§4.7正弦定理、余弦定理課標(biāo)要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題.1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA＝

＝＝a2＝；

b2＝；

c2＝

變形(1)a＝2RsinA，b＝，

c＝；

(2)sinA＝a2RsinB＝，

sinC＝；

(3)a∶b∶c＝

cosA＝；

cosB＝；

cosC＝

2.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)S＝12aha(ha表示邊a上的高)(2)S＝＝＝；

(3)S＝(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比.()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則a>b.()(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素.()(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形.()2.在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝23，則角B的值為()A.30°或150° B.60°或120°C.60° D.30°3.已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acosB＝bcosA，則△ABC一定是()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形4.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，則cosA＝，△ABC的面積為.

1.熟記△ABC中的以下常用結(jié)論：(1)A＋B＋C＝π，A＋(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.(3)大邊對大角，大角對大邊，a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC.(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.2.謹(jǐn)防兩個易誤點(diǎn)(1)已知兩邊及一邊的對角，利用正弦定理解三角形時，注意解的個數(shù)討論，可能有一解、兩解或無解.(2)求角時易忽略角的范圍而導(dǎo)致錯誤，需要根據(jù)大邊對大角，大角對大邊的規(guī)則，畫圖幫助判斷.題型一利用正弦定理解三角形例1(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA＋3cosA＝2.(1)求A；(2)若a＝2，2bsinC＝csin2B，求△ABC的周長.思維升華(1)利用正弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對邊，求其他邊與角；二是已知兩邊和一邊的對角，求其他邊與角(該三角形具有不唯一性，常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷).(2)已知△ABC的兩邊a，b及角A，解三角形的一般步驟①由正弦定理asinA＝bsinB，得到②當(dāng)sinB>1時，無解；當(dāng)sinB＝1，且a<b時，B＝90°，有唯一解；當(dāng)sinB<1時，若a≥b，則有唯一解，若a<b，則有兩個解.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2025·南京統(tǒng)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2acosBsinC＋2bcosAsinC＝c2，則△ABC外接圓的面積是()A.π8 B.C.π2 D.(2)(多選)(2024·金昌模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列對△ABC解的個數(shù)的判斷正確的是()A.當(dāng)a＝22，c＝4，A＝30°時，有兩解B.當(dāng)a＝5，b＝7，A＝60°時，有一解C.當(dāng)a＝2，b＝4，A＝30°時，無解D.當(dāng)a＝6，b＝4，A＝60°時，有兩解題型二利用余弦定理解三角形例2(1)(2025·八省聯(lián)考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝35，則△ABC的面積為(A.6 B.8 C.24 D.48(2)在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知cos2A＝cos(B＋C)，且a＝27，bc＝12，則△ABC的周長為.

思維升華利用余弦定理可解決以下兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊與角；二是已知三邊求各個角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其解也是唯一的.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若3sinC＝3sinA，B＝π6，△ABC的面積為3，則b等于(A.22 B.6 C.4 D.2(2)(2024·畢節(jié)模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2－23bc＋c2＋3，且3sinA－cosA＝0，則△ABC的面積為.

題型三三角形形狀的判斷例3(1)(多選)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列說法正確的有()A.若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，則△ABC為鈍角三角形B.若bcosC＋ccosB＝b，則△ABC一定是等腰三角形C.若acosA＝bcosB，則△ABC一定是等腰三角形D.若a＝bcosC，則△ABC一定是直角三角形(2)在△ABC中，若c＋acosC＝b＋acosB，則△ABC的形狀是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形思維升華判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·寧波模擬)在△ABC中，A，B，C成等差數(shù)列且sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若4acos2B2＝c＋2a，則△ABC的形狀為(A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形

