5.2.3利用去括號解一元一次方程當一元一次方程中含有括號時，去括號是求解過程中的重要前置步驟。括號的存在會阻礙同類項的合并和移項操作，因此需要先通過去括號法則將方程化簡，再結(jié)合移項、合并同類項等步驟求解。掌握去括號的技巧，能確保方程變形的準確性，為后續(xù)求解掃清障礙。一、去括號的必要性與依據(jù)必要性：當方程中含有括號時，含未知數(shù)的項和常數(shù)項往往被括號分隔，無法直接進行移項和合并同類項。例如：方程\(2(x+3)=14-3(x-1)\)中，\(x\)的項分別在兩個括號內(nèi)，需先去括號才能將含\(x\)的項集中。依據(jù)：去括號的依據(jù)是乘法分配律，即\(a(b+c)=ab+ac\)。通過將括號外的系數(shù)與括號內(nèi)的每一項分別相乘，實現(xiàn)括號的去除。例如：\(3(x-2)=3x-6\)，就是利用分配律將\(3\)與\(x\)、\(-2\)分別相乘。二、去括號的法則回顧在解一元一次方程時，去括號需遵循以下法則：括號前是“\(+\)”號：去掉括號和它前面的“\(+\)”號后，括號內(nèi)各項的符號不變。例如：\(+(2x-5)=2x-5\)，方程\(x+(3x-1)=7\)去括號后為\(x+3x-1=7\)。括號前是“\(-\)”號：去掉括號和它前面的“\(-\)”號后，括號內(nèi)各項的符號都要改變（正號變負號，負號變正號）。例如：\(-(2x-5)=-2x+5\)，方程\(5-(x+2)=3\)去括號后為\(5-x-2=3\)。括號前有數(shù)字因數(shù)：需將數(shù)字因數(shù)與括號內(nèi)的每一項分別相乘，再按上述法則處理符號。例如：\(2(3x-4)=6x-8\)，\(-3(2x+1)=-6x-3\)。多層括號：若方程中含有多層括號（如小括號、中括號），一般從最內(nèi)層的小括號開始逐層去除，或根據(jù)情況先去外層括號，但需注意每層括號的符號變化。例如：\(2[3(x-1)+2]=16\)，可先去小括號，再去中括號。三、利用去括號解一元一次方程的步驟含有括號的一元一次方程的求解步驟可概括為“去括號→移項→合并同類項→化系數(shù)為1”，具體如下：去括號：根據(jù)去括號法則去除方程中的括號，確保括號內(nèi)每一項都與括號外的系數(shù)相乘（若有系數(shù)），并正確處理符號。例如：方程\(3(x-2)+4=5x-1\)去括號后為\(3x-6+4=5x-1\)。移項：將含未知數(shù)的項移到等號左邊，常數(shù)項移到等號右邊，移項時改變符號。例如：上例去括號后整理為\(3x-2=5x-1\)，移項得\(3x-5x=-1+2\)。合并同類項：分別合并等號兩邊的同類項，將方程化為\(ax=b\)（\(aa?

