4.2.1隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系人教B版（2019）選擇性必修第二冊(cè)第四章

概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)通過具體實(shí)例了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的概念01理解兩個(gè)隨機(jī)變量之間

的關(guān)系02探索新知情境與問題為了督促各地做好環(huán)境保護(hù)工作，環(huán)保部門決定在31個(gè)省(自治區(qū)、直轄市)和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中，隨機(jī)抽取6個(gè)進(jìn)行突擊檢查，抽得的結(jié)果只要有一個(gè)不同就認(rèn)為是不同的試驗(yàn)結(jié)果，記樣本空間為

Ω.(1)

Ω

中包含的樣本點(diǎn)數(shù)目是多少？

探索新知情境與問題為了督促各地做好環(huán)境保護(hù)工作，環(huán)保部門決定在31個(gè)省(自治區(qū)、直轄市)和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中，隨機(jī)抽取6個(gè)進(jìn)行突擊檢查，抽得的結(jié)果只要有一個(gè)不同就認(rèn)為是不同的試驗(yàn)結(jié)果，記樣本空間為

Ω.

(2)

設(shè)抽得的結(jié)果中直轄市個(gè)數(shù)為

X，那么對(duì)

Ω

中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，X都有唯一確定的值嗎？X

的取值是固定不變的嗎？如果不是，X

可取的值有哪些？因?yàn)槲覈?guó)只有北京市、上海市、天津市、重慶市這4個(gè)直轄市，而且是隨機(jī)選取，因此對(duì)樣本空間Ω中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都有唯一的取值.但對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中的任意一個(gè).X稱為隨機(jī)變量探索新知隨機(jī)變量一般地，如果隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為

Ω，而且對(duì)于

Ω

中的每一個(gè)樣本點(diǎn)，變量X都有唯一確定的

與之對(duì)應(yīng)，就稱X為一個(gè)隨機(jī)變量.隨機(jī)變量一般用大寫英文字母X，Y，Z，···或小寫希臘字母

ξ，η，ζ，···表示.隨機(jī)變量所有可能的取值組成的集合，稱為這個(gè)隨機(jī)變量的

.實(shí)數(shù)值取值范圍對(duì)隨機(jī)變量的再理解：①隨機(jī)變量是用來表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量；②試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系產(chǎn)生了隨機(jī)變量，隨機(jī)變量每取一個(gè)確定的值對(duì)應(yīng)著試驗(yàn)的不同結(jié)果，試驗(yàn)的結(jié)果對(duì)應(yīng)著隨機(jī)變量的值，即隨機(jī)變量的取值實(shí)質(zhì)上是試驗(yàn)結(jié)果所對(duì)應(yīng)的數(shù).但這些數(shù)是預(yù)先知道的可能值，而不知道究竟是哪一個(gè)值，這便是“隨機(jī)”的本源.典型例題例1先后拋兩枚均勻的硬幣，設(shè)正面朝上的硬幣數(shù)為X，樣本空間為Ω.

(1)

借助合適的符號(hào)，用列舉法寫出樣本空間Ω；

(2)

求出隨機(jī)變量X的取值范圍.解：(1)用FZ表示第一枚硬幣反面朝上，第二枚硬幣正面朝上，其他事件用相同方法表示，則樣本空間Ω＝{FF，F(xiàn)Z，ZF，ZZ}.(2)因?yàn)橛锌赡軟]有硬幣正面朝上，也有可能恰有一枚硬幣正面朝上，還有可能兩枚硬幣都正面朝上，所以

X的取值范圍是{0，1，2}.探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)先后拋兩枚均勻的硬幣，設(shè)正面朝上的硬幣數(shù)為X，樣本空間為Ω.

(1)

X＝1

與樣本空間

Ω

中的樣本點(diǎn)之間有什么關(guān)系？(2)

記事件

A

為“恰有一枚硬幣正面朝上”，寫出

A

所包含的樣本點(diǎn)，說明

X＝1與事件

A

的關(guān)系；(3)

X＝1與

X＝2

能同時(shí)成立嗎？(2)

根據(jù)題意有：A＝{FZ，ZF}因此，X＝1

表示的就是“恰有一枚硬幣正面朝上”，所以

X＝1

與事件

A

等價(jià).(1)

X＝1

的充要條件是實(shí)驗(yàn)結(jié)果為FZ或ZF.探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)先后拋兩枚均勻的硬幣，設(shè)正面朝上的硬幣數(shù)為X，樣本空間為Ω.