答案精析落實(shí)主干知識1.bsinBcsinCb2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2RsinB2Rc2RsinA∶sinB∶b2＋c23.(2)12absinC12ac12bcsinA(3)12r(a＋b＋自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.D[在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝23，由正弦定理asinA＝bsinB，即23又AC<BC，所以B<A，即0°<B<60°，所以B＝30°.]3.A[由正弦定理得，acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，由于－π<A－B<π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC為等腰三角形.]4.34解析依題意得cosA＝b2所以sinA＝1-cos所以△ABC的面積為12bcsinA＝15探究核心題型例1解(1)方法一常規(guī)方法(輔助角公式)由sinA＋3cosA＝2，可得12sinA＋32cosA＝即sinA＋π3由于A∈(0，π)?A＋π3∈π故A＋π3解得A＝π6方法二常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)由sinA＋3cosA＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sinA得到4cos2A－43cosA＋3＝0?(2cosA－3)2＝0，解得cosA＝32又A∈(0，π)，故A＝π6(2)由題設(shè)條件和正弦定理得，2bsinC＝csin2B?2sinBsinC＝2sinCsinBcosB，又B，C∈(0，π)，則sinBsinC≠0，進(jìn)而cosB＝22，得到B＝π于是C＝π－A－B＝7π12sinC＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2＋asin即2sin解得b＝22，c＝6＋故△ABC的周長為2＋6＋32.跟蹤訓(xùn)練1(1)D[設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，因?yàn)?acosBsinC＋2bcosAsinC＝c2，所以由正弦定理，得2sinAcosBsinC＋2sinBcosAsinC＝csinC，因?yàn)閟inC≠0，且A＋B＋C＝π，所以2sin(A＋B)＝2sinC＝c，所以csinC＝2＝2R，解得R＝所以△ABC外接圓的面積是πR2＝π.](2)AC[對于A，由正弦定理得asinA＝csinC，即22又因?yàn)?°<C<180°，c>a，所以C＝45°或C＝135°，有兩解，故A正確；對于B，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝對于C，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝對于D，由正弦定理得sinB＝bsinAa又b<a，所以B為銳角，此三角形只有一解，故D錯誤.]例2(1)C[由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos∠BAC，即64＝100＋AB2－2AB×10×35，∴AB2－12AB＋36＝0，∴AB＝6，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，S△ABC＝12AB·BC＝12×6×8＝24(2)8＋27解析cos2A＝－cosA＝2cos2A－1，即2cos2A＋cosA－1＝0，解得cosA＝－1(舍去)或cosA＝12在△ABC中，根據(jù)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2＋c2－bc＝28，∴(b＋c)2－3bc＝28，(b＋c)2＝64，∴b＋c＝8，∴a＋b＋c＝8＋27.跟蹤訓(xùn)練2(1)D[因?yàn)?sinC＝3sinA，所以3c＝3a，即a＝3c，又因?yàn)锽＝π6且△ABC的面積為3可得S△ABC＝12acsin＝12×3c2×1解得c＝2，則a＝23，則由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝12＋4－2×23×2×32＝4，所以b＝2.(2)1解析∵3sinA－cosA＝0，可得tanA＝33又A∈(0，π)，∴A＝π6又∵a2＝b2－23bc＋c2＋3，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴23bc－3＝2bccosA，∵A＝π6，解得bc＝1S△ABC＝12bcsinA＝1例3(1)ABD[對于A，由題意可得，sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2<c2，由余弦定理可得cosC＝a2＋b2-c對于B，由正弦定理得，sinBcosC＋sinCcosB＝sinB，即sinB＝sin(B＋C)＝sinA，則A＝B，△ABC是等腰三角形，B正確；對于C，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB?sin2A＝sin2B，2A＝2B或2A＋2B＝π，則△ABC是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；對于D，a＝bcosC，所以a＝b·a2＋b2-c22ab，即2a2＝a2＋b2－c2，即a2＋c2＝b(2)C[已知c＋acosC＝b＋acosB，A，B，C為△ABC的內(nèi)角，由正弦定理可得sinC＋sinAcosC＝sinB＋sinAcosB，即sin(A＋B)＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sinAcosB，即sinAcosB＋sinBcosA＋sinAcosC＝sinAcosC＋sinCcosA＋sinAcosB，化簡得sinBcosA＝sinCcosA，即cosA(sinB－sinC)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinC，∴A為直角或B＝C，∴△ABC的形狀為等腰三角形或直角三角形.]跟蹤訓(xùn)練3(1)C[在△ABC中，由A，B，C成等差數(shù)列，得2B＝A＋C，而A＋B＋C＝π，則B＝π3由sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，得sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－