0\)）的形式。例如：上例移項后合并得\(-2x=1\)。系數(shù)化為1：方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)\(a\)，得到方程的解\(x=\frac{a}\)。例如：上例系數(shù)化為1得\(x=-\frac{1}{2}\)。四、實例解析示例1：解方程\(4(x+2)=28\)。解：步驟1：去括號（括號前是數(shù)字\(4\)，用分配律）：\(4x+8=28\)。步驟2：移項（將\(8\)移到右邊）：\(4x=28-8\)。步驟3：合并同類項：\(4x=20\)。步驟4：系數(shù)化為1：\(x=5\)。因此，方程的解為\(x=5\)。示例2：解方程\(2(3y-1)-3(2-4y)=9y+10\)。解：步驟1：去括號（注意括號前的負號）：\(6y-2-6+12y=9y+10\)（\(2??3y=6y\)，\(2??(-1)=-2\)；\(-3??2=-6\)，\(-3??(-4y)=+12y\)）。步驟2：合并同側(cè)同類項：\((6y+12y)+(-2-6)=9y+10\)，即\(18y-8=9y+10\)。步驟3：移項（將\(9y\)移到左邊，\(-8\)移到右邊）：\(18y-9y=10+8\)。步驟4：合并同類項：\(9y=18\)。步驟5：系數(shù)化為1：\(y=2\)。因此，方程的解為\(y=2\)。示例3：解方程\(3[x-2(x-1)]=2(1-x)\)。解：步驟1：去小括號（內(nèi)層括號）：\(3[x-2x+2]=2-2x\)（注意\(-2??(-1)=+2\)）。步驟2：合并中括號內(nèi)同類項：\(3[-x+2]=2-2x\)。步驟3：去中括號：\(-3x+6=2-2x\)（\(3??(-x)=-3x\)，\(3??2=+6\)）。步驟4：移項（將\(-2x\)移到左邊，\(6\)移到右邊）：\(-3x+2x=2-6\)。步驟5：合并同類項：\(-x=-4\)。步驟6：系數(shù)化為1：\(x=4\)。因此，方程的解為\(x=4\)。五、典型例題分類解析括號前為正數(shù)的方程：例：解方程\(5(2x-1)=3(x+2)+4\)。解：去括號得\(10x-5=3x+6+4\)，移項得\(10x-3x=6+4+5\)，合并得\(7x=15\)，系數(shù)化為1得\(x=\frac{15}{7}\)。括號前為負數(shù)的方程：例：解方程\(7-2(3x-1)=5x\)。解：去括號得\(7-6x+2=5x\)，合并同側(cè)得\(9-6x=5x\)，移項得\(-6x-5x=-9\)，合并得\(-11x=-9\)，系數(shù)化為1得\(x=\frac{9}{11}\)。多層括號的方程：例：解方程\(2[(x+1)-3]=5(x-2)\)。解：去小括號得\(2[x+1-3]=5x-10\)，合并中括號得\(2[x-2]=5x-10\)，去中括號得\(2x-4=5x-10\)，移項得\(2x-5x=-10+4\)，合并得\(-3x=-6\)，系數(shù)化為1得\(x=2\)。含分數(shù)系數(shù)的括號方程：例：解方程\(\frac{1}{2}(4x-6)=\frac{1}{3}(9x-3)\)。解：去括號得\(2x-3=3x-1\)（\(\frac{1}{2}??4x=2x\)，\(\frac{1}{2}??(-6)=-3\)；\(\frac{1}{3}??9x=3x\)，\(\frac{1}{3}??(-3)=-1\)），移項得\(2x-3x=-1+3\)，合并得\(-x=2\)，系數(shù)化為1得\(x=-2\)。六、常見錯誤與規(guī)避方法去括號時漏乘項：常見錯誤：解方程\(2(x+3)=5x-1\)時，去括號誤得\(2x+3=5x-1\)（漏乘\(2??3\)），導致后續(xù)求解錯誤。規(guī)避方法：去括號前明確括號外的系數(shù)，將系數(shù)與括號內(nèi)的每一項逐一相乘，可在草稿紙上標注“分配律”步驟，如\(2(x+3)=2??x+2??3\)。括號前是負號時符號漏改：常見錯誤：解方程\(5-(x-2)=3\)時，去括號誤得\(5-x-2=3\)（\(-2\)未變號），正確應(yīng)為\(5-x+2=3\)。規(guī)避方法：括號前是“\(-\)”號時，默念“每項變號”，將括號內(nèi)的正號改為負號、負號改為正號，逐一檢查每一項的符號。多層括號去括號順序錯誤：常見錯誤：解方程\(3[x-(2x+1)]=4\)時，先去中括號得\(3x-(2x+1)=4\)（漏乘中括號外的系數(shù)），正確應(yīng)先去小括號。規(guī)避方法：多層括號建議“由內(nèi)向外”逐層去除，每去一層括號后及時合并同類項，減少符號混淆的可能性。去括號后未合并同側(cè)同類項：常見錯誤：解方程\(2x+3(x-1)=4x+5\)時，去括號得\(2x+3x-3=4x+5\)，未合并左邊同類項直接移項，增加計算復(fù)雜度。規(guī)避方法：去括號后，先將等號兩邊各自的同類項合并，使方程結(jié)構(gòu)更簡潔，再進行移項操作。七、方法總結(jié)與拓展利用去括號解一元一次方程的核心是準確應(yīng)用去括號法則，將含括號的方程轉(zhuǎn)化為不含括號的常規(guī)方程。在實際解題中，需注意以下幾點：去括號前觀察括號前的符號和系數(shù)，明確每一步的變形依據(jù)（分配律和符號法則）；多層括號按“由內(nèi)向外”或“由外向內(nèi)”的順序處理，確保每一層括號都正確去除；去括號后及時合并同側(cè)同類項，為后續(xù)移項和求解簡化步驟；完成去括號后，嚴格按照“移項→合并同類項→化系數(shù)為1”的步驟求解，確保每一步的準確性。去括號是解復(fù)雜一元一次方程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其準確性直接影響后續(xù)求解的正確性。通過大量練習不同類型的含括號方程，可熟練掌握去括號的技巧，為解決更復(fù)雜的代數(shù)問題奠定基礎(chǔ)。2024人教版數(shù)學七年級上冊授課教師：

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時間：

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5.2.3利用去括號解一元一次方程第五章

一元一次方程aiTujmiaNg1.會用去括號的方法解一元一次方程2.熟悉如何設(shè)未知數(shù)列方程解應(yīng)用題新課導入解下列方程：解：移項，得5x-7x=3-45.合并同類項，得-2x=-42.系數(shù)化為1，得x=21.5x+45=7x+34-

x=x

-(2-

x)-2(2x+1)=x這樣的方程，又該怎么辦呢？1.去括號法則是什么？（1）去掉“+（）”，括號內(nèi)各項的符號都不變號.（2）去掉“－（）”，括號內(nèi)各項的符號都要變號.2.已經(jīng)學過的解一元一次方程的步驟：（1）移項（2）合并同類項（3）系數(shù)化為13.已經(jīng)會解的兩種類型的方程：ax+bx=c（a，b，c

