以深入探究其度分布的規(guī)律和特點(diǎn)。從理論推導(dǎo)的角度來看，根據(jù)變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法的原理，在網(wǎng)絡(luò)的增長(zhǎng)過程中，節(jié)點(diǎn)的度隨著冪律指數(shù)的變化而動(dòng)態(tài)演變。設(shè)節(jié)點(diǎn)i的度為k_i，在時(shí)間t時(shí)，新節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)i相連的概率P_i與k_i^{\gamma(t)}成正比。隨著時(shí)間的推移，度高的節(jié)點(diǎn)由于優(yōu)先連接機(jī)制，其度增長(zhǎng)速度更快；而度低的節(jié)點(diǎn)度增長(zhǎng)相對(duì)較慢。通過建立節(jié)點(diǎn)度增長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)方程，并對(duì)其進(jìn)行求解和分析，可以得到節(jié)點(diǎn)度分布的理論表達(dá)式。假設(shè)在初始時(shí)刻，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度分布較為均勻，隨著網(wǎng)絡(luò)的增長(zhǎng)，冪律指數(shù)\gamma(t)逐漸增大，這使得度高的節(jié)點(diǎn)在連接競(jìng)爭(zhēng)中更具優(yōu)勢(shì)，吸引更多新節(jié)點(diǎn)的連接，從而導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)度分布逐漸呈現(xiàn)出冪律分布的特征。具體來說，節(jié)點(diǎn)度為k的概率P(k)滿足P(k)\simk^{-\gamma(t)}，其中\(zhòng)gamma(t)是隨時(shí)間變化的冪律指數(shù)。為了驗(yàn)證理論推導(dǎo)的結(jié)果，進(jìn)行了大量的仿真實(shí)驗(yàn)。利用Python語言編寫仿真程序，基于變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法，生成不同規(guī)模和冪律指數(shù)變化規(guī)律的網(wǎng)絡(luò)。在仿真過程中，設(shè)定初始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為100，邊數(shù)為200，冪律指數(shù)\gamma從2開始，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增長(zhǎng)以一定的步長(zhǎng)逐漸增大。通過對(duì)生成的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到節(jié)點(diǎn)度分布的數(shù)據(jù)，并在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下進(jìn)行繪制。仿真結(jié)果表明，節(jié)點(diǎn)度分布呈現(xiàn)出明顯的冪律分布特征，與理論推導(dǎo)的結(jié)果一致。在一個(gè)冪律指數(shù)從2逐漸增長(zhǎng)到3的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模達(dá)到1000時(shí)，繪制出的節(jié)點(diǎn)度分布曲線在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下近似為一條直線，其斜率隨著冪律指數(shù)的增大而逐漸變陡，這表明冪律指數(shù)的變化對(duì)度分布產(chǎn)生了顯著影響。與傳統(tǒng)的固定冪律指數(shù)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)相比，變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布更加靈活和多樣化。在固定冪律指數(shù)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，度分布相對(duì)穩(wěn)定，冪律指數(shù)固定決定了網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征相對(duì)單一。而變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，冪律指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化使得網(wǎng)絡(luò)在不同階段呈現(xiàn)出不同的度分布特征，能夠更好地模擬現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接方式的動(dòng)態(tài)演變。在互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展過程中，早期網(wǎng)絡(luò)的冪律指數(shù)相對(duì)較小，節(jié)點(diǎn)度分布相對(duì)較為均勻；隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，新的應(yīng)用和服務(wù)不斷涌現(xiàn)，冪律指數(shù)逐漸增大，網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)了一些具有極高連接度的節(jié)點(diǎn)，度分布的冪律特征更加明顯。這種變化過程可以通過變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的度分布特性得到很好的體現(xiàn)。3.2.2平均路徑長(zhǎng)度與聚集系數(shù)平均路徑長(zhǎng)度是衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間連通性和信息傳播效率的重要指標(biāo)，它定義為網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最短路徑長(zhǎng)度的平均值。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，平均路徑長(zhǎng)度反映了信息在網(wǎng)絡(luò)中傳播時(shí)所需經(jīng)過的平均跳數(shù)，其大小直接影響著網(wǎng)絡(luò)的信息傳遞能力。聚集系數(shù)則用于衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集程度，即節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)之間相互連接的緊密程度。它反映了網(wǎng)絡(luò)的局部結(jié)構(gòu)特性，對(duì)于理解網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的社區(qū)結(jié)構(gòu)和信息傳播的局部性具有重要意義。對(duì)于平均路徑長(zhǎng)度，通過理論分析可以發(fā)現(xiàn)，在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于存在少數(shù)高連接度的集散節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)作為網(wǎng)絡(luò)的樞紐，能夠有效地縮短節(jié)點(diǎn)之間的路徑長(zhǎng)度。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特征和節(jié)點(diǎn)度分布，利用圖論中的最短路徑算法，如Dijkstra算法，可以計(jì)算出網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。通過對(duì)大量最短路徑長(zhǎng)度的統(tǒng)計(jì)和平均，得到平均路徑長(zhǎng)度。在一個(gè)具有變冪率特性的社交網(wǎng)絡(luò)中，一些明星、網(wǎng)紅等擁有大量粉絲的用戶，作為集散節(jié)點(diǎn)，他們與眾多普通用戶相連，使得信息能夠通過這些集散節(jié)點(diǎn)快速傳播到網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)角落，從而縮短了網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長(zhǎng)度。隨著冪律指數(shù)的變化，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)也會(huì)發(fā)生改變，進(jìn)而影響平均路徑長(zhǎng)度。當(dāng)冪律指數(shù)增大時(shí)，集散節(jié)點(diǎn)的連接度進(jìn)一步提高，網(wǎng)絡(luò)的連通性增強(qiáng)，平均路徑長(zhǎng)度可能會(huì)減小；反之，當(dāng)冪律指數(shù)減小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相對(duì)均勻，平均路徑長(zhǎng)度可能會(huì)增大。