三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)換表及應用示例三角函數(shù)作為初等數(shù)學的核心工具之一，其公式轉(zhuǎn)換貫穿于代數(shù)化簡、幾何分析、物理建模等多個領(lǐng)域。本文系統(tǒng)整理三角函數(shù)的核心公式體系，并通過典型示例展示其在解題與實際問題中的應用邏輯，助力讀者構(gòu)建“公式記憶—推導驗證—靈活應用”的完整認知鏈。一、基礎定義與符號約定三角函數(shù)的定義基于單位圓（或直角三角形），設角\(\alpha\)的終邊與單位圓交于點\((x,y)\)，則：正弦：\(\boldsymbol{\sin\alpha=y}\)余弦：\(\boldsymbol{\cos\alpha=x}\)正切：\(\boldsymbol{\tan\alpha=\frac{y}{x}\(x\neq0)}\)余切：\(\boldsymbol{\cot\alpha=\frac{x}{y}\(y\neq0)}\)正割：\(\boldsymbol{\sec\alpha=\frac{1}{x}\(x\neq0)}\)余割：\(\boldsymbol{\csc\alpha=\frac{1}{y}\(y\neq0)}\)角度與弧度的轉(zhuǎn)換關(guān)系為\(\boldsymbol{\pi\\text{弧度}=180^\circ}\)，公式中\(zhòng)(k\in\mathbb{Z}\)（整數(shù)），\(\alpha,\beta\)為任意角，符號“\(\pm\)”需結(jié)合角的象限判斷。二、核心公式轉(zhuǎn)換表（按功能分類）1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系描述同一角的不同三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，是化簡與求值的基礎。關(guān)系類型公式表達式適用場景--------------------------------平方關(guān)系\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

\(1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha\)

\(1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha\)已知一個三角函數(shù)，求同角的其他函數(shù)（需結(jié)合象限定符號）商數(shù)關(guān)系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)

\(\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)正切與正弦、余弦的互化倒數(shù)關(guān)系\(\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1\)

\(\sin\alpha\cdot\csc\alpha=1\)

\(\cos\alpha\cdot\sec\alpha=1\)函數(shù)與其倒數(shù)的轉(zhuǎn)換示例：已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)在第二象限，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)。由平方關(guān)系\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)（第二象限余弦為負），再由商數(shù)關(guān)系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。2.誘導公式（“奇變偶不變，符號看象限”）將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為銳角三角函數(shù)，核心口訣“奇變偶不變（\(k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha\)中，\(k\)為奇數(shù)時函數(shù)名改變，偶數(shù)時不變），符號看象限（將\(\alpha\)視為銳角，判斷原函數(shù)在目標角象限的符號）”。角度形式正弦余弦正切----------------------------\(2k\pi+\alpha\)\(\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\tan\alpha\)\(\pi-\alpha\)\(\sin\alpha\)\(-\cos\alpha\)\(-\tan\alpha\)\(\pi+\alpha\)\(-\sin\alpha\)\(-\cos\alpha\)\(\tan\alpha\)\(-\alpha\)\(-\sin\alpha\)\(\cos\alpha\)\(-\tan\alpha\)\(\frac{\pi}{2}-\alpha\)\(\cos\alpha\)\(\sin\alpha\)\(\cot\alpha\)\(\frac{\pi}{2}+\alpha\)\(\cos\alpha\)\(-\sin\alpha\)\(-\cot\alpha\)示例：化簡\(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)\)。\(\frac{3\pi}{2}\)對應\(k=3\)（奇數(shù)），函數(shù)名由\(\sin\)變\(\cos\)；將\(\alpha\)視為銳角，\(\frac{3\pi}{2}-\alpha\)在第三象限（\(\pi<\frac{3\pi}{2}-\alpha<\frac{3\pi}{2}\)），第三象限正弦為負，故\(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha\)。3.和角與差角公式（兩角和/差的三角函數(shù)展開）是三角恒等變換的“核心引擎”，差角公式可通過\(\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)\)推導。函數(shù)類型和角公式差角公式------------------------------正弦\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\)\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\)余弦\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\)正切\(zhòng)(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)（\(\alpha,\beta,\alpha\pm\beta\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\)）\(\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)示例：求\(\sin75^\circ\)的值。\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\)，代入正弦和角公式：\[\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\]4.倍角公式（角加倍的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換）令和角公式中\(zhòng)(\beta=\alpha\)推導而來，余弦倍角有三種形式（根據(jù)已知條件選擇）。函數(shù)類型公式表達式變形與應用----------------------------------正弦\(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)二倍角的正弦展開余弦\(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)已知\(\cos\alpha\)求\(\cos2\alpha\)（如\(2\cos^2\alpha-1\)可降次）正切\(zhòng)(\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)（\(\alpha\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)）二倍角的正切展開示例：已知\(\cos\alpha=\frac{1}{3}\)，\(\alpha\)在第四象限，求\(\sin2\alpha\)。先求\(\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)（第四象限正弦為負），再代入倍角公式：\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}=-\frac{4\sqrt{2}}{9}\]5.半角公式（角減半的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換）由余弦倍角公式變形（令\(\alpha=\frac{\theta}{2}\)），符號由\(\frac{\theta}{2}\)的象限決定，正切半角的有理式形式無需考慮符號。函數(shù)類型根式形式有理式形式（無符號困擾）----------------------------------------------正弦\(\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\)——余弦\(\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\)——正切\(zhòng)(\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\)\(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)示例：求\(\tan\frac{\pi}{8}\)的值。\(\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\div2\)，代入正切半角的有理式形式\(\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\)（\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)）：\[\tan\frac{\pi}{8}=\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}-1\]6.和差化積與積化和差（和差與積的雙向轉(zhuǎn)換）常用于化簡含多個角的三角函數(shù)式，或積分運算中。和差化積（和/差→積）：\[\begin{align*}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\\sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\\cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\end{align*}\]積化和差（積→和/差）：\[\begin{align*}\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]\\\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]\\\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]\\\sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\end{align*}\]示例：化簡\(\sin5x+\sin3x\)。令\(\alpha=5x\)，\(\beta=3x\)，代入和差化積公式：\[\sin5x+\sin3x=2\sin\frac{5x+3x}{2}\cos\frac{5x-3x}{2}=2\sin4x\cosx\]7.萬能公式（正切半角代換）令\(t=\tan\frac{\alpha}{2}\)，將\(\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha\)表示為\(t\)的有理式，適用于積分或三角方程求解。\[\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}\]示例：將\(\sin\alpha+\cos\alpha\)用\(t=\tan\frac{\alpha}{2}\)表示。代入萬能公式：\[\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{-t^2+2t+1}{1+t^2}\]三、綜合應用示例示例1：恒等式證明證明：\(\frac{1+\sin\alpha+\cos\alpha}{1+\sin\alpha-\cos\alpha}=\cot\frac{\alpha}{2}\)證明：分子\(1+\cos\alpha+\sin\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)\)（倍角公式降次）分母\(1+\sin\alpha-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)\)（倍角公式降次）因此：\[\frac{\text{分子}}{\text{分母}}=\frac{2\cos\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\alpha}{2}+\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{2\sin\frac{\alpha}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}+\cos\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\cot\frac{\alpha}{2}\]示例2：三角形內(nèi)角和的三角恒等式在\(\triangleABC\)中，\(A+B+C=\pi\)，求證：\(\sinA+\sinB+\sinC=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}\)證明：由\(A=\pi-B-C\)，得\(\sinA=\sin