考研定積分題目及答案

一、單項選擇題1.設函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)與\(\int_{a}^f(t)dt\)的關(guān)系是（）A.兩者不相等B.僅當\(f(x)\)為偶函數(shù)時相等C.相等D.僅當\(f(x)\)為奇函數(shù)時相等答案：C2.已知\(f(x)\)在\([-a,a]\)上連續(xù)且為奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)的值為（）A.\(2\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.\(\int_{0}^{a}f(x)dx\)C.\(0\)D.\(1\)答案：C3.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx\)的值為（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A4.設\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\)，其中\(zhòng)(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(F^\prime(x)\)等于（）A.\(f(x)\)B.\(f(a)\)C.\(f(b)\)D.\(0\)答案：A5.若\(\int_{a}^f(x)dx=0\)，則在\([a,b]\)上（）A.\(f(x)=0\)B.至少存在一點\(\xi\)使得\(f(\xi)=0\)C.\(f(x)\)恒大于\(0\)D.\(f(x)\)恒小于\(0\)答案：B6.定積分\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx\)的值為（）A.\(0\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(4\)答案：A7.已知\(f(x)\)在\([0,1]\)上連續(xù)，且\(\int_{0}^{1}f(x)dx=2\)，則\(\int_{0}^{1}2f(x)dx\)等于（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)答案：B8.定積分\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx\)的值為（）A.\(1\)B.\(e\)C.\(e-1\)D.\(0\)答案：A9.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，且\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)等于（）A.\(F(a)-F(b)\)B.\(F(b)-F(a)\)C.\(F^\prime(b)-F^\prime(a)\)D.\(F^\prime(a)-F^\prime(b)\)答案：B10.定積分\(\int_{-1}^{1}(x^3+\cosx)dx\)的值為（）A.\(0\)B.\(2\)C.\(\sin1\)D.\(2\sin1\)答案：A二、多項選擇題1.下列關(guān)于定積分性質(zhì)的說法正確的有（）A.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)B.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）C.若\(f(x)\leqg(x)\)在\([a,b]\)上成立，則\(\int_{a}^f(x)dx\leq\int_{a}^g(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）答案：ABCD2.已知\(f(x)\)在\([-a,a]\)上連續(xù)，則（）A.若\(f(x)\)為偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)B.若\(f(x)\)為奇函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)C.\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)與\(f(x)\)的奇偶性無關(guān)D.若\(f(x)\)非奇非偶，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx\)不能化簡答案：AB3.以下哪些函數(shù)可以作為定積分的被積函數(shù)（）A.連續(xù)函數(shù)B.有有限個間斷點的有界函數(shù)C.無界函數(shù)D.單調(diào)函數(shù)答案：ABD4.定積分\(\int_{0}^{2}f(x)dx\)可以通過以下哪些方法計算（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.利用定積分的幾何意義答案：ABCD5.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，下列說法正確的是（）A.\(\int_{a}^f(x)dx\)表示由曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成的曲邊梯形的面積（\(f(x)\geq0\)時）B.\(\int_{a}^f(x)dx\)是一個常數(shù)C.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)D.改變\(f(x)\)在有限個點處的值，不影響\(\int_{a}^f(x)dx\)的值答案：ABD6.下列定積分中，值為\(0\)的有（）A.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)B.\(\int_{-1}^{1}x^5dx\)C.\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cosxdx\)D.\(\int_{-2}^{2}(x^3+2x)dx\)答案：ABD7.關(guān)于定積分的換元法，正確的有（）A.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，\(x=\varphi(t)\)滿足\(\varphi(\alpha)=a\)，\(\varphi(\beta)=b\)，且\(\varphi(t)\)在\([\alpha,\beta]\)上有連續(xù)導數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi^\prime(t)dt\)B.換元時要注意積分限的變化C.換元后的被積函數(shù)要比原被積函數(shù)更容易積分D.換元法可以用于簡化定積分的計算答案：ABCD8.定積分\(\int_{0}^{1}x^ndx\)（\(n\)為正整數(shù)）的值與（）有關(guān)A.\(n\)的值B.積分下限\(0\)C.積分上限\(1\)D.函數(shù)\(y=x^n\)的單調(diào)性答案：ABC9.已知\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(\int_{a}^f(x)dx\gt0\)，則（）A.在\([a,b]\)上\(f(x)\)可能有正有負B.在\([a,b]\)上\(f(x)\)恒大于\(0\)C.