高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西玉林市2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點到其準線的距離為()A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】由拋物線可得，而拋物線的焦點到準線的距離為.故選：C.2.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是（）A. B. C.90° D.60°【答案】B【解析】經(jīng)過兩點的直線的斜率為，設該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B3.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則與的關系是（）A. B. C.與相交 D.或【答案】A【解析】由向量，得，所以，所以.故選：A4.以直線恒過的定點為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，令，則，即直線恒過定點，則圓的方程為，即，故選：D.5.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為向量，又，則，整理得到，解得，故選：C.6.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上一點，若，則的面積為()A.3 B.5 C. D.【答案】A【解析】由橢圓的定義可知，，且，因為，所以，又，故，所以.故選：A.7.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點，則，且，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因，則，所以在上的投影的長度為，故點到直線的距離為，故選：C.8.已知拋物線的焦點到準線的距離為，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】（方法一）因為拋物線的焦點到準線的距離為，故，所以拋物線的方程為，焦點坐標為F1,0，設直線的方程為：，不妨設，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又AF=x1則，當且僅當時等號成立，故的最小值為.故選：B.（方法二）由方法一可得，則，因此，當且僅當時等號成立，故的最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線焦點為F，O為坐標原點，點在拋物線上，若，則（）A.的坐標為 B. C. D.【答案】BD【解析】對于A，拋物線的焦點為，準線方程為，故A錯誤；對于BC，由拋物線定義可得，所以，，解得，故B正確C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10.已知直線，直線，則（）A.當時，與的交點為B.存在，使C.若，則D.直線恒過點【答案】ACD【解析】選項，當時，直線，直線，聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點為，A選項正確；B選項，假設存在，使，則，解得或，當，，，兩直線重合，舍去，當時，，即，，即，兩直線重合，舍去，所以不存在，使，B選項錯誤；C選項：若，則，解得，C選項正確；D選項，直線，即，令，即，所以直線恒過點，D選項正確；故選：ACD.11.已知圓，圓，（，且，不同時為0）交于不同的兩點，，下列結論正確的是()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】圓和圓交于不同的兩點，，∴兩圓方程相減可得直線的方程為：，即，分別把點，兩點坐標代入得：，，上面兩式相減得：，即，所以選項A正確；由上得：，所以選項B正確；∵兩圓的半徑相等，∴由圓的性質(zhì)可知，線段與線段互相平分，則有，，變形可得，，故C正確，D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_______.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：.13.點在橢圓上，是橢圓的一個焦點，為的中點，，則_________.【答案】4【解析】如圖，根據(jù)橢圓對稱性，不妨設為左焦點，為右焦點，由橢圓，得，，是的中點，是的中點，為的中位線，，由橢圓的定義得．故答案為：4．14.已知四棱錐平面，底面為矩形，為的中點，為上一點，若與平面所成角的正弦值為，則______．【答案】1【解析】因為平面，底面為矩形，建立如圖所示空間直角坐標系，易得，設，則，設平面BEF的法向量為n=則即令，則，所以，解得，即．故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓．（1）求圓的標準方程，并寫出圓的圓心坐標和半徑：（2）若直線與圓交于A，B兩點，且，求的值．解：（1）由，得，則圓的標準方程為，圓的圓心坐標，半徑為．（2）由，得圓心到直線的距離為，則圓心到直線的距離，得或．16.已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中點.（1）求直線BD與直線PC所成角的大??；（2）求點B到平面ADE的距離．解：（1）以點為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖空間直角坐標系.由題意，A1,0,0，，，P0,0,1，，設直線BD與直線PC所成的角為，因為，，，所以直線BD與直線PC所成角為；（2）因為，，，所以，，則為平面的一個法向量，設點到平面的距離為，則為向量在向量上的投影的絕對值，由，得，所以點到平面的距離為.17.已知雙曲線的虛軸長為2，且離心率為．（1）求的方程和焦點坐標；（2）設的右焦點為，過的直線交于兩點，若中點的橫坐標為3，求解：（1）因為的離心率為，又的虛軸長為2，所以，又，聯(lián)立解得，，所以的方程為，左、右焦點坐標分別為．（2）由（1）知，根據(jù)題意易得過的直線斜率存在，設的直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，化簡得，所以，因為中點橫坐標為3，所以，解得，所以，則，則．18.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且MA和NF的長度保持相等，記.（1）求MN的長；（2）當MN的長最小時，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由題意可知，直線BC、BE、BA兩兩垂直，可以點B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，因為，所以，.所以.（2）由（1），已得，因，則當時，取得最小值為.此時，分別為的中點，則，，取的中點，連接，，則，因為，，所以，.故是平面與平面的夾角或其補角，因為，.所以，故平面與平面夾角的余弦值是.19.對于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線.已知橢圓，它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍.（1）求橢圓伴隨雙曲線的方程；（2）點為的上焦點，過的直線與上支交于兩點，設的面積為，（其中為坐標原點）.