全國卷1數(shù)學真題及答案

一、單項選擇題1.已知集合\(A=\{x|x^2-2x-3\leq0\}\)，\(B=\{x|x\gt2\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\((2,3]\)B.\((2,+\infty)\)C.\([-1,+\infty)\)D.\((2,3)\)答案：A2.若\(z=1+2i\)，則\(\frac{4i}{z\overline{z}-1}=\)（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(i\)D.\(-i\)答案：C3.設等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_2+a_4+a_6=30\)，則\(S_7=\)（）A.\(60\)B.\(70\)C.\(120\)D.\(140\)答案：B4.函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期為（）A.\(4\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)答案：C5.已知\(a=\log_20.2\)，\(b=2^{0.2}\)，\(c=0.2^{0.3}\)，則（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(b\ltc\lta\)答案：B6.已知橢圓\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((0,1)\)，則橢圓\(C\)的方程為（）A.\(\frac{x^2}{4}+y^2=1\)B.\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)C.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\)D.\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\)答案：A7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-2)\)，\(\overrightarrow{c}=(1,\lambda)\)。若\(\overrightarrow{c}\parallel(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\)，則\(\lambda=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A8.曲線\(y=2\sinx+\cosx\)在點\((\pi,-1)\)處的切線方程為（）A.\(x-y-\pi-1=0\)B.\(2x-y-2\pi-1=0\)C.\(2x+y-2\pi+1=0\)D.\(x+y-\pi+1=0\)答案：C9.某圓柱的高為\(2\)，底面周長為\(16\)，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點\(M\)在正視圖上的對應點為\(A\)，圓柱表面上的點\(N\)在左視圖上的對應點為\(B\)，則在此圓柱側面上，從\(M\)到\(N\)的路徑中，最短路徑的長度為（）A.\(2\sqrt{17}\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(3\)D.\(2\)答案：B10.已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，且當\(x\gt0\)時，\(f(x)=e^x-1\)，則曲線\(y=f(x)\)在\(x=-1\)處的切線方程為（）A.\(ex-y+1=0\)B.\(ex+y-1=0\)C.\(ex-y-1=0\)D.\(ex+y+1=0\)答案：A二、多項選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)D.\(y=|x|\)答案：AD2.已知直線\(l\)過點\((1,0)\)且垂直于\(x\)軸，若\(l\)被拋物線\(y^2=4ax\)截得的線段長為\(4\)，則拋物線的焦點坐標為（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,2)\)答案：AB（注：這里題干信息應該是\(y^2=4ax\)中\(zhòng)(a\)的值有兩個情況，對應焦點坐標有兩個）3.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，其中\(zhòng)(\varphi\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，則（）A.當\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)時，\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最小值為\(-\frac{1}{2}\)B.存在\(\varphi\)使得\(f(x)\)為偶函數(shù)C.函數(shù)\(f(x)\)的圖象關于點\((\frac{\pi}{12},0)\)對稱D.當\(\varphi=-\frac{\pi}{6}\)時，\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調遞增答案：AB4.設\(a,b\)為正實數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若\(a^2-b^2=1\)，則\(a-b\lt1\)B.若\(\frac{1}-\frac{1}{a}=1\)，則\(a-b\lt1\)C.若\(|\sqrt{a}-\sqrt|=1\)，則\(|a-b|\lt1\)D.若\(|a^3-b^3|=1\)，則\(|a-b|\lt1\)答案：AD5.已知\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，前\(n\)項和為\(S_n\)，則（）A.當\(a_1\gt0\)，\(0\ltq\lt1\)時，\(S_n\)有最大值B.當\(a_1\lt0\)，\(0\ltq\lt1\)時，\(S_n\)有最小值C.當\(q\gt1\)時，\(S_n\)單調遞增D.當\(q\lt0\)時，\(S_n\)單調遞減答案：AB6.已知\(A,B\)是圓\(C\)：\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)上的兩個動點，\(M\)是線段\(AB\)的中點，若\(|AB|=8\)，則（）A.點\(M\)的軌跡方程是\((x-1)^2+(y-2)^2=9\)B.\(|CM|\)的最大值為\(5\)C.直線\(AB\)的斜率可能為\(\frac{3}{4}\)D.\(|AB|\)的最大值為\(10\)答案：ACD7.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\leq0\\-2x,x\gt0\end{cases}\)，則（）A.\(f(f(1))=2\)B.若\(f(x)=10\)，則\(x=-3\)C.函數(shù)\(f(x)\)的值域是\((-\infty,1]\)D.函數(shù)\(f(x)\)的單調遞減區(qū)間是\((0,+\infty)\)答案：ABD8.已知向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow,\overrightarrow{c}\)滿足\(|\overrightarrow{a}|=1\)，\(|\overrightarrow|=2\)，\(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow\)，且\(\overrightarrow{c}\perp\overrightarrow{a}\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角為（）A.\(\frac{\pi}{3}\)B.\(\frac{2\pi}{3}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(60^{\circ}\)答案：BC9.已知雙曲線\(C\)：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的左、右焦點分別為\(F_1,F_2\)，過\(F_2\)作雙曲線\(C\)的一條漸近線的垂線，垂足為\(H\)，若\(|F_2H|=\frac{1}{2}|F_1F_2|\)，則雙曲線\(C\)的離心率為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(\sqrt{3}\)C.\(2\)D.\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)答案：CD10.已知函數(shù)\(f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx\)，則（）A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的最大值為\(2\)C.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上單調遞增D.\(f(x)\)的圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱答案：AB三、判斷題1.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（×）2.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的最小正周期為\(\pi\)。（√）3.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內的無數(shù)條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)。（×）4.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(S_5=31\)。（√）5.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（×）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c^2=a^2-b^2\)。（√）7.函數(shù)\(y=\log_ax(a\gt0,a\neq1)\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增。（×）8.若向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。（√）9.函數(shù)\(y=2^x\)與\(y=\log_2x\)的圖象關于直線\(y=x\)對稱。（√）10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\(4\)。（√）四、簡答題1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_6=36\)。求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式。答案：設等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)①；由\(S_6=36\)，根據(jù)等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}\)，可得\(6a_1+\frac{6\times5d}{2}=36\)，即\(6a_1+15d=36\)②。聯(lián)立①②，解方程組得\(a_1=1\)，\(d=2\)。所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求函數(shù)\(f(x)\)的單調區(qū)間。答案：對\(f(x)=x^3-3x^2+2\)求導，得\(f^\prime(x)=3x^2-6x\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^2-6x=0\)，因式分解得\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，函數(shù)\(f(x)\)單調遞減。所以\(f(x)\)的單調遞增區(qū)間是\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調遞減區(qū)間是\((0,2)\)。3.已知圓\(C\)的方程為\((x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直線\(l\)：\(y=kx+1\)與圓\(C\)相交于\(A,B\