(1)

X＝1

與樣本空間

Ω

中的樣本點(diǎn)之間有什么關(guān)系？(2)

記事件

A

為“恰有一枚硬幣正面朝上”，寫出

A

所包含的樣本點(diǎn)，說明

X＝1與事件

A

的關(guān)系；(3)

X＝1與

X＝2

能同時(shí)成立嗎？(3)

因?yàn)?/p>

X＝2

表示“兩枚硬幣都正面朝上”，即試驗(yàn)結(jié)果為FF，所以

X＝1與

X＝2

不能同時(shí)成立，即事件

X＝1與

X＝2

互斥.探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)先后拋兩枚均勻的硬幣，設(shè)正面朝上的硬幣數(shù)為X，樣本空間為Ω.

(4)

0＜X＜2表示什么事件？其概率為多少？由于X＝1

與事件A

等價(jià)，因此上述概率的表達(dá)式也可記作由于這里的隨機(jī)變量X

只能取0，1，2中的某一個(gè)，所以0＜X＜2

與X＝1

也是等價(jià)的，從而事件A

也可用0＜X＜2

表示，因此更進(jìn)一步，利用古典概型的知識(shí)可知

探索新知用隨機(jī)變量來表示事件一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是任意實(shí)數(shù)，那么X＝a，

X≤b，X＞b等都表示事件，而且：(1)

當(dāng)a≠b時(shí)，事件X＝a與X＝b

?；(2)

事件X≤a與X＞a相互

，因此

P(X≤a)＋P(X＞a)＝

?.互斥對(duì)立1

探索新知在用隨機(jī)變量表示事件及事件的概率時(shí)，有時(shí)可不寫出樣本空間.1.拋一枚均勻硬幣，如果正面朝上，取

Z＝1；如果反面朝上，取

Z＝0.

那么

Z

的取值范圍是多少？Z＝1的概率為多少？Z＞－1表示什么？其概率為多少？解：

Z

的取值范圍：{1，0}，

此時(shí)，Z＝1表示“正面朝上”，因此Z＞－1表示“正面朝上或者反面朝上”，因此

P(Z＞－1)＝1.

探索新知在用隨機(jī)變量表示事件及事件的概率時(shí)，有時(shí)可不寫出樣本空間.2.擲一個(gè)均勻的骰子，如果設(shè)朝上的點(diǎn)數(shù)為

Y，Y＝2的概率為多少？Y＞3概率為多少？解：Y

的取值范圍：{1，2，3，4，5，6}，此時(shí)，Y＝2表示“朝上的點(diǎn)數(shù)為2”，因此Y＞3表示“朝上的點(diǎn)數(shù)大于

3”，即“朝上的點(diǎn)數(shù)為

4，5，6

中的某一個(gè)”，因此

探索新知在用隨機(jī)變量表示事件及事件的概率時(shí)，有時(shí)可不寫出樣本空間.3.用

ξ

表示某網(wǎng)頁在一天內(nèi)

(即

24

h

內(nèi))

被瀏覽的次數(shù)，ξ的取值范圍是多少？若

P(ξ≤1000)＝0.3，則

P(ξ＞1000)等于多少？解：ξ的取值范圍：{0，1，2，3，···}＝N.因?yàn)?/p>

ξ≤1000與

ξ＞1000相互對(duì)立，則P(ξ＞1000)＝1－0.3＝0.7.思考：上述隨機(jī)變量，其所有可能的取值有何特點(diǎn)？探索新知離散型隨機(jī)變量所有取值

的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.與離散型隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的是連續(xù)型隨機(jī)變量，一般來說，連續(xù)型隨機(jī)變量可以在某個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)連續(xù)取值.可以一一列出例如，用