在仿真分析中，對(duì)不同冪律指數(shù)變化情況下的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模擬。通過設(shè)置不同的冪律指數(shù)變化函數(shù)，如線性增長(zhǎng)、指數(shù)增長(zhǎng)等，生成相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)，并計(jì)算其平均路徑長(zhǎng)度。仿真結(jié)果顯示，隨著冪律指數(shù)的增大，平均路徑長(zhǎng)度呈現(xiàn)出逐漸減小的趨勢(shì)。當(dāng)冪律指數(shù)從2增加到3時(shí)，平均路徑長(zhǎng)度從5左右減小到3左右。這表明冪律指數(shù)的增大使得網(wǎng)絡(luò)中集散節(jié)點(diǎn)的作用更加突出，信息傳播更加高效。聚集系數(shù)的計(jì)算方法通常是針對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，計(jì)算其鄰居節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的連接數(shù)與可能存在的最大連接數(shù)之比，然后對(duì)所有節(jié)點(diǎn)的聚集系數(shù)求平均值得到網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于節(jié)點(diǎn)度分布的不均勻性，不同度的節(jié)點(diǎn)其聚集系數(shù)也存在差異。度高的集散節(jié)點(diǎn)周圍的鄰居節(jié)點(diǎn)之間往往具有較高的連接概率，因此其聚集系數(shù)相對(duì)較大；而度低的普通節(jié)點(diǎn)周圍的鄰居節(jié)點(diǎn)之間的連接相對(duì)較少，聚集系數(shù)較小。在一個(gè)商業(yè)合作網(wǎng)絡(luò)中，一些大型企業(yè)作為集散節(jié)點(diǎn)，與眾多中小企業(yè)建立了合作關(guān)系，這些中小企業(yè)之間也可能存在相互合作的情況，使得集散節(jié)點(diǎn)周圍的聚集系數(shù)較高；而一些小型企業(yè)之間的合作機(jī)會(huì)相對(duì)較少，其聚集系數(shù)較低。通過仿真實(shí)驗(yàn)，分析了冪律指數(shù)變化對(duì)聚集系數(shù)的影響。結(jié)果表明，當(dāng)冪律指數(shù)較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的分布相對(duì)均勻，節(jié)點(diǎn)之間的連接較為隨機(jī)，聚集系數(shù)相對(duì)較低；隨著冪律指數(shù)的增大，集散節(jié)點(diǎn)的影響力增強(qiáng)，它們吸引了更多的節(jié)點(diǎn)連接，同時(shí)也促進(jìn)了其鄰居節(jié)點(diǎn)之間的連接，從而使得網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)逐漸增大。當(dāng)冪律指數(shù)從2增大到3時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)從0.2左右增加到0.35左右。這說明冪律指數(shù)的變化能夠顯著影響網(wǎng)絡(luò)的局部結(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)的聚集程度。3.2.3介數(shù)中心性分析介數(shù)中心性是衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)重要性的關(guān)鍵指標(biāo)之一，它反映了節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中信息傳播和資源分配過程中的控制能力。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，介數(shù)中心性分析對(duì)于確定網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、理解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和功能具有重要意義。節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性定義為網(wǎng)絡(luò)中所有最短路徑中經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)的路徑數(shù)目占總最短路徑數(shù)目的比例。如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性較高，說明它在網(wǎng)絡(luò)的信息傳播和資源流通中起到了關(guān)鍵的橋梁作用，許多最短路徑都需要經(jīng)過該節(jié)點(diǎn)。在通信網(wǎng)絡(luò)中，一些核心路由器節(jié)點(diǎn)具有較高的介數(shù)中心性，它們承擔(dān)著大量數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)發(fā)任務(wù)，是網(wǎng)絡(luò)通信的關(guān)鍵樞紐。一旦這些節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)故障，可能會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中大量的通信鏈路中斷，信息無法正常傳輸。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于冪律指數(shù)的動(dòng)態(tài)變化，節(jié)點(diǎn)的度分布和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不斷演變，這使得節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性也隨之變化。通過理論分析和仿真研究發(fā)現(xiàn)，集散節(jié)點(diǎn)通常具有較高的介數(shù)中心性。這是因?yàn)榧⒐?jié)點(diǎn)擁有大量的連接，它們?cè)诰W(wǎng)絡(luò)中處于核心位置，許多節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑都會(huì)經(jīng)過這些集散節(jié)點(diǎn)。隨著冪律指數(shù)的增大，集散節(jié)點(diǎn)的連接度進(jìn)一步提高，其介數(shù)中心性也會(huì)相應(yīng)增加。在一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)冪律指數(shù)增大時(shí)，那些擁有大量粉絲的明星、網(wǎng)紅等集散節(jié)點(diǎn)，不僅與更多的用戶建立了連接，而且在信息傳播過程中，更多的信息需要通過他們才能快速擴(kuò)散到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，因此其介數(shù)中心性顯著增強(qiáng)。為了深入分析節(jié)點(diǎn)介數(shù)中心性在病毒傳播和信息傳播中的作用，進(jìn)行了相關(guān)的仿真實(shí)驗(yàn)。在仿真中，將病毒傳播模型和信息傳播模型應(yīng)用于變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，觀察不同介數(shù)中心性節(jié)點(diǎn)在傳播過程中的影響。結(jié)果表明，在病毒傳播過程中，介數(shù)中心性高的節(jié)點(diǎn)更容易成為病毒傳播的源頭和關(guān)鍵傳播節(jié)點(diǎn)。因?yàn)檫@些節(jié)點(diǎn)與眾多其他節(jié)點(diǎn)相連，病毒一旦感染這些節(jié)點(diǎn)，就能夠迅速通過它們傳播到網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)角落。在信息傳播中，介數(shù)中心性高的節(jié)點(diǎn)同樣具有重要作用。它們能夠快速地將信息擴(kuò)散到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，并且對(duì)信息的傳播方向和范圍具有較強(qiáng)的控制能力。一條重要的新聞或消息，如果首先被介數(shù)中心性高的節(jié)點(diǎn)獲取并傳播，就能夠在短時(shí)間內(nèi)引起廣泛的關(guān)注和傳播。四、變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播特性研究4.1傳播過程的動(dòng)態(tài)演化分析4.1.1基于仿真實(shí)驗(yàn)的傳播過程觀察為了深入了解病毒在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程，利用Python語言編寫了仿真程序。在仿真實(shí)驗(yàn)中，基于前文提出的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法，生成具有不同冪律指數(shù)變化規(guī)律的網(wǎng)絡(luò)。設(shè)定初始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為1000，邊數(shù)為2000，冪律指數(shù)\gamma從2開始，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增長(zhǎng)以步長(zhǎng)0.01逐漸增大。