\(f(x)\)在\([a,b]\)上的平均值大于\(0\)D.曲線\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成圖形在\(x\)軸上方的面積大于在\(x\)軸下方的面積答案：ACD10.以下哪些結(jié)論是正確的（）A.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)且單調(diào)遞增，則\(f(a)\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^f(x)dx\leqf(b)\)B.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)且單調(diào)遞減，則\(f(b)\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^f(x)dx\leqf(a)\)C.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)D.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上有界，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定可積答案：ABC三、判斷題1.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的值只與被積函數(shù)\(f(x)\)以及積分區(qū)間\([a,b]\)有關(guān)，而與積分變量的記號無關(guān)。（）答案：對2.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上不可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定無界。（）答案：對3.設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。（）答案：對4.定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)表示曲線\(y=f(x)\)，直線\(x=a\)，\(x=b\)以及\(x\)軸所圍成圖形的面積。（）答案：錯。當\(f(x)\geq0\)時表示面積，\(f(x)\)有正有負時表示代數(shù)和。5.若\(f(x)\)為偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）答案：對6.定積分的換元法中，換元后積分限不需要改變。（）答案：錯。換元后積分限要相應改變。7.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\frackyo42y6{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)。（）答案：對8.利用定積分的幾何意義可以計算某些特殊定積分的值。（）答案：對9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，\(g(x)\)在\([a,b]\)上也可積，則\(f(x)g(x)\)在\([a,b]\)上一定可積。（）答案：對10.定積分\(\int_{a}^1dx=b-a\)。（）答案：對四、簡答題1.簡述定積分的定義。定積分是通過分割、近似代替、求和、取極限這四個步驟定義的。設函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上有界，將區(qū)間\([a,b]\)任意分割成\(n\)個小區(qū)間，在每個小區(qū)間\([x_{i-1},x_i]\)上任取一點\(\xi_i\)，作和式\(\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Deltax_i\)，其中\(zhòng)(\Deltax_i=x_i-x_{i-1}\)。當\(n\)無限增大且小區(qū)間長度的最大值\(\lambda=\max\{\Deltax_1,\Deltax_2,\cdots,\Deltax_n\}\)趨于\(0\)時，若和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的定積分，記作\(\int_{a}^f(x)dx\)。2.簡述牛頓-萊布尼茨公式及其意義。牛頓-萊布尼茨公式為：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的一個原函數(shù)，即\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。它的意義在于將定積分的計算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)在積分區(qū)間端點處的函數(shù)值之差，極大地簡化了定積分的計算過程，把定積分和不定積分聯(lián)系起來，使積分學得到了更廣泛的應用。3.定積分的換元積分法的一般步驟是什么？首先，根據(jù)被積函數(shù)的特點選擇合適的換元\(x=\varphi(t)\)，要保證\(\varphi(t)\)在某區(qū)間\([\alpha,\beta]\)上有連續(xù)導數(shù)，且\(\varphi(\alpha)=a\)，\(\varphi(\beta)=b\)。然后，將原積分中的\(x\)用\(\varphi(t)\)替換，\(dx\)用\(\varphi^\prime(t)dt\)替換，同時改變積分限，下限對應\(\alpha\)，上限對應\(\beta\)。最后，對換元后的積分進行計算，得到結(jié)果后再將\(t\)換回原來的變量。4.簡述定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。聯(lián)系：若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個不定積分，那么\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)，即定積分的值可以通過不定積分來計算。區(qū)別：不定積分是一個函數(shù)族，\(\intf(x)dx=F(x)+C\)（\(C\)為任意常數(shù)），它表示的是\(f(x)\)的所有原函數(shù)；而定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)是一個確定的數(shù)值，它是通過極限定義的，與積分區(qū)間以及被積函數(shù)有關(guān)。五、討論題1.討論定積分在實際生活中的應用。定積分在實際生活中有廣泛應用。在幾何方面，可求平面圖形的面積，如由曲線\(y=f(x)\)，\(y=g(x)\)以及\(x=a\)，\(x=b\)所圍成圖形的面積\(S=\int_{a}^|f(x)-g(x)|dx\)；還能求旋轉(zhuǎn)體的體積，像繞\(x\)軸旋轉(zhuǎn)的體積\(V=\pi\int_{a}^[f(x)]^2dx\)。在物理中，可計算變力做功，若力\(F(x)\)是位移\(x\)的函數(shù)，在區(qū)間\([a,b]\)上做功\(W=\int_{a}^F(x)dx\)。此外，在經(jīng)濟領域可用于計算總成本、總收益等。2.探討如何利用定積分的性質(zhì)來簡化定積分的計算。利用定積分的性質(zhì)可有效簡化計算。首先，線性性質(zhì)\(\int_{a}^[k_1f(