η

表示某品牌節(jié)能燈的壽命，則

η

的取值范圍可以認(rèn)為是[0，+∞]，這里的

η

是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的特征：①可用數(shù)值表示；②試驗(yàn)之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值；③在試驗(yàn)之前不能確定取何值；④試驗(yàn)結(jié)果能一一列出.探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)為了調(diào)動(dòng)員工的積極性，某廠某月實(shí)行超額獎(jiǎng)勵(lì)制度，具體措施是：每超額完成1件產(chǎn)品，獎(jiǎng)勵(lì)100元.假設(shè)這個(gè)月中，該廠的每名員工都完成了定額，而且超額完成的產(chǎn)品數(shù)都不超過50.從該廠員工中隨機(jī)抽出一名，記抽出的員工該月超額完成的產(chǎn)品數(shù)為X，獲得的超額獎(jiǎng)勵(lì)為Y元，則X與Y均為隨機(jī)變量.(1)

當(dāng)

X＝3時(shí)，Y的值是多少？總結(jié)

X

與

Y之間的關(guān)系.因?yàn)?/p>

X＝3表示超額完成了3件產(chǎn)品，所以按照獎(jiǎng)勵(lì)制度可知

Y＝100×3＝300.依照題意可知Y＝100X.探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)為了調(diào)動(dòng)員工的積極性，某廠某月實(shí)行超額獎(jiǎng)勵(lì)制度，具體措施是：每超額完成1件產(chǎn)品，獎(jiǎng)勵(lì)100元.假設(shè)這個(gè)月中，該廠的每名員工都完成了定額，而且超額完成的產(chǎn)品數(shù)都不超過50.從該廠員工中隨機(jī)抽出一名，記抽出的員工該月超額完成的產(chǎn)品數(shù)為X，獲得的超額獎(jiǎng)勵(lì)為Y元，則X與Y均為隨機(jī)變量.(2)

分別寫出

X

與

Y的取值范圍.由于

X的取值范圍是{0，1，2，3，···，50}，因此

Y

的取值范圍是{0，100，200，300，···，5000}.探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)為了調(diào)動(dòng)員工的積極性，某廠某月實(shí)行超額獎(jiǎng)勵(lì)制度，具體措施是：每超額完成1件產(chǎn)品，獎(jiǎng)勵(lì)100元.假設(shè)這個(gè)月中，該廠的每名員工都完成了定額，而且超額完成的產(chǎn)品數(shù)都不超過50.從該廠員工中隨機(jī)抽出一名，記抽出的員工該月超額完成的產(chǎn)品數(shù)為X，獲得的超額獎(jiǎng)勵(lì)為Y元，則X與Y均為隨機(jī)變量.(3)

X＝3與

Y＝300之間有什么關(guān)系？P(X＝3)和

P(Y＝300)大小關(guān)系如何？X＝3表示員工超額完成了3件產(chǎn)品充要條件Y＝300表示該員工獲得300元超額獎(jiǎng)勵(lì).P(X＝3)＝P(Y＝300)探索新知隨機(jī)變量之間的關(guān)系一般地，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是實(shí)數(shù)且a≠0，則

Y

＝___________也是一個(gè)

.由于X＝t的充要條件是

，因此

P(X＝t)＝

.aX＋b

隨機(jī)變量Y＝at＋b

P(Y＝at＋b)

典型例題例2某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1h再獲取30元.從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為Xh，獲取的稅前月工資為Y元.(1)

當(dāng)X＝110時(shí)，求Y的值；(2)

寫出X與Y之間的關(guān)系式；解：(1)

當(dāng)X＝110時(shí)，表示工作了110個(gè)小時(shí)，所以Y＝110×3＋1000＝4300.(2)

根據(jù)題意有Y＝30X＋1000.典型例題例2某快餐店的小時(shí)工是按照下述方式獲取稅前月工資的：底薪1000元，每工作1h再獲取30元.從該快餐店中任意抽取一名小時(shí)工，設(shè)其月工作時(shí)間為Xh，獲取的稅前月工資為Y元.(3)

若P(X≤120)＝0.6，求P(Y＞4600)

的值.

解：(3)

因?yàn)?/p>