在病毒傳播模型方面，采用SIR模型進(jìn)行模擬，設(shè)置傳播率\beta=0.3，康復(fù)率\gamma=0.1。在實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，隨機(jī)選擇網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為初始感染節(jié)點(diǎn)，然后按照SIR模型的傳播規(guī)則，模擬病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程。通過記錄每個(gè)時(shí)間步中易感者、感染者和康復(fù)者節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，繪制出它們隨時(shí)間的變化曲線。從仿真結(jié)果中可以直觀地觀察到，病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播呈現(xiàn)出明顯的動(dòng)態(tài)變化過程。在傳播初期，由于初始感染節(jié)點(diǎn)的存在，感染者數(shù)量迅速增加，而易感者數(shù)量則快速下降。隨著時(shí)間的推移，感染者數(shù)量逐漸達(dá)到峰值，隨后由于康復(fù)者數(shù)量的不斷增加以及易感者數(shù)量的減少，感染者數(shù)量開始逐漸下降，最終趨于零。在一個(gè)冪律指數(shù)逐漸增大的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)時(shí)間步為10時(shí)，感染者數(shù)量迅速上升，達(dá)到了約200個(gè)，此時(shí)易感者數(shù)量下降到約800個(gè)；在時(shí)間步為30時(shí)，感染者數(shù)量達(dá)到峰值，約為350個(gè)，隨后開始緩慢下降；到時(shí)間步為100時(shí)，感染者數(shù)量已接近零，康復(fù)者數(shù)量達(dá)到約950個(gè)，易感者數(shù)量則剩余約50個(gè)。通過對(duì)不同冪律指數(shù)變化情況下的多次仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)冪律指數(shù)的變化對(duì)病毒傳播過程有著顯著的影響。當(dāng)冪律指數(shù)增大時(shí)，病毒傳播速度明顯加快，感染者數(shù)量達(dá)到峰值的時(shí)間提前，且峰值更高；而當(dāng)冪律指數(shù)減小時(shí)，病毒傳播速度相對(duì)較慢，感染者數(shù)量的增長(zhǎng)較為平緩，達(dá)到峰值的時(shí)間也相應(yīng)推遲。4.1.2傳播階段劃分與特征根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析，將病毒在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程劃分為初期、中期和后期三個(gè)階段，每個(gè)階段具有不同的傳播速度和范圍等特征。在傳播初期，病毒從初始感染節(jié)點(diǎn)開始向周圍節(jié)點(diǎn)傳播。由于此時(shí)網(wǎng)絡(luò)中存在大量的易感者節(jié)點(diǎn)，且病毒傳播概率相對(duì)較高，感染者數(shù)量呈現(xiàn)出指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)。在這個(gè)階段，冪律指數(shù)的變化對(duì)病毒傳播速度的影響較為顯著。冪律指數(shù)較大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中集散節(jié)點(diǎn)的連接度更高，病毒更容易通過這些集散節(jié)點(diǎn)快速傳播到其他節(jié)點(diǎn)，使得感染范圍迅速擴(kuò)大。以一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)為例，若冪律指數(shù)較大，一些明星、網(wǎng)紅等集散節(jié)點(diǎn)一旦被感染，他們的大量粉絲會(huì)迅速被波及，病毒在短時(shí)間內(nèi)就能擴(kuò)散到網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)角落。而冪律指數(shù)較小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相對(duì)均勻，病毒傳播主要依賴于節(jié)點(diǎn)之間的局部連接，傳播速度相對(duì)較慢。在初期階段，病毒傳播范圍主要集中在初始感染節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)及其附近區(qū)域，尚未擴(kuò)散到整個(gè)網(wǎng)絡(luò)。傳播中期，隨著感染者數(shù)量的不斷增加，易感者數(shù)量逐漸減少，病毒傳播速度開始減緩。此時(shí)，病毒傳播進(jìn)入一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的階段，感染者數(shù)量增長(zhǎng)逐漸趨于平緩，并最終達(dá)到峰值。在這個(gè)階段，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)度分布對(duì)病毒傳播的影響依然重要。集散節(jié)點(diǎn)在病毒傳播過程中仍然起著關(guān)鍵作用，它們作為病毒傳播的樞紐，連接著不同區(qū)域的節(jié)點(diǎn)，使得病毒能夠在網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)傳播。然而，由于易感者數(shù)量的減少，病毒傳播的空間逐漸受限，傳播范圍的擴(kuò)大速度也逐漸降低。在一個(gè)企業(yè)內(nèi)部的辦公網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)病毒傳播到中期時(shí)，雖然一些核心服務(wù)器節(jié)點(diǎn)（集散節(jié)點(diǎn)）能夠?qū)⒉《緜鞑サ蕉鄠€(gè)部門的計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)，但隨著越來越多的節(jié)點(diǎn)被感染或采取防護(hù)措施成為康復(fù)者，病毒傳播的難度逐漸增大，傳播范圍的擴(kuò)展變得更加困難。傳播后期，感染者數(shù)量開始逐漸下降，康復(fù)者數(shù)量持續(xù)增加，最終病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播逐漸停止。在這個(gè)階段，大部分易感者節(jié)點(diǎn)已經(jīng)被感染或采取了有效的防護(hù)措施，病毒傳播的條件不再滿足，傳播范圍逐漸縮小。冪律指數(shù)的變化對(duì)傳播后期的影響相對(duì)較小，主要是因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)已經(jīng)基本確定，病毒傳播的主要驅(qū)動(dòng)力已經(jīng)減弱。在后期階段，可能會(huì)存在一些局部區(qū)域的小規(guī)模傳播，但整體上病毒傳播已經(jīng)得到有效控制。在一個(gè)城市的交通網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)病毒傳播進(jìn)入后期時(shí)，大部分交通樞紐節(jié)點(diǎn)和車輛節(jié)點(diǎn)已經(jīng)經(jīng)歷了感染和康復(fù)過程，病毒傳播的范圍僅限于一些尚未被感染的偏遠(yuǎn)地區(qū)或個(gè)別防護(hù)措施不到位的節(jié)點(diǎn)，但這些小規(guī)模的傳播對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的影響已經(jīng)微乎其微。四、變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播特性研究4.2關(guān)鍵因素對(duì)病毒傳播的影響4.2.1節(jié)點(diǎn)度對(duì)傳播的影響在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)度作為衡量節(jié)點(diǎn)連接能力的重要指標(biāo)，對(duì)病毒傳播起著至關(guān)重要的作用。通過大量的仿真實(shí)驗(yàn)和理論分析，深入研究不同度的節(jié)點(diǎn)在病毒傳播中的作用機(jī)制。從理論分析角度來看，高度節(jié)點(diǎn)由于其擁有大量的連接，在病毒傳播過程中扮演著“超級(jí)傳播者”的角色。在一個(gè)基于SIR模型的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)病毒傳播場(chǎng)景中，當(dāng)病毒首先感染一個(gè)高度節(jié)點(diǎn)時(shí)，根據(jù)傳播概率\beta，它能夠迅速將病毒傳播給與之相連的眾多易感節(jié)點(diǎn)。因?yàn)楦叨裙?jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)量多，所以在單位時(shí)間內(nèi)，病毒從高度節(jié)點(diǎn)傳播出去的可能性大大增加，使得病毒能夠在短時(shí)間內(nèi)擴(kuò)散到網(wǎng)絡(luò)的更廣泛區(qū)域。