高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省2024-2025學年高一下學期5月期中檢測數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D．2.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，故選：B．3.已知是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，因為，所以成立；若，因為，根據(jù)與同一條直線垂直的兩個平面平行，所以成立，所以“”是“”的充分必要條件.故選：A．4.在中，角的對邊分別為，若，則此三角形的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】移項得，可化為，展開得，整理得，又，所以，即，則為直角三角形.故選：B．5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，整理得，即，所以.故選：C6.圓柱高為4，底面積為，在圓柱內(nèi)部有一個可自由轉(zhuǎn)動的正四面體，則該正四面體的最大棱長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，圓柱高為4，底面積為，則圓柱的底面半徑為1，當圓柱底面半徑等于正四面體的外接球的半徑時，正四面體有最大棱長，如圖，在正四面體中，棱長為，其外接球的半徑為，為的中點，為的中心，連接，則平面，設為正四面體外接球的球心，連接，因為為正三角形，所以，在中，，所以，在中，由，得，解得，則.故選：D.7.DeepSeek以其強大的算法火爆全球，吸引了大量用戶的關注與討論，成為熱門話題，統(tǒng)計學家發(fā)現(xiàn)熱門話題的關注度達到峰值后，會出現(xiàn)下降趨勢．假設一個熱門話題的關注度（）與時間t（單位：月）的關系式為，其中為關注度的峰值，a為常數(shù)，若經(jīng)過半年關注度下降到峰值的，則關注度下降到峰值的，至少需要的時間為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.23個月 B.24個月 C.25個月 D.26個月【答案】C【解析】設關注度下降到峰值的，至少需要的時間為個月，由題意得，則，由，則，所以，即，又，則至少需要的時間為25個月.故選：C．8.置換是抽象代數(shù)的一種基本變換，對于有序數(shù)組，有序數(shù)組，定義“間距置換”：，，．已知有序數(shù)組，經(jīng)過一次“間距置換”后得到新的有序數(shù)組（），且S中所有數(shù)之和為2025，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，，．若介于之間，則．由題可知，，所以，矛盾，舍去．又因為，所以，結(jié)合，可得或．若，由題可知，，，上述三個式子相加可得，所以，，即，則，可得；若，同理可得.故選：A．二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)的兩個相鄰對稱中心的距離為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.直線是圖象的一條對稱軸D.將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關于原點對稱【答案】ACD【解析】易知，則，所以，即，又因為，，解得，所以．對于A，因為，所以，故A正確.對于B，由知，則在該區(qū)間有增有減，故B錯誤.對于C，因為，所以直線是圖象的一條對稱軸，故C正確.對于D，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，該圖象關于原點對稱，故D正確．故選：ACD.10.如圖，已知點是邊長為的正六邊形內(nèi)一點（含邊界），則下列說法正確的是（）A. B.C. D.的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為，故A正確．對于B，因為，故B正確．對于C，因為，故C錯誤．對于D，設與的夾角為θ，則在上的投影為，由圖可知當點在點時，此時在上的投影最大，最大值為，當點在點時，此時在上的投影最小，最小值為，所以，即的取值范圍為．故D正確．故選：ABD11.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點和點分別在線段和上運動（不包含端點），下列說法正確的有（）A.正方體被平面截得的截面面積為B.的最小值為2C.三棱錐的體積為D.直線與平面可能垂直【答案】AC【解析】對于A，取的中點，連接，，，因為M為的中點，所以，在正方體中，，所以，則正方體被平面所截得的截面為四邊形，且四邊形為等腰梯形，，，，在等腰梯形中，過點，分別作，垂足為，，則，所以，所以等腰梯形的面積為，故A正確；對于B，計算的最小值，將平面以為軸旋轉(zhuǎn)展開，與平面在同一個平面內(nèi)，如圖所示，由于，，，，則，則，則為直角，所以當都到達時，的值取得最小值2，但不能取端點，故B錯誤．對于C，由，故C正確．對于D，若直線與平面垂直，則必有，此時為的中點，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，而平面與平面相交，矛盾，所以與平面不可能垂直，故D錯誤．故選：AC.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是________．【答案】2【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，化簡得，解得或．檢驗知滿足題意，故．故答案為：2.13.一個平行于正四棱錐底面的平面將該正四棱錐分成上、下兩個部分，且截得的棱臺的上、下底面邊長之比為2:3，則上、下兩部分體積之比為________．【答案】【解析】由題意可知上面部分為正四棱錐，下面為正四棱臺，棱臺上、下底面邊長之比為2：3，所以上面小正四棱錐與大正四棱錐的體積之比為，所以上、下兩部分體積之比為．故答案為：.14.在中，，設，若，且，則的面積為________．【答案】【解析】設，則，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，即，整理得，解得，由θ為銳角，得，即，因此，，，所以.