若，求.解：（1）的伴隨雙曲線為，設橢圓與其伴隨雙曲線離心率分別為，依題意可得，即，即，解得，所以橢圓，則橢圓伴隨雙曲線的方程為；（2）由（1）可知，設直線的斜率為，Ax1,y則直線的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去，得，則，所以，，則，又，又，解得，又，所以因為，所以.廣西玉林市2024-2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.拋物線的焦點到其準線的距離為()A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】由拋物線可得，而拋物線的焦點到準線的距離為.故選：C.2.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角是（）A. B. C.90° D.60°【答案】B【解析】經(jīng)過兩點的直線的斜率為，設該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B3.已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則與的關系是（）A. B. C.與相交 D.或【答案】A【解析】由向量，得，所以，所以.故選：A4.以直線恒過的定點為圓心，半徑為的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，令，則，即直線恒過定點，則圓的方程為，即，故選：D.5.已知，若，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為向量，又，則，整理得到，解得，故選：C.6.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為上一點，若，則的面積為()A.3 B.5 C. D.【答案】A【解析】由橢圓的定義可知，，且，因為，所以，又，故，所以.故選：A.7.如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中點，則，且，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點連線所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因，則，所以在上的投影的長度為，故點到直線的距離為，故選：C.8.已知拋物線的焦點到準線的距離為，過焦點的直線與拋物線交于兩點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】（方法一）因為拋物線的焦點到準線的距離為，故，所以拋物線的方程為，焦點坐標為F1,0，設直線的方程為：，不妨設，聯(lián)立方程，整理得，則，故，又AF=x1則，當且僅當時等號成立，故的最小值為.故選：B.（方法二）由方法一可得，則，因此，當且僅當時等號成立，故的最小值為.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知拋物線焦點為F，O為坐標原點，點在拋物線上，若，則（）A.的坐標為 B. C. D.【答案】BD【解析】對于A，拋物線的焦點為，準線方程為，故A錯誤；對于BC，由拋物線定義可得，所以，，解得，故B正確C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10.已知直線，直線，則（）A.當時，與的交點為B.存在，使C.若，則D.直線恒過點【答案】ACD【解析】選項，當時，直線，直線，聯(lián)立，解得，所以兩直線的交點為，A選項正確；B選項，假設存在，使，則，解得或，當，，，兩直線重合，舍去，當時，，即，，即，兩直線重合，舍去，所以不存在，使，B選項錯誤；C選項：若，則，解得，C選項正確；D選項，直線，即，令，即，所以直線恒過點，D選項正確；故選：ACD.11.已知圓，圓，（，且，不同時為0）交于不同的兩點，，下列結論正確的是()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】圓和圓交于不同的兩點，，∴兩圓方程相減可得直線的方程為：，即，分別把點，兩點坐標代入得：，，上面兩式相減得：，即，所以選項A正確；由上得：，所以選項B正確；∵兩圓的半徑相等，∴由圓的性質(zhì)可知，線段與線段互相平分，則有，，變形可得，，故C正確，D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_______.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：.13.點在橢圓上，是橢圓的一個焦點，為的中點，，則_________.【答案】4【解析】如圖，根據(jù)橢圓對稱性，不妨設為左焦點，為右焦點，由橢圓，得，，是的中點，是的中點，為的中位線，，由橢圓的定義得．故答案為：4．14.已知四棱錐平面，底面為矩形，為的中點，為上一點，若與平面所成角的正弦值為，則______．【答案】1【解析】因為平面，底面為矩形，建立如圖所示空間直角坐標系，易得，設，則，設平面BEF的法向量為n=則即令，則，所以，解得，即．故答案為：1.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓．（1）求圓的標準方程，并寫出圓的圓心坐標和半徑：（2）若直線與圓交于A，B兩點，且，求的值．解：（1）由，得，則圓的標準方程為，圓的圓心坐標，半徑為．（2）由，得圓心到直線的距離為，則圓心到直線的距離，得或．16.已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，平面是PB的中點.（1）求直線BD與直線PC所成角的大??；（2）求點B到平面ADE的距離．解：（1）以點為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖空間直角坐標系.由題意，A1,0,0，，，P0,0,1，，設直線BD與直線PC所成的角為，因為，，，所以直線BD與直線PC所成角為；（2）因為，，，所以，，則為平面的一個法向量，設點到平面的距離為，則為向量在向量上的投影的絕對值，由，得，所以點到平面的距離為.17.已知雙曲線的虛軸長為2，且離心率為．（1）求的方程和焦點坐標；（2）設的右焦點為，過的直線交于兩點，若中點的橫坐標為3，求解：（1）因為的離心率為，又的虛軸長為2，所以，又，聯(lián)立解得，，所以的方程為，左、右焦點坐標分別為．（2）由（1）知，根據(jù)題意易得過的直線斜率存在，設的直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，化簡得，所以，因為中點橫坐標為3，所以，解得，所以，則，則．18.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是2，且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且MA和NF的長度保持相等，記.（1）求MN的長；（2）當MN的長最小時，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）由題意可知，直線BC、BE、BA兩兩垂直，可以點B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，因為，所以，.所以.（2）由（1），已得，因，則當時，取得最小值為.此時，分別為的中點，則