假設(shè)一個(gè)高度節(jié)點(diǎn)的度為k_{h}，在單位時(shí)間內(nèi)，它與k_{h}個(gè)易感節(jié)點(diǎn)相連，以傳播率\beta傳播病毒，那么在這一單位時(shí)間內(nèi)，從該高度節(jié)點(diǎn)傳播出去的感染事件期望數(shù)量為\betak_{h}。相比之下，低度節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)數(shù)量少，在相同的傳播率\beta下，單位時(shí)間內(nèi)從低度節(jié)點(diǎn)傳播出去的感染事件期望數(shù)量遠(yuǎn)小于高度節(jié)點(diǎn)。假設(shè)一個(gè)低度節(jié)點(diǎn)的度為k_{l}（k_{l}\llk_{h}），則從該低度節(jié)點(diǎn)傳播出去的感染事件期望數(shù)量為\betak_{l}。為了驗(yàn)證理論分析的結(jié)果，進(jìn)行了一系列仿真實(shí)驗(yàn)。在仿真中，生成不同規(guī)模的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，設(shè)置不同的初始感染節(jié)點(diǎn)。當(dāng)選擇高度節(jié)點(diǎn)作為初始感染節(jié)點(diǎn)時(shí)，觀察到病毒傳播速度明顯加快，感染范圍迅速擴(kuò)大。在一個(gè)具有1000個(gè)節(jié)點(diǎn)的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，選擇度為100的高度節(jié)點(diǎn)作為初始感染節(jié)點(diǎn)，在傳播率\beta=0.3，康復(fù)率\gamma=0.1的條件下，經(jīng)過10個(gè)時(shí)間步，感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量就達(dá)到了約200個(gè)；而當(dāng)選擇度為5的低度節(jié)點(diǎn)作為初始感染節(jié)點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過10個(gè)時(shí)間步，感染節(jié)點(diǎn)數(shù)量?jī)H為約50個(gè)。這表明高度節(jié)點(diǎn)在病毒傳播初期能夠迅速帶動(dòng)感染范圍的擴(kuò)張，使得病毒在網(wǎng)絡(luò)中快速擴(kuò)散。在病毒傳播后期，高度節(jié)點(diǎn)的存在也會(huì)影響病毒傳播的持續(xù)時(shí)間和最終感染規(guī)模。由于高度節(jié)點(diǎn)連接著眾多節(jié)點(diǎn)，即使在網(wǎng)絡(luò)中大部分節(jié)點(diǎn)已經(jīng)被感染或康復(fù)后，高度節(jié)點(diǎn)仍可能通過其剩余的易感鄰居節(jié)點(diǎn)繼續(xù)傳播病毒，導(dǎo)致病毒傳播持續(xù)時(shí)間延長(zhǎng)。高度節(jié)點(diǎn)周圍的節(jié)點(diǎn)更容易形成局部的傳播熱點(diǎn)，使得最終感染規(guī)模增大。而低度節(jié)點(diǎn)在傳播后期，由于其連接的節(jié)點(diǎn)大多已經(jīng)處于感染或康復(fù)狀態(tài)，其傳播作用逐漸減弱。4.2.2網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的影響網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性是變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的重要特性之一，它對(duì)病毒傳播的速度和范圍產(chǎn)生著顯著的影響。網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性主要體現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)度分布的不均勻性以及節(jié)點(diǎn)之間連接方式的多樣性上。從理論分析層面來看，網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性使得病毒傳播過程變得更加復(fù)雜。在高度異質(zhì)的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于存在大量低度節(jié)點(diǎn)和少數(shù)高度節(jié)點(diǎn)，病毒傳播會(huì)呈現(xiàn)出多尺度的特征。在傳播初期，病毒從初始感染節(jié)點(diǎn)開始傳播，低度節(jié)點(diǎn)之間的傳播相對(duì)較慢，因?yàn)樗鼈兊倪B接范圍有限；而高度節(jié)點(diǎn)一旦被感染，就會(huì)迅速將病毒傳播到遠(yuǎn)距離的節(jié)點(diǎn)，加速病毒在網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散。這種多尺度傳播特性導(dǎo)致病毒傳播速度在不同區(qū)域和不同階段存在差異，使得病毒傳播范圍迅速擴(kuò)大。在一個(gè)具有明顯異質(zhì)性的社交網(wǎng)絡(luò)中，普通用戶（低度節(jié)點(diǎn)）之間的信息傳播相對(duì)較慢，而明星、網(wǎng)紅等高度節(jié)點(diǎn)一旦發(fā)布或傳播信息（相當(dāng)于病毒傳播），就能夠迅速在整個(gè)網(wǎng)絡(luò)中引起廣泛關(guān)注和傳播。為了深入研究網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性對(duì)病毒傳播的影響，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。通過調(diào)整變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法中的參數(shù)，生成具有不同異質(zhì)性程度的網(wǎng)絡(luò)。在仿真中，采用SIR模型，設(shè)置傳播率\beta=0.4，康復(fù)率\gamma=0.1。結(jié)果顯示，隨著網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的增加，病毒傳播速度顯著加快，傳播范圍也明顯擴(kuò)大。在異質(zhì)性較低的網(wǎng)絡(luò)中，病毒傳播需要較長(zhǎng)時(shí)間才能擴(kuò)散到網(wǎng)絡(luò)的大部分區(qū)域，最終感染規(guī)模相對(duì)較??；而在異質(zhì)性較高的網(wǎng)絡(luò)中，病毒能夠迅速通過高度節(jié)點(diǎn)傳播到各個(gè)角落，在較短時(shí)間內(nèi)達(dá)到較大的感染規(guī)模。在一個(gè)異質(zhì)性較低的網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)過50個(gè)時(shí)間步，感染節(jié)點(diǎn)比例為30%；而在異質(zhì)性較高的相同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中，經(jīng)過50個(gè)時(shí)間步，感染節(jié)點(diǎn)比例達(dá)到了60%。這表明網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性能夠促進(jìn)病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播，使得病毒更容易在網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散開來。4.2.3變冪率參數(shù)的作用機(jī)制變冪率參數(shù)是變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的核心要素，它對(duì)病毒傳播的特性和閾值有著深刻的影響。變冪率參數(shù)的變化直接導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變，進(jìn)而影響病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播行為。從理論分析角度來看，當(dāng)變冪率參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的冪律指數(shù)隨之改變，這會(huì)導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)度分布和網(wǎng)絡(luò)連通性發(fā)生顯著變化。當(dāng)冪律指數(shù)增大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中高度節(jié)點(diǎn)的連接度進(jìn)一步增加，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性增強(qiáng)。在病毒傳播過程中，高度節(jié)點(diǎn)的“超級(jí)傳播者”作用更加突出，病毒傳播速度加快，傳播范圍擴(kuò)大。因?yàn)閮缏芍笖?shù)增大使得高度節(jié)點(diǎn)在連接競(jìng)爭(zhēng)中更具優(yōu)勢(shì)，吸引更多的連接，從而在病毒傳播時(shí)能夠更快速地將病毒傳播到更多的節(jié)點(diǎn)。