故答案為：四、解答題（本大題共5個小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知是復數(shù)，若是實數(shù)，是純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）求復數(shù)；（2）設復數(shù)，在復平面內(nèi)所對應的向量分別是，若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設復數(shù)，由是實數(shù)知，即，所以．又因為是純虛數(shù)，則為純虛數(shù)，即且，所以，所以．（2）由（1）知，則，所以，，因為向量與的夾角為鈍角，所以，且與不共線，即，且解得且.16.如圖1，已知在中，，，，分別是上的點，，將沿翻折至，連接，得到如圖2所示的四棱錐，若平面與平面相交于直線．（1）求證：；（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）由，可知，因為平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）由題知，因為，所以，過點作于點，連接，由，則，因為，，，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.如圖，已知是半徑為1的圓上兩點，且．（1）求的余弦值；（2）若點，，…，，依次將線段平均分成2026份，設，，，求的值．解：（1）設，由可得，即，平方得，解得，故的余弦值為．（2）由題知的中點為，也為線段，線段，…，線段的中點，因為，所以，而，平方得，即，故．18.2025年春晚《秧BOT》節(jié)目將機器人元素融入舞臺，展示了我國在機器人研發(fā)領域的卓越實力．某機器人研發(fā)團隊設計一款機器狗捕捉足球游戲，在如圖所示的矩形中，在點處放置機器狗，在的中點處放置足球，它們做勻速直線運動，且無其他外界干擾．已知米，足球運動速度為米/秒，設機器狗在點處捕捉到足球，若點在矩形內(nèi)（含邊界），則捕捉成功．記足球和機器狗的運動方向與所成夾角分別，．（1）當長度不受限制，時，機器狗以米/秒的速度捕捉足球，則為何值時，機器狗能捕捉成功？（2）已知足球與機器狗運動方向所成夾角為，長度不受限制，當機器狗成功捕捉足球時，求機器狗與足球運動的總路程的最大值；（3）當機器狗的速度為米/秒時，若無論足球往哪個方向運動，機器狗總能捕捉足球成功，則的長度至少為多少米？解：（1）在中，由正弦定理知，即，因為，，所以，解得，因為，所以，此時，因為，所有點在矩形內(nèi)，捕捉成功．（2）在中，由余弦定理知，故，整理得，即，當且僅當時等號成立，此時，，點在矩形內(nèi)，捕捉成功．故機器狗與足球運動的總路程的最大值為8米．（3）如圖，過作的垂線，垂足為設，則，由題可知所以，在中，由余弦定理知，則，整理得，所以，又因為，，當，即當時，有最大值為，由題知恒成立，所以，此時，故當?shù)拈L度至少為米時，無論足球往哪個方向運動，機器狗總能捕捉足球成功．19.已知函數(shù)的定義域為，并滿足以下條件：①，；②，，則稱函數(shù)為“上側(cè)函數(shù)”已知，（是自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）判斷，是否為“上側(cè)函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是“上側(cè)函數(shù)”．（i）當時，求的最大值；（ii）若，是否存在正整數(shù)，滿足：對于任意的，總存在，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（參考不等式：）解：（1）是“上側(cè)函數(shù)”，，且當，時，，不是“上側(cè)函數(shù)”，，不存在x，使得．（2），易知單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞增，當，即當時，，且恒成立，可，即．（i）當時，，令，由，得，上式化為，當且僅當時等號成立，故最大值為．（ii）不存在，理由如下：若，則，，當時，，可得，當時，，，可得．對于任意的正整數(shù)k，當時，，，，，，且當時，，即對于任意的，不存在，，使得．湖南省2024-2025學年高一下學期5月期中檢測數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D．2.已知復數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，故選：B．3.已知是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，因為，所以成立；若，因為，根據(jù)與同一條直線垂直的兩個平面平行，所以成立，所以“”是“”的充分必要條件.故選：A．4.在中，角的對邊分別為，若，則此三角形的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】B【解析】移項得，可化為，展開得，整理得，又，所以，即，則為直角三角形.故選：B．5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，整理得，即，所以.故選：C6.圓柱高為4，底面積為，在圓柱內(nèi)部有一個可自由轉(zhuǎn)動的正四面體，則該正四面體的最大棱長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，圓柱高為4，底面積為，則圓柱的底面半徑為1，當圓柱底面半徑等于正四面體的外接球的半徑時，正四面體有最大棱長，如圖，在正四面體中，棱長為，其外接球的半徑為，為的中點，為的中心，連接，則平面，設為正四面體外接球的球心，連接，因為為正三角形，所以，在中，，所以，在中，由，得，解得，則.故選：D.7.DeepSeek以其強大的算法火爆全球，吸引了大量用戶的關注與討論，成為熱門話題，統(tǒng)計學家發(fā)現(xiàn)熱門話題的關注度達到峰值后，會出現(xiàn)下降趨勢．假設一個熱門話題的關注度（）與時間t（單位：月）的關系式為，其中為關注度的峰值，a為常數(shù)，若經(jīng)過半年關注度下降到峰值的，則關注度下降到峰值的，至少需要的時間為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.23個月 B.24個月 C.25個月 D.26個月【答案】C【解析】設關注度下降到峰值的，至少需要的時間為個月，由題意得，則，由，則，所以，即，又，則至少需要的時間為25個月.