1.2集合間的基本關(guān)系知識探究[問題1]下面給出的兩對集合,集合A中的元素都是集合B中的元素嗎?(1)A={0,1,2}，B={0,1,2,3}；(2)A={x|x<-1}，B={x|x<1}.梳理1子集(1)定義(自然語言):對于兩個集合A,B,如果集合A中

元素都是集合B中的元素，稱集合A為集合B的子集.(2)符號表示(符號語言):A?B，讀作“A

B”；或B?A，讀作“B

A”.(3)Venn圖表示(圖形語言):任意一個包含于包含(4)性質(zhì)①任何一個集合都是它本身的子集，即

.②對于集合A,B,C,如果A?B，且B?C，那么A

C.A?A?2.集合的相等實例觀察下面兩個例子:(1)設(shè)C={x|x是兩條邊相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形};(2)C={1,5,6},D={6,5,1}.[問題2-1]你能發(fā)現(xiàn)兩個集合間有什么關(guān)系嗎?[問題2-2]與實數(shù)中的結(jié)論“若a≥b,且b≥a,則a=b”相類比,在集合中,你能得出什么結(jié)論?梳理2集合相等(1)定義:一般地,如果集合A的

元素都是集合B的元素,同時集合B的

元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B

.也就是說,若A?B,且B?A,則

.(2)符號表示:A=B.(3)Venn圖表示:(4)性質(zhì):對于集合A,B,C,如果A=B,且B=C,那么A

C.任何一個任何一個相等A=B=[問題3]寫出集合A={0，1，2}的所有子集.梳理3真子集(1)定義:如果集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,則稱集合A是集合B的真子集.(2)符號表示:A?B(或B?A),讀作“A真包含于B”(或“B真包含A”).(3)Venn圖表示:(4)性質(zhì):對于集合A,B,C,如果A?B,且B?C,那么A

C.?4.空集[問題4]集合A={x|x<-1且x>3}中有多少個元素?梳理4空集(1)定義:

的集合叫做空集.(2)符號表示:

.(3)規(guī)定:空集是任何集合的

,是任何非空集合的

.不含任何元素?子集真子集課堂探究·素養(yǎng)培育探究角度1

子集的列舉、子集個數(shù)[例1]已知集合M={x|x<2且x∈N}，N={x|-2<x<2且x∈Z}.(1)寫出集合M的子集、真子集;子集與真子集的概念(2)求集合N的子集數(shù)、真子集數(shù)和非空真子集數(shù).寫一個集合的子集時,可按子集中元素的個數(shù)多少分類寫出，注意要做到不重不漏.探究

n個元素的集合，其子集、真子集的個數(shù)討論.①?的子集只有1個.②{a}的子集有2個.③{a,b}的子集有4個.④{a,b,c}的子集有8個.……寫一個集合的子集時，不要忘記?和其本身.含有n個元素的集合M有

個子集；有

個非空子集,有

個真子集；

個非空真子集.即時訓(xùn)練1-1:已知集合M滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5},寫出集合M所有的可能情況.變式已知集合M滿足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}，寫出集合M所有的可能情況.探究角度2

集合間關(guān)系的判斷[例2]寫出下列各對集合之間的關(guān)系:(1)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0};(2)A={x|x=2n，n∈Z}，B={y|y=k+2，k∈Z};即時訓(xùn)練2-1:寫出下列各對集合之間的關(guān)系.(4)A={x|x是等邊三角形}，B={x|x是等腰三角形}.(3)A={x|-1≤x<3}，B={x|x-2≤1};(1)A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|x=2m+1，m∈Z};(2)A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n+1，n∈N*};(1)對于用描述法表示的集合，要從所含元素的特征來分析;若集合之間可以統(tǒng)一形式，則需要統(tǒng)一形式后判斷.(2)對于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍.集合相等[例3]已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},若A?B,且B?A,求實數(shù)a,b的值.根據(jù)集合相等求參數(shù),首先分析一個集合中的元素與另一集合中哪個元素相等,分幾種情況進行討論,然后通過列方程(組)求解.當(dāng)集合中的未知元素不止一個時,情況會更復(fù)雜,需要多次討論.求出參數(shù)后要根據(jù)集合中元素的互異性進行檢驗,排除不合要求的解.根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)值或取值范圍探究角度1求參數(shù)值[例4]集合A={x|x2=4,x∈R},集合B={x|kx=4,x∈R},若B?A,求實數(shù)k.

注意空集是任何集合子集的特殊情況，如本例中k=0，若忽視，則漏解.探究角度2求參數(shù)范圍[例5](1)已知集合A={x|x2-7x+12=0}，集合B={x|3kx+4=0}，B?A，求k的取值集合;(2)已知M={x|2≤x≤5}，N={x|a+1≤x≤2a-1}，若N?M，求實數(shù)a的取值范圍.即時訓(xùn)練5-1:已知集合A={x|-1<x<2}，B={x|2m-5<x<-m+3}.(1)若A?B，求m的取值范圍;(2)若B?A，求m的取值范圍.由含參數(shù)的連續(xù)數(shù)集之間的子集、真子集關(guān)系求參數(shù)取值范圍時常利用數(shù)軸法求解,若含參數(shù)的集合是確定集合的子集或真子集時,應(yīng)考慮該集合為空集的特殊情況,并且要注意驗證參數(shù)的端點值是否滿足題意.1.已知全集U=R,則能表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的關(guān)系的韋恩圖是(

)B解析:x2+x=0的解為-1和0,因此集合N是集合M的真子集.故選B.2.(多選題)下列說法中正確的是(

)A.空集沒有子集B.任何集合至少有一個子集C.空集是任何集合的真子集D.若??A,則A≠?BD解析:空集的子集是本身且空集只有一個子集,因此A錯誤;B正確;由于空集是任何非空集合的真子集,因此C錯誤;D正確.故選BD.3.集合{a,b,c}的所有子集為

,

其中真子集有

個.

解析:集合{a,b,c}的所有子集為?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},真子集有23-1=7(個).?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

4.若{x|x≥a}?{x|x≥-1},則實數(shù)a的取值范圍是

.

{a|a≥-1}7小試身手1.下列選項正確的是(

)A.0∈? B.?∈{0}C.{0}?? D.??{0}D解析:?是不含任何元素的集合,所以0??,??{0}.故選D.2.集合{x|x=1}的子集有

個.

23.用“∈”“?”“?”“?”或“=”填空:(1)5

{5};