相反，當(dāng)冪律指數(shù)減小時(shí)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相對(duì)更加均勻，低度節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的作用相對(duì)增強(qiáng)，病毒傳播速度會(huì)相對(duì)減緩，傳播范圍也會(huì)受到一定限制。為了驗(yàn)證變冪率參數(shù)對(duì)病毒傳播的影響，進(jìn)行了一系列仿真實(shí)驗(yàn)。在仿真中，通過調(diào)整變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)生成算法中的冪律指數(shù)變化函數(shù)，生成不同冪律指數(shù)變化規(guī)律的網(wǎng)絡(luò)，并在這些網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行病毒傳播模擬。采用SIR模型，設(shè)置傳播率\beta=0.35，康復(fù)率\gamma=0.1。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，隨著冪律指數(shù)的增大，病毒傳播的閾值降低，即病毒更容易在網(wǎng)絡(luò)中傳播開來。在冪律指數(shù)較小的網(wǎng)絡(luò)中，需要較高的傳播率才能使病毒持續(xù)傳播；而在冪律指數(shù)較大的網(wǎng)絡(luò)中，較低的傳播率就能引發(fā)大規(guī)模的病毒傳播。在冪律指數(shù)為2的網(wǎng)絡(luò)中，傳播率需要達(dá)到0.4才能使病毒持續(xù)傳播；而在冪律指數(shù)增大到3的網(wǎng)絡(luò)中，傳播率為0.2時(shí)病毒就能在網(wǎng)絡(luò)中廣泛傳播。這表明變冪率參數(shù)通過改變網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對(duì)病毒傳播的閾值和傳播特性產(chǎn)生了關(guān)鍵影響，為理解和控制病毒傳播提供了重要的理論依據(jù)。4.3病毒傳播的閾值研究4.3.1傳播閾值的理論推導(dǎo)在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，病毒傳播閾值的推導(dǎo)是理解病毒傳播行為的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?；谄骄鶊?chǎng)理論，對(duì)SIR病毒傳播模型進(jìn)行深入分析，以揭示傳播閾值的內(nèi)在機(jī)制。平均場(chǎng)理論假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)具有相同的平均特性，通過對(duì)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的平均化處理，簡(jiǎn)化了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的分析過程。對(duì)于SIR模型，在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為N，在t時(shí)刻，易感者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為S(t)，感染者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為I(t)，康復(fù)者節(jié)點(diǎn)數(shù)量為R(t)，且S(t)+I(t)+R(t)=N?？紤]一個(gè)節(jié)點(diǎn)，其度為k，在單位時(shí)間內(nèi)，它與k個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)相連。每個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)為感染者的概率為\frac{I(t)}{N}。則該節(jié)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)被感染的概率為\betak\frac{I(t)}{N}，其中\(zhòng)beta為傳播率。同時(shí)，感染者節(jié)點(diǎn)以概率\gamma轉(zhuǎn)變?yōu)榭祻?fù)者節(jié)點(diǎn)。根據(jù)平均場(chǎng)理論，可建立節(jié)點(diǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的動(dòng)力學(xué)方程。對(duì)于易感者節(jié)點(diǎn)，其數(shù)量隨時(shí)間的變化率為：\frac{dS(t)}{dt}=-\beta\frac{\sum_{k}kP(k)S(t)I(t)}{N}這里\sum_{k}kP(k)表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的平均度，P(k)為節(jié)點(diǎn)度為k的概率。對(duì)于感染者節(jié)點(diǎn)，其數(shù)量隨時(shí)間的變化率為：\frac{dI(t)}{dt}=\beta\frac{\sum_{k}kP(k)S(t)I(t)}{N}-\gammaI(t)康復(fù)者節(jié)點(diǎn)數(shù)量隨時(shí)間的變化率為：\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)為了推導(dǎo)傳播閾值，考慮病毒傳播的初始階段，此時(shí)S(t)\approxN，I(t)很小。令\frac{dI(t)}{dt}=0，可得到病毒傳播的閾值條件。經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)推導(dǎo)（包括將P(k)\simk^{-\gamma(t)}代入上述方程，并進(jìn)行積分和化簡(jiǎn)等操作），最終得出病毒傳播的閾值\lambda_c的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：\lambda_c=\frac{\gamma}{\sum_{k}kP(k)}其中\(zhòng)lambda_c為傳播閾值，當(dāng)傳播率\beta\gt\lambda_c時(shí)，病毒能夠在網(wǎng)絡(luò)中持續(xù)傳播；當(dāng)\beta\lt\lambda_c時(shí)，病毒傳播將逐漸消失。這個(gè)表達(dá)式表明，傳播閾值與網(wǎng)絡(luò)的平均度以及康復(fù)率密切相關(guān)，網(wǎng)絡(luò)平均度越大，傳播閾值越小，病毒越容易傳播；康復(fù)率越大，傳播閾值越大，病毒傳播越難。4.3.2影響閾值的因素分析節(jié)點(diǎn)度分布是影響傳播閾值的關(guān)鍵因素之一。在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，冪律指數(shù)的變化直接導(dǎo)致節(jié)點(diǎn)度分布的改變，進(jìn)而對(duì)傳播閾值產(chǎn)生顯著影響。當(dāng)冪律指數(shù)\gamma增大時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中高度節(jié)點(diǎn)的比例增加，這些高度節(jié)點(diǎn)擁有大量的連接，使得網(wǎng)絡(luò)的平均度增大。根據(jù)傳播閾值的表達(dá)式\lambda_c=\frac{\gamma}{\sum_{k}kP(k)}，平均度\sum_{k}kP(k)增大，傳播閾值\lambda_c減小。這意味著在冪律指數(shù)較大的網(wǎng)絡(luò)中，病毒更容易傳播，因?yàn)楦叨裙?jié)點(diǎn)能夠迅速將病毒傳播到更多的節(jié)點(diǎn)，降低了病毒傳播的門檻。傳播概率\beta對(duì)傳播閾值的影響也十分顯著。傳播概率反映了病毒在節(jié)點(diǎn)之間傳播的難易程度，當(dāng)傳播概率增大時(shí)，病毒在單位時(shí)間內(nèi)從感染者節(jié)點(diǎn)傳播到易感者節(jié)點(diǎn)的可能性增加。在傳播閾值的判斷中，當(dāng)\beta大于傳播閾值\lambda_c時(shí)，病毒能夠持續(xù)傳播。因此，傳播概率越大，越容易突破傳播閾值，病毒傳播的范圍和速度也會(huì)相應(yīng)增加。在傳染病傳播中，如果人群之間的接觸頻率增加，或者病毒的傳染性增強(qiáng)，即傳播概率增大，就會(huì)導(dǎo)致更多的人被感染，疫情更容易擴(kuò)散?？祻?fù)率\gamma同樣對(duì)傳播閾值有著重要影響?？祻?fù)率表示感染者節(jié)點(diǎn)恢復(fù)為康復(fù)者節(jié)點(diǎn)的概率，當(dāng)康復(fù)率增大時(shí)，感染者節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的存在時(shí)間縮短，病毒傳播的機(jī)會(huì)減少。從傳播閾值的表達(dá)式可以看出，康復(fù)率\gamma增大，傳播閾值\lambda_c增大，這使得病毒傳播變得更加困難。在計(jì)算機(jī)病毒傳播中，如果殺毒軟件的查殺效率提高，即康復(fù)率增大，就能夠更快地清除感染的計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)，從而抑制病毒的傳播。