故選：C．8.置換是抽象代數(shù)的一種基本變換，對于有序數(shù)組，有序數(shù)組，定義“間距置換”：，，．已知有序數(shù)組，經(jīng)過一次“間距置換”后得到新的有序數(shù)組（），且S中所有數(shù)之和為2025，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，，．若介于之間，則．由題可知，，所以，矛盾，舍去．又因為，所以，結(jié)合，可得或．若，由題可知，，，上述三個式子相加可得，所以，，即，則，可得；若，同理可得.故選：A．二、選擇題（本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)的兩個相鄰對稱中心的距離為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.直線是圖象的一條對稱軸D.將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關于原點對稱【答案】ACD【解析】易知，則，所以，即，又因為，，解得，所以．對于A，因為，所以，故A正確.對于B，由知，則在該區(qū)間有增有減，故B錯誤.對于C，因為，所以直線是圖象的一條對稱軸，故C正確.對于D，將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，該圖象關于原點對稱，故D正確．故選：ACD.10.如圖，已知點是邊長為的正六邊形內(nèi)一點（含邊界），則下列說法正確的是（）A. B.C. D.的取值范圍為【答案】ABD【解析】對于A，因為，故A正確．對于B，因為，故B正確．對于C，因為，故C錯誤．對于D，設與的夾角為θ，則在上的投影為，由圖可知當點在點時，此時在上的投影最大，最大值為，當點在點時，此時在上的投影最小，最小值為，所以，即的取值范圍為．故D正確．故選：ABD11.如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點和點分別在線段和上運動（不包含端點），下列說法正確的有（）A.正方體被平面截得的截面面積為B.的最小值為2C.三棱錐的體積為D.直線與平面可能垂直【答案】AC【解析】對于A，取的中點，連接，，，因為M為的中點，所以，在正方體中，，所以，則正方體被平面所截得的截面為四邊形，且四邊形為等腰梯形，，，，在等腰梯形中，過點，分別作，垂足為，，則，所以，所以等腰梯形的面積為，故A正確；對于B，計算的最小值，將平面以為軸旋轉(zhuǎn)展開，與平面在同一個平面內(nèi)，如圖所示，由于，，，，則，則，則為直角，所以當都到達時，的值取得最小值2，但不能取端點，故B錯誤．對于C，由，故C正確．對于D，若直線與平面垂直，則必有，此時為的中點，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，而平面與平面相交，矛盾，所以與平面不可能垂直，故D錯誤．故選：AC.三、填空題（本大題共3個小題，每小題5分，共15分）12.已知是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是________．【答案】2【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，化簡得，解得或．檢驗知滿足題意，故．故答案為：2.13.一個平行于正四棱錐底面的平面將該正四棱錐分成上、下兩個部分，且截得的棱臺的上、下底面邊長之比為2:3，則上、下兩部分體積之比為________．【答案】【解析】由題意可知上面部分為正四棱錐，下面為正四棱臺，棱臺上、下底面邊長之比為2：3，所以上面小正四棱錐與大正四棱錐的體積之比為，所以上、下兩部分體積之比為．故答案為：.14.在中，，設，若，且，則的面積為________．【答案】【解析】設，則，在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，即，整理得，解得，由θ為銳角，得，即，因此，，，所以.故答案為：四、解答題（本大題共5個小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知是復數(shù)，若是實數(shù)，是純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．（1）求復數(shù)；（2）設復數(shù)，在復平面內(nèi)所對應的向量分別是，若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設復數(shù)，由是實數(shù)知，即，所以．又因為是純虛數(shù)，則為純虛數(shù)，即且，所以，所以．（2）由（1）知，則，所以，，因為向量與的夾角為鈍角，所以，且與不共線，即，且解得且.16.如圖1，已知在中，，，，分別是上的點，，將沿翻折至，連接，得到如圖2所示的四棱錐，若平面與平面相交于直線．（1）求證：；（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）由，可知，因為平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）由題知，因為，所以，過點作于點，連接，由，則，因為，，，平面，，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，則為直線與平面所成的角，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.如圖，已知是半徑為1的圓上兩點，且．（1）求的余弦值；（2）若點，，…，，依次將線段平均分成2026份，設，，，求的值．解：（1）設，由可得，即，平方得，解得，故的余弦值為．（2）由題知的中點為，也為線段，線段，…，線段的中點，因為，所以，而，平方得，即，故．18.2025年春晚《秧BOT》節(jié)目將機器人元素融入舞臺，展示了我國在機器人研發(fā)領域的卓越實力．某機器人研發(fā)團隊設計一款機器狗捕捉足球游戲，在如圖所示的矩形中，在點處放置機器狗，在的中點處放置足球，它們做勻速直線運動，且無其他外界干擾．已知米，足