高中數(shù)學(xué)平面向量重點練習(xí)題平面向量作為連接代數(shù)與幾何的橋梁，是高中數(shù)學(xué)的核心工具性知識，在高考中常以小題綜合、大題輔助的形式考查。掌握其核心題型的解題邏輯，能有效提升代數(shù)運算與幾何分析的綜合能力。以下結(jié)合核心知識點，梳理典型練習(xí)題及解題思路。一、核心知識點回顧平面向量的核心考點圍繞定義、線性運算、數(shù)量積、坐標(biāo)表示展開：向量定義：既有大小又有方向的量，需區(qū)分“向量相等”（大小、方向均相同）與“共線向量”（方向相同或相反，可平移至同一直線）。線性運算：加法（三角形/平行四邊形法則）、減法（三角形法則）、數(shù)乘（$\lambda\vec{a}$與$\vec{a}$共線，$\lambda>0$同向，$\lambda<0$反向）。數(shù)量積：$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$（$\theta$為夾角），坐標(biāo)形式為$\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2$。特殊關(guān)系：共線$\Leftrightarrow\vec{a}=\lambda\vec$（$\vec\neq\vec{0}$）或$x_1y_2-x_2y_1=0$；垂直$\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec=0$或$x_1x_2+y_1y_2=0$。二、典型題型與練習(xí)題解析（一）概念辨析類題目1：下列說法正確的是（）A.若$|\vec{a}|=|\vec|$，則$\vec{a}=\vec$B.若$\vec{a}\parallel\vec$，則$\vec{a}$與$\vec$方向相同C.零向量與任意向量共線D.向量不能比較大小，但模長可以比較解析：選項A：向量相等需大小且方向相同，僅模長相等不滿足，錯誤。選項B：共線向量（平行向量）方向可相同或相反（如$\vec{a}$與$-\vec{a}$共線但方向相反），錯誤。選項C：零向量方向任意，故與任意向量共線，正確。選項D：向量是“量”而非“數(shù)”，無大小之分，但模長是實數(shù)，可比較，正確。答案：CD解題思路：概念題需緊扣定義，區(qū)分“向量”與“數(shù)量”的本質(zhì)差異，牢記零向量、共線向量的特殊性質(zhì)。（二）線性運算與基底表示題目2：在$\triangleABC$中，$D$為$BC$中點，用$\vec{AB}$、$\vec{AC}$表示$\vec{AD}$。解析：根據(jù)向量加法的三角形法則，$\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}$。因$D$是$BC$中點，故$\vec{BD}=\frac{1}{2}\vec{BC}$。又$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$（三角形法則：$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$，移項得$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$），代入得$\vec{BD}=\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})$。因此$\vec{AD}=\vec{AB}+\frac{1}{2}(\vec{AC}-\vec{AB})=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}$。拓展：若$D$是$BC$上靠近$B$的三等分點，如何表示$\vec{AD}$？（提示：$\vec{BD}=\frac{1}{3}\vec{BC}$，同理推導(dǎo)）（三）共線與垂直的坐標(biāo)應(yīng)用題目3：已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,3)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，求$m$的值。解析：向量共線的坐標(biāo)條件：若$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec=(x_2,y_2)$，則$\vec{a}\parallel\vec\Leftrightarrowx_1y_2-x_2y_1=0$。代入得$1\times3-m\times2=0$，解得$m=\frac{3}{2}$。變式題：若$\vec{a}\perp\vec$，求$m$的值。解析：垂直條件為$\vec{a}\cdot\vec=0$，即$1\timesm+2\times3=0$，解得$m=-6$。（四）數(shù)量積的兩種運算方法題目4：已知$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，求$\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec)$。解析：利用數(shù)量積的分配律與定義式展開：$\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec)=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec$。$\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2=2^2=4$（向量與自身的數(shù)量積等于模長的平方）。$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta=2\times3\times\cos60^\circ=3$（$\cos60^\circ=0.5$）。因此，原式$=4+3=7$。拓展：若用坐標(biāo)法，需先設(shè)$\vec{a}$、$\vec$的坐標(biāo)（如$\vec{a}=(2,0)$，$\vec=(3\cos60^\circ,3\sin60^\circ)$），再計算數(shù)量積，結(jié)果一致。（五）坐標(biāo)運算與幾何意義綜合題目5：已知$\vec{a}=(3,-4)$，求：（1）$|\vec{a}|$；（2）$\vec{a}$在$\vec=(1,0)$上的投影。解析：（1）模長公式：$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$，代入得$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$。（2）向量投影的幾何意義：$\vec{a}$在$\vec$上的投影為$|\vec{a}|\cos\theta$（$\theta$為$\vec{a}$與$\vec$的夾角）。結(jié)合數(shù)量積公式，$\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta$，因此投影$=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec|}$。計算$\vec{a}\cdot\vec=3\times1+(-4)\times0=3$，$|\vec|=\sqrt{1^2+0^2}=1$，故投影$=\frac{3}{1}=3$。（六）綜合應(yīng)用：向量與幾何、函數(shù)結(jié)合題目6：在平面直角坐標(biāo)系中，$O$為原點，$A(1,0)$，$B(0,1)$，點$P(x,y)$滿足$|\vec{OP}|\leq1$（即$P$在單位圓內(nèi)或圓上），求$\vec{AP}\cdot\vec{BP}$的最大值。解析：首先表示向量：$\vec{AP}=(x-1,y)$，$\vec{BP}=(x,y-1)$。數(shù)量積展開：$\vec{AP}\cdot\vec{BP}=(x-1)x+y(y-1)=x^2-x+y^2-y$。由$|\vec{OP}|\leq1$，得$x^2+y^2\leq1$，代入上式：$\vec{AP}\cdot\vec{BP}=(x^2+y^2)-(x+y)\leq1-(x+y)$（因$x^2+y^2\leq1$，不等號方向保留）。接下來求$x+y$的最小值（因要最大化$1-(x+y)$，需最小化$x+y$）。令$t=x+y$，則$y=-x+t$，直線與單位圓$x^2+y^2\leq1$有交點，故圓心到直線的距離$d=\frac{|t|}{\sqrt{2}}\leq1$，即$|t|\leq\sqrt{2}$，因此$t_{\text{min}}=-\sqrt{2}$。代入得$\vec{AP}\cdot\vec{BP}\leq1-(-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$x+y=-\sqrt{2}$且$x^2+y^2=1$（即$P$為直線與單位圓的下交點）時取等號。三、解題方法總結(jié)1.概念清晰化：牢記向量的“方向+大小”雙重屬性，區(qū)分“共線”“相等”“垂直”的定義與條件。2.運算熟練化：線性運算緊扣“三角形/平