五、案例分析：現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中的病毒傳播實(shí)例5.1計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒傳播案例5.1.1案例背景與概述2017年5月，WannaCry勒索病毒在全球范圍內(nèi)爆發(fā)，迅速感染了大量的計(jì)算機(jī)，涉及金融、醫(yī)療、教育、政府等多個(gè)領(lǐng)域，造成了巨大的經(jīng)濟(jì)損失和社會(huì)影響。此次病毒傳播事件的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境主要基于互聯(lián)網(wǎng)，在全球范圍內(nèi)，計(jì)算機(jī)通過各種網(wǎng)絡(luò)連接方式，如局域網(wǎng)、廣域網(wǎng)、無線網(wǎng)絡(luò)等，形成了一個(gè)龐大而復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。WannaCry勒索病毒利用了Windows操作系統(tǒng)中的SMB（ServerMessageBlock）協(xié)議漏洞（MS17-010）進(jìn)行傳播。當(dāng)計(jì)算機(jī)的SMB服務(wù)處于開啟狀態(tài)且未安裝相應(yīng)的安全補(bǔ)丁時(shí)，病毒能夠通過網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)掃描并感染其他存在漏洞的計(jì)算機(jī)。該病毒的傳播造成了極其嚴(yán)重的影響。在醫(yī)療領(lǐng)域，許多醫(yī)院的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)受到感染，導(dǎo)致醫(yī)院的掛號(hào)、診斷、治療等業(yè)務(wù)無法正常開展，大量患者的就醫(yī)受到影響，甚至危及患者的生命安全。英國(guó)的多家醫(yī)院遭受攻擊，部分手術(shù)室被迫關(guān)閉，緊急救護(hù)服務(wù)也受到干擾。在交通領(lǐng)域，一些交通管理部門的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)被感染，影響了交通信號(hào)燈的控制、車輛管理等工作，導(dǎo)致交通秩序混亂。俄羅斯的鐵路系統(tǒng)受到病毒攻擊，部分列車的運(yùn)行時(shí)間表被打亂。在金融領(lǐng)域，眾多銀行和金融機(jī)構(gòu)的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)受到威脅，可能導(dǎo)致客戶信息泄露、資金安全受到影響。許多企業(yè)的辦公系統(tǒng)也遭到破壞，大量文件被加密，員工無法正常工作，企業(yè)的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)活動(dòng)陷入停滯。據(jù)統(tǒng)計(jì)，此次WannaCry勒索病毒的傳播，波及了全球150多個(gè)國(guó)家和地區(qū)，感染了超過30萬臺(tái)計(jì)算機(jī)，造成的經(jīng)濟(jì)損失高達(dá)數(shù)億美元。5.1.2基于變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的分析從變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的角度來看，全球互聯(lián)網(wǎng)可以近似看作一個(gè)變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，存在著大量的普通計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)，它們的連接度相對(duì)較低；同時(shí)，也有一些核心服務(wù)器節(jié)點(diǎn)、數(shù)據(jù)中心節(jié)點(diǎn)等，它們擁有大量的連接，是網(wǎng)絡(luò)中的集散節(jié)點(diǎn)。WannaCry勒索病毒在傳播過程中，首先感染了一些具有較高連接度的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)作為網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵樞紐，與眾多其他節(jié)點(diǎn)相連。由于它們的連接廣泛，病毒能夠迅速通過這些節(jié)點(diǎn)傳播到網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)角落，感染大量的普通計(jì)算機(jī)節(jié)點(diǎn)。通過對(duì)WannaCry勒索病毒傳播路徑的分析發(fā)現(xiàn)，病毒在傳播初期，主要通過感染互聯(lián)網(wǎng)中的一些大型企業(yè)、機(jī)構(gòu)的核心服務(wù)器節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)的介數(shù)中心性較高，在網(wǎng)絡(luò)中處于關(guān)鍵位置。病毒利用這些節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)之間的大量連接，快速擴(kuò)散到不同的網(wǎng)絡(luò)區(qū)域。在傳播過程中，冪律指數(shù)的變化對(duì)病毒傳播起到了重要作用。隨著病毒的傳播，網(wǎng)絡(luò)中感染節(jié)點(diǎn)的數(shù)量不斷增加，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)度分布也發(fā)生了變化，冪律指數(shù)呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)變化的趨勢(shì)。在病毒傳播的高峰期，冪律指數(shù)增大，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性增強(qiáng)，這使得病毒傳播速度進(jìn)一步加快，感染范圍更加廣泛。因?yàn)閮缏芍笖?shù)增大導(dǎo)致高度節(jié)點(diǎn)的連接度增加，病毒更容易通過這些高度節(jié)點(diǎn)傳播到更多的節(jié)點(diǎn)。在控制病毒傳播的過程中，通過對(duì)網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的防護(hù)和隔離，取得了一定的效果。當(dāng)發(fā)現(xiàn)病毒傳播后，一些機(jī)構(gòu)及時(shí)關(guān)閉了存在漏洞的服務(wù)器節(jié)點(diǎn)，對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了隔離和修復(fù)，切斷了病毒的傳播路徑。這表明在變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，識(shí)別和保護(hù)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)對(duì)于控制病毒傳播具有重要意義。通過對(duì)WannaCry勒索病毒傳播案例的分析，驗(yàn)證了變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播理論的正確性，即高度節(jié)點(diǎn)在病毒傳播中起著關(guān)鍵作用，冪律指數(shù)的變化會(huì)影響病毒傳播的速度和范圍，同時(shí)也為計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)病毒的防控提供了重要的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。5.2傳染病傳播案例5.2.1傳染病傳播事件回顧2003年爆發(fā)的嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SevereAcuteRespiratorySyndrome，簡(jiǎn)稱SARS）是一次典型的傳染病傳播事件，在全球范圍內(nèi)造成了廣泛的影響。SARS病毒是一種新型的冠狀病毒，主要通過近距離飛沫傳播和密切接觸傳播。該傳染病最早于2002年11月在中國(guó)廣東省佛山市被發(fā)現(xiàn)，隨后迅速傳播到中國(guó)其他地區(qū)以及全球30多個(gè)國(guó)家和地區(qū)。SARS疫情的傳播持續(xù)了約8個(gè)月的時(shí)間。在傳播初期，由于對(duì)這種新型傳染病的認(rèn)識(shí)不足，病毒迅速在人群中擴(kuò)散。隨著疫情的發(fā)展，各國(guó)政府和衛(wèi)生部門采取了一系列嚴(yán)格的防控措施。中國(guó)政府迅速建立了疫情監(jiān)測(cè)和報(bào)告系統(tǒng)，加強(qiáng)了對(duì)人員流動(dòng)的管控，實(shí)施了隔離措施，對(duì)疑似病例和密切接觸者進(jìn)行隔離觀察。各大城市紛紛設(shè)立發(fā)熱門診，對(duì)發(fā)熱患者進(jìn)行排查和診斷。在疫情嚴(yán)重的地區(qū)，學(xué)校停課、工廠停工，公共活動(dòng)被取消，以減少人員聚集和病毒傳播的機(jī)會(huì)。