試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省深圳市2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合A=xx<1，A.(0，1) B.(1，2) C.【答案】C【分析】求出集合B，由并集的定義即可求出答案.【詳解】因?yàn)锽=xx故選C.2.已知復(fù)數(shù)z滿足zi=3+4i，其中i為虛數(shù)單位，則|A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的模公式求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足zi所以z=則z=故選C3.己知點(diǎn)A(0，1)，B(2，A.(1，-2) B.(-1，2) C.【答案】D【分析】由向量的減法和向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出答案.【詳解】設(shè)Cx，y，所以BCAC=故選D.4.深圳是一座志愿者之城、愛(ài)心之城.深圳市衛(wèi)健委為了解防疫期間志愿者的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)(單位：小時(shí))，對(duì)參加過(guò)防疫的志愿者隨機(jī)抽樣調(diào)查，將樣本中個(gè)體的服務(wù)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖.據(jù)此估計(jì)，7.2萬(wàn)名參加過(guò)防疫的志愿者中服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)32小時(shí)的約有()A.3.3萬(wàn)人 B.3.4萬(wàn)人 C.3.8萬(wàn)人 D.3.9萬(wàn)人【答案】A【分析】由頻率分布直方圖求出樣本中服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)32小時(shí)的個(gè)體頻率，即可估計(jì)人數(shù)；【詳解】解：依題意樣本中服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)32小時(shí)的個(gè)體頻率為1-4×0.005+0.04+0.09由樣本估計(jì)總體，可得總體中服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)32小時(shí)的個(gè)體數(shù)為7.3×0.46=3.312≈3.3(萬(wàn)人)；故選A5.已知一個(gè)球的表面積在數(shù)值上是它的體積的3倍，則這個(gè)球的半徑是()A.2 B.2 C.3 D.3【答案】D【分析】根據(jù)球的表面積公式和體積公式，列出方程求解即可【詳解】設(shè)球的半徑為R，則根據(jù)球的表面積公式和體積公式，可得，4πR2故選D6.若x=π2是函數(shù)f(x)=cosA.π B.2π C.π2 【答案】A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意π2ω=kπ，k∈Z，解得所以f(x)的最小正周期T=2故選A7.已知a>0，若過(guò)點(diǎn)(a，b)可以作曲線A.b<0 B.0<b<a3 【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)為x0，x03，切線方程為y=kx-【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為x0，x03，切線方程為y=k則k=3x0令gx=2x因?yàn)閍>0，所以當(dāng)x<0或x>a時(shí)g'所以gx在-∞，0和a所以當(dāng)x=0時(shí)gx取得極大值，當(dāng)x=a時(shí)gx依題意gx=2x3-3ax故選B8.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|A.30°或150° B.45°或135° C.60°或120° D.與p值有關(guān)【答案】C【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)拋物線的定義和相似三角形列出比例式，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出直線的傾斜角.【詳解】如圖所示，由拋物線y2=2px(p分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為A'，B'，直線l交準(zhǔn)線于則AA'=AF，所以AM=2BF，所以∠ABM=30°，即直線同理可得直線l的傾斜角為鈍角時(shí)即為120°故選C.二、多選題9.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，則下列條件中，能使直線A.F為AA1的中點(diǎn) B.F為BB1的中點(diǎn) C.F為CC1的中點(diǎn)【答案】ACD【分析】取棱BC，CC1，C1D1，D1A1【詳解】如圖，M，G，H，I，J分別是棱BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中點(diǎn)，易證E與M，G，H，I，J共面，由EM//AC，故選ACD.10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，1)，密度函數(shù)f(x)=A.f(-x)=1-C.f(x)在(0，【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)，再結(jié)合正態(tài)分布的密度曲線定義f(x【詳解】∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于直線x=0對(duì)稱，f(∵f(x)=P(Xf(2x)=P(|X|≤x故選ACD.11.已知(2-x)8=A.a0=2C.a1+a【答案】AD【分析】利用賦值法判斷A、B、C，對(duì)二項(xiàng)式及展開(kāi)式兩邊對(duì)x取導(dǎo)，再令x=1，即可判斷D【詳解】解：因?yàn)?2-x令x=0，則a0=令x=1，則a0+a1令x=-1，則a0-a1對(duì)(2-x)8-8(2-x)7=a1故選AD12.P是直線y=2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓x2+y2=1的兩條切線，AA.弦長(zhǎng)|AB|的最小值為3 B.存在點(diǎn)PC.直線AB經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) D.線段AB的中點(diǎn)在一個(gè)定圓上【答案】ACD【分析】設(shè)AB∩OP=C，則C為AB的中點(diǎn)，且OP⊥AB，再根據(jù)勾股定理、等面積法及銳角三角函數(shù)得到AB=21-1OP2、sin∠APB2=【詳解】解：依題意OP2=AP2+AO2，即OP2=所以AC=AP?AOOP=AP所以sin∠APB2∈0，12，AB∈設(shè)Pt，2，則OP=t則x-t22+y-12-x2+y又OC⊥MC，OM=12，所以AB的中點(diǎn)C故選ACD三、填空題13.已知tanα=3，則【答案】-【解析】解：由題意可知：cos2α14.設(shè)0<x<1，則1【答案】9【解析】試題分析：因?yàn)?<x<1，所以0<1-≥5+21-xx?4x1-考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了利用基本不等式求解最值問(wèn)題，屬于中檔試題，此類問(wèn)題解答中要注意基本不等式的成立的條件和等號(hào)成立的條件，靈活應(yīng)用，著重考查了構(gòu)造思想的應(yīng)用，本題的解答中把1x+41-15.已知函數(shù)f(x)=ln【答案】12【分析】依據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程即可求解.【詳解】由題意知：f(則x∈R即：ln即：ln即：k-1x=-故答案為：12四、雙空題16.祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提出了“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果裁得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)已知直線y=±2與雙曲線x2-y2=1及其漸近線圍成的平面圖形G如圖所示，若將圖形G被直線y=t(-2≤t≤2)所截得的兩條線段繞y【答案】π4【分析】由直線y=t，其中-2≤t≤2，分步聯(lián)立方程組y=xy=t和【詳解】如圖所示，雙曲線x2-y由直線y=t，其中聯(lián)立方程組y=xy聯(lián)立方程組x2-y所以截面圓環(huán)的面積為S=π(根據(jù)“冪勢(shì)既同，則積不容異”，可得該幾何體的體積與底面面積為π，高為4的圓柱的體積相同，所以該幾何體的體積為V=故答案為：π；4π五、解答題17.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求數(shù)列an(2)若1a1+【答案】(1)a(2)5【分析】(1)由an與S(2)由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和后解不等式【詳解】(1)①n=1時(shí)，a1=①n≥2時(shí)，an=故an是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，(2)由(1)得1an整理得(12)n-1故n的最大值為518.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a(1)證明：B=2(2)當(dāng)a=4，b=6時(shí)，求【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)15【分析】(1)利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，整理可證明B=2A(2)由正弦定理及已知中的a和b的值，整理可求得sinC值，進(jìn)而利用三角形面積公式，即可求解【詳解】(1)由題意：因?yàn)檎叶ɡ恚篴sin所以對(duì)于a+有sinC∴sin(整理得：sinA所以，sin(A-B)=sin(-A)，因?yàn)锳，所以A-B=-(2)由(1)及題意可得：asinA=bsinB，∴cosA=34，∴sinC則S所以△ABC的面積為1519.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，M是側(cè)棱PD的中點(diǎn)，且AM⊥(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD(2)求AM與平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)7【分析】(1)由AM⊥平面PCD，得到AM⊥CD，易得AD⊥CD(2)以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，先求得平面PBC的一個(gè)法向量n=x，y，z，設(shè)AM與平面PBC【詳解】(1)證明：因?yàn)锳M⊥平面PCD所以AM⊥又底面ABCD為正方形，所以AD⊥CD，又所以CD⊥平面PAD，又CD?平面所以平面PAD⊥平面ABCD(2)取AD的中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥平面ABCD則以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)AB=2，則A1所以AM=設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n=則PB?n=0令z=3，則y=32，設(shè)AM與平面PBC所成角θ，所以sinθ20.2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽.約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲連續(xù)贏兩場(chǎng)則專業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比賽結(jié)束.已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為13；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中1(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽.請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？(2)為了激勵(lì)專業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元.在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X【答案】(1)業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽(2)Ex的取值范圍為：4.25，4.3【分析】(1)分別求出第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲或丙與甲進(jìn)行比賽業(yè)余隊(duì)獲勝的概率，比較兩者的大小即可得出答案.(2)由已知X=4.5萬(wàn)元或X=3.6萬(wàn)元，分別求其對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出Ex，由13【詳解】(1)第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：P1第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：P2因?yàn)?3<p<1所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.(2)由已知X=4.5萬(wàn)元或X=3.6由(1)知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為P1專業(yè)隊(duì)獲勝的概率為P3所以，非平局的概率為PX平局的概率為PXX的分布列為：X4.53.6P81X的數(shù)學(xué)期望為Ex=4.5×8而13<p<12，所以21.已知橢圓E：x2a2+y2(1)求橢圓E的方程；(2)若N(s，t)是平面上的動(dòng)點(diǎn)，①s=1，t≠±32，直線NA，②t=2，s∈R，直線NC，ND【答案】(1)x(2)見(jiàn)解析【分析】(1)由已知可得：1a2+34(2)選①，則N(1，tkNA=聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線PQ的方程，令y=0，x選②，則N(s，kNC=聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線PQ的方程，令x=0，y【詳解】(1)由已知，c=3，點(diǎn)M1，3a2=4，(2)選①，則N(1，tkNA=y=t3x+2Δ=256所以-2xP=16tP-8y=-tx-2xΔ=256t所以2xQ=16tQ8所以kPQ所以直線PQ的方程為：y-所以16y4+8x-32t選②，則N(s，kNC=y=1sx+1Δ=4所以yP=s2-4s同理：yQ=36-sk所以直線PQ的方程為：y令x=0，則故直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)0，【點(diǎn)評(píng)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是求出P，Q的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線PQ的方程，即可得出直線PQ22.設(shè)函數(shù)f(x)=(1)討論f((2)當(dāng)f(x)存在小于零的極小值時(shí)，若x1，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】(1)求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f'x>0?f(2)首先根據(jù)(1)的結(jié)果判斷出滿足條件fx的單調(diào)性，再利用構(gòu)造函數(shù)gx=【詳解】(1)由f①當(dāng)a≤0時(shí)，f'x>0?f'x<0?x②當(dāng)a>0時(shí)，令(i)當(dāng)x1=x2當(dāng)x<-