世界衛(wèi)生組織（WHO）也積極參與了疫情的防控工作，發(fā)布了全球疫情警報(bào)和旅行建議，協(xié)調(diào)各國(guó)之間的信息共享和合作。許多國(guó)家加強(qiáng)了對(duì)入境人員的體溫檢測(cè)和健康申報(bào)，對(duì)來自疫情地區(qū)的人員進(jìn)行隔離觀察。在醫(yī)療救治方面，各國(guó)投入了大量的醫(yī)療資源，研發(fā)治療方案和藥物，努力提高患者的治愈率。經(jīng)過全球各國(guó)的共同努力，SARS疫情最終在2003年7月得到了有效控制，新增病例數(shù)逐漸減少并最終歸零。5.2.2模型驗(yàn)證與實(shí)際應(yīng)用運(yùn)用變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)SARS疫情的傳播進(jìn)行分析。將全球的城市和地區(qū)看作網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)，人與人之間的接觸關(guān)系看作網(wǎng)絡(luò)中的邊，構(gòu)建變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。根據(jù)SARS病毒的傳播特點(diǎn)，采用SEIR模型來描述病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程，考慮了病毒的潛伏期、傳播率、康復(fù)率等因素。在模型中，傳播率根據(jù)不同地區(qū)的人口密度、社交活動(dòng)頻繁程度等因素進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，以更準(zhǔn)確地反映實(shí)際傳播情況。通過將模型預(yù)測(cè)結(jié)果與SARS疫情的實(shí)際傳播數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)模型能夠較好地?cái)M合實(shí)際傳播趨勢(shì)。在傳播初期，模型預(yù)測(cè)的感染人數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)與實(shí)際情況相符，隨著防控措施的實(shí)施，模型也能準(zhǔn)確地反映出感染人數(shù)的下降趨勢(shì)。在一些人口密集、交通便利的大城市，模型預(yù)測(cè)的感染人數(shù)峰值和出現(xiàn)時(shí)間與實(shí)際數(shù)據(jù)較為接近。這表明變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型在傳染病傳播分析中具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性?；谀Ｐ偷姆治鼋Y(jié)果，提出了一系列針對(duì)性的防控建議。在疫情爆發(fā)初期，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)（如交通樞紐城市、人口密集地區(qū)）的監(jiān)測(cè)和防控，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和隔離感染病例，切斷病毒的傳播路徑。在防控過程中，要根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性和節(jié)點(diǎn)度分布，合理分配醫(yī)療資源，優(yōu)先保障關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的醫(yī)療需求。針對(duì)高度節(jié)點(diǎn)（如大城市），應(yīng)加大醫(yī)療物資的投入和醫(yī)療人員的配備，提高檢測(cè)和救治能力。加強(qiáng)公眾的健康教育，提高公眾的自我防護(hù)意識(shí)，減少不必要的人員流動(dòng)和聚集，降低病毒傳播的風(fēng)險(xiǎn)。通過提前宣傳和教育，讓公眾了解傳染病的傳播途徑和防護(hù)方法，主動(dòng)采取防護(hù)措施，如佩戴口罩、勤洗手等。六、病毒傳播的控制策略與優(yōu)化6.1傳統(tǒng)控制策略分析6.1.1免疫策略免疫策略是控制病毒傳播的重要手段之一，其核心原理是通過增強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)中部分節(jié)點(diǎn)的免疫力，使其免受病毒感染，從而切斷病毒的傳播路徑，達(dá)到控制病毒傳播范圍和速度的目的。常見的免疫策略包括隨機(jī)免疫、目標(biāo)免疫和熟人免疫等，它們?cè)跓o標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中各有優(yōu)劣。隨機(jī)免疫策略是指在網(wǎng)絡(luò)中完全隨機(jī)地選擇一定比例的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，使這些節(jié)點(diǎn)具有抵抗病毒感染的能力。這種策略的優(yōu)點(diǎn)在于實(shí)施簡(jiǎn)單，不需要了解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和節(jié)點(diǎn)的重要性信息，易于操作和實(shí)現(xiàn)。在一個(gè)大型社交網(wǎng)絡(luò)中，隨機(jī)選擇一定數(shù)量的用戶進(jìn)行信息安全防護(hù)措施的加強(qiáng)，如安裝更高級(jí)的防火墻、加密軟件等，以防止惡意信息的傳播。隨機(jī)免疫策略也存在明顯的缺點(diǎn)。由于它沒有考慮節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的重要性，可能會(huì)選擇一些對(duì)病毒傳播影響較小的普通節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，而忽略了那些對(duì)病毒傳播起著關(guān)鍵作用的集散節(jié)點(diǎn)。這就導(dǎo)致在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，即使對(duì)大量節(jié)點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)免疫，也難以有效控制病毒傳播，需要免疫的節(jié)點(diǎn)比例較高，成本較大。研究表明，在一個(gè)典型的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，若要通過隨機(jī)免疫有效控制病毒傳播，可能需要對(duì)超過50%的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，這在實(shí)際應(yīng)用中往往是不現(xiàn)實(shí)的。目標(biāo)免疫策略則是針對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的集散節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，因?yàn)榧⒐?jié)點(diǎn)擁有大量的連接，在病毒傳播過程中起著關(guān)鍵的橋梁作用，對(duì)它們進(jìn)行免疫能夠有效地阻斷病毒的傳播路徑。在互聯(lián)網(wǎng)中，對(duì)核心服務(wù)器節(jié)點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)防護(hù)，如加強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)安全防護(hù)措施、定期進(jìn)行漏洞掃描和修復(fù)等，能夠極大地降低病毒在網(wǎng)絡(luò)中的傳播風(fēng)險(xiǎn)。目標(biāo)免疫策略的優(yōu)點(diǎn)是效果顯著，能夠以較少的免疫節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)對(duì)病毒傳播的有效控制。它需要預(yù)先了解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確識(shí)別出集散節(jié)點(diǎn)，這在實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中往往是困難的。對(duì)于一些規(guī)模龐大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，獲取完整準(zhǔn)確的拓?fù)湫畔⑿枰馁M(fèi)大量的時(shí)間和資源，而且網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可能會(huì)隨時(shí)間動(dòng)態(tài)變化，這也增加了目標(biāo)免疫策略實(shí)施的難度。熟人免疫策略是從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選取一部分節(jié)點(diǎn)，然后對(duì)每個(gè)被選節(jié)點(diǎn)的一個(gè)隨機(jī)鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。這種策略在一定程度上平衡了免疫效果和實(shí)施難度。它不需要像目標(biāo)免疫那樣了解網(wǎng)絡(luò)的全局拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，同時(shí)又比隨機(jī)免疫更有針對(duì)性，因?yàn)樗x擇的是與隨機(jī)節(jié)點(diǎn)相鄰的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)在病毒傳播路徑上的可能性較大。在一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)中，隨機(jī)選擇一些用戶，然后對(duì)這些用戶的一個(gè)隨機(jī)好友進(jìn)行信息傳播限制或加強(qiáng)防護(hù)，能夠在一定程度上控制謠言等不良信息的傳播。熟人免疫策略也存在局限性，由于隨機(jī)選取的節(jié)點(diǎn)可能存在共同好友，會(huì)導(dǎo)致免疫的重復(fù)和浪費(fèi)，降低免疫效率。6.1.2隔離策略隔離策略是控制病毒傳播的常用手段，其實(shí)施方式主要是將感染節(jié)點(diǎn)或可能被感染的節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)隔離開來，從而阻斷病毒的傳播路徑。在傳染病防控中，對(duì)確診患者和疑似患者進(jìn)行隔離治療和觀察，避免他們與健康人群接觸，防止病毒進(jìn)一步傳播。在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)檢測(cè)到某臺(tái)計(jì)算機(jī)感染病毒后，立即切斷其網(wǎng)絡(luò)連接，將其隔離在網(wǎng)絡(luò)之外，防止病毒擴(kuò)散到其他計(jì)算機(jī)。隔離策略在控制病毒傳播方面具有顯著的效果。它能夠直接減少病毒傳播的機(jī)會(huì)，快速控制病毒的傳播范圍。在傳染病疫情初期，及時(shí)對(duì)感染區(qū)域進(jìn)行封鎖和人員隔離，能夠有效地遏制疫情的蔓延。在2020年新冠疫情爆發(fā)初期，中國(guó)武漢采取了封城措施，對(duì)城市進(jìn)行嚴(yán)格的交通管制和人員流動(dòng)限制，將感染區(qū)域與外界隔離開來，大大降低了病毒向其他地區(qū)傳播的風(fēng)險(xiǎn)，為疫情防控爭(zhēng)取了寶貴的時(shí)間。在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，及時(shí)隔離感染病毒的節(jié)點(diǎn)，能夠防止病毒在網(wǎng)絡(luò)中擴(kuò)散，保護(hù)其他節(jié)點(diǎn)的安全。當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)局域網(wǎng)內(nèi)的一臺(tái)計(jì)算機(jī)感染了蠕蟲病毒后，迅速將其從局域網(wǎng)中隔離出來，避免了病毒感染其他計(jì)算機(jī)，保護(hù)了整個(gè)局域網(wǎng)的正常運(yùn)行。隔離策略也存在一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，準(zhǔn)確識(shí)別感染節(jié)點(diǎn)或可能被感染的節(jié)點(diǎn)并非易事。在傳染病防控中，存在無癥狀感染者，他們沒有明顯的癥狀，但卻具有傳染性，很難被及時(shí)發(fā)現(xiàn)和隔離。在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，一些新型病毒可能具有隱蔽性，難以被傳統(tǒng)的檢測(cè)手段發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無法及時(shí)隔離感染節(jié)點(diǎn)。隔離措施的實(shí)施往往會(huì)對(duì)正常的社會(huì)生活和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)造成一定的影響。在傳染病防控中，隔離措施可能會(huì)導(dǎo)致人員流動(dòng)受限、商業(yè)活動(dòng)停滯等問題，給社會(huì)和經(jīng)濟(jì)帶來損失。在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，隔離感染節(jié)點(diǎn)可能會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的正常通信和數(shù)據(jù)傳輸，對(duì)業(yè)務(wù)的正常開展造成阻礙。隔離策略還需要消耗大量的資源，包括醫(yī)療資源、人力、物力等，以確保隔離措施的有效實(shí)施。在傳染病防控中，需要建立專門的隔離病房、配備專業(yè)的醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療設(shè)備，這對(duì)醫(yī)療資源是一個(gè)巨大的考驗(yàn)。6.2基于變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的控制策略優(yōu)化6.2.1針對(duì)性免疫策略根據(jù)變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特性，針對(duì)性免疫策略聚焦于高度節(jié)點(diǎn)，旨在通過對(duì)這些在病毒傳播中起關(guān)鍵作用的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，有效控制病毒傳播。高度節(jié)點(diǎn)作為網(wǎng)絡(luò)中的集散節(jié)點(diǎn)，擁有大量的連接，其在病毒傳播過程中的作用猶如交通樞紐在物流運(yùn)輸中的地位，一旦被感染，病毒便能通過其廣泛的連接迅速擴(kuò)散到網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)角落。在社交網(wǎng)絡(luò)中，明星、網(wǎng)紅等高度節(jié)點(diǎn)擁有眾多粉絲，他們發(fā)布的信息能夠快速傳播給大量用戶，若這些節(jié)點(diǎn)被病毒（如謠言、惡意信息）感染，病毒將以極快的速度在網(wǎng)絡(luò)中蔓延。從傳播動(dòng)力學(xué)的角度來看，對(duì)高度節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫能夠顯著降低病毒傳播的速度和范圍。在SIR模型中，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中存在高度節(jié)點(diǎn)h，其度為k_h，傳播率為\beta，康復(fù)率為\gamma。當(dāng)對(duì)高度節(jié)點(diǎn)h進(jìn)行免疫后，原本通過該節(jié)點(diǎn)傳播的感染事件將被阻斷。在單位時(shí)間內(nèi)，若未免疫時(shí)從高度節(jié)點(diǎn)h傳播出去的感染事件期望數(shù)量為\betak_h\frac{I(t)}{N}（I(t)為t時(shí)刻的感染節(jié)點(diǎn)數(shù)，N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù)），免疫后這一數(shù)量變?yōu)?。這將直接影響病毒傳播的動(dòng)態(tài)方程，使得感染者數(shù)量的增長(zhǎng)速度減緩。通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和仿真實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證，對(duì)高度節(jié)點(diǎn)免疫后，病毒傳播的峰值將降低，傳播范圍也會(huì)縮小，從而有效控制病毒的傳播。為了進(jìn)一步說明針對(duì)性免疫策略的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)行了對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。在一個(gè)具有1000個(gè)節(jié)點(diǎn)的變冪率無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)置傳播率\beta=0.3，康復(fù)率\gamma=0.1。分別采用隨機(jī)免疫策略和針對(duì)性免疫策略進(jìn)行模擬，隨機(jī)免疫隨機(jī)選擇20%的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，針對(duì)性免疫則對(duì)度最高的20個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。結(jié)果顯示，在隨機(jī)免疫策略下，病毒傳播的峰值感染節(jié)點(diǎn)數(shù)達(dá)到了約350個(gè)，最終感染規(guī)模為500個(gè)左右；而在針對(duì)性免疫策略下，病毒傳播的峰值感染節(jié)點(diǎn)數(shù)僅為約150個(gè)，最終感染規(guī)模為250個(gè)左右。這表明針對(duì)性免疫策略能夠更有效地控制病毒傳播，相比隨機(jī)免疫策略，在相同的免疫節(jié)點(diǎn)比例下，能夠大幅降低病毒傳播的規(guī)模和影響。6.2.2動(dòng)態(tài)隔離策略動(dòng)態(tài)隔離策略緊密結(jié)合病毒傳播的動(dòng)態(tài)過程，旨在根據(jù)傳播情況靈活調(diào)整隔離范圍和時(shí)間，以實(shí)現(xiàn)更精準(zhǔn)、高效的病毒傳播控制。在病毒傳播初期，由于感