為常數(shù)）ax+b=cx+d（a，b，c，d

為常數(shù)）一臺功率為1kW的電器1h的用電量是1kW·h.新知探索

問題3某工廠采取節(jié)能措施，去年下半年與上半年相比，月平均用電量減少2000kW·h（千瓦時），全年的用電量是150000kW·h.這個工廠去年上半年平均每月的用電量是多少？思考：1.題目中涉及了哪些量？2.題目中的相等關(guān)系是什么？月平均用電量×n（月數(shù)）=n

個月用電量上半年的用電量+下半年的用電量=全年的用電量新知探索分析：設(shè)去年上半年平均每月的用電量是x

kW·h，則下半年平均每月用電量是(x

-2000)

kW·h；上半年的用電量是6xkW·h，下半年的用電量是6(x-2000)kW·h．根據(jù)全年的用電量是150000kW·h，列得方程6x+6(x

-2000)=150000怎樣解這個方程？這個方程與我們前面研究過的方程有什么不同？方程左邊去括號，得6x+6x-12000=150000移項，得6x+6x=150000+12000合并同類項，得12x=162000系數(shù)化為1，得x=13500這個工廠去年上半年平均每月的用電量是13500kW·h.6x+6(x

-2000)=150000當方程中有帶括號的式子時，去括號是常用的化簡步驟.利用去括號解一元一次方程的一般步驟：去括號移項合并同類項系數(shù)化為1例題【教材P125】例5解下列方程：（1）2x–(x+10)=5x+2(x–1)；解：去括號，得2x–x-10=5x+2x

-2.移項，得2x–x

-5x

-2x=-2+10.合并同類項，得-6x=8.系數(shù)化為1，得x=-

.例題【教材P125】（2）3x–7(x–1)=3–2(x+3).去括號，得3x–7x+

7=3

-2x

-6.移項，得3x–7x

+2x=3-6-7.合并同類項，得-2x=-10.系數(shù)化為1，得x=5.鞏固練習解方程：x+1－2(x－1)=1－3x解：去括號，得x+1－2x－2=1－3x移項，得x－2x

+

3x=1－1+2合并同類項，得2x

=2系數(shù)化為1，得x

=1上述解答過程錯在哪一步？指出并加以改正.x+1－2x

+2=1－3x

x－2x

+

3x=1－1－22x=－2x=－1

例6

一艘船從甲碼頭到乙碼頭順水而行，用了2h；從乙碼頭返回甲碼頭逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在靜水中的平均速度.例題【教材P125】思考：1.

行程問題涉及哪些量？它們之間的關(guān)系是什么？

2.

問題中涉及到順、逆流因素，這類問題中有哪些基本相等關(guān)系？順水（風）、逆水（風）問題中的相等關(guān)系：（1）順水速度＝靜水速度+水流速度，逆水速度＝靜水速度－水流速度.（2）順風速度＝無風速度+風速，逆風速度＝無風速度－風速.（3）往返于A，B兩地時，順水(風)航程＝逆水(風)航程分析：一般情況下，可以認為這艘船往返的路程相等.根據(jù)這個相等關(guān)系，可以列方程求出船在靜水中的平均速度.

例6

一艘船從甲碼頭到乙碼頭順水而行，用了2h；從乙碼頭返回甲碼頭逆水而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在靜水中的平均速度.例題【教材P125】解：設(shè)船在靜水中的平均速度為xkm/h，則順水的速度為(x+3)km/h，逆水速度為(x-3)km/h.根據(jù)往返路程相等，列得方程2(x+3)=2.5(x-3).

去括號，得2x+6=2.5x

-7.5.

移項及合并類型，得-0.5x=-13.5.

系數(shù)化為1，得x=27.

答：船在靜水中的平均速度為27km/h.鞏固練習一艘船從甲碼頭順水航行到乙碼頭用時4

h，從乙碼頭逆水航行返回甲碼頭用時5

h.已知水流的速度為3

km/h，求甲、乙兩個碼頭之間的航程.分析：①設(shè)船在靜水中的平均速度為xkm/h.類型速度/(km/h)時間/h航程/km順水x+344(x+3)逆水x-355(x-

3)②相等關(guān)系：順水航程＝逆水航程.解:設(shè)船在靜水中的平均速度為xkm/h.根據(jù)題意，得4(x+3)＝5(x-3).去括號，得4x+12＝5x-15.移項及合并同類項，得-x=-27.系數(shù)化為1，得x=27.所以4(x+3)=120.答:甲、乙兩個碼頭之間的航程為120km.【選自教材教材P126練習第1題】1.解下列方程：解：去括號，得2x+6=5x.

（1）2(x+3)=5x；移項，得2x-5x=-6.

合并同類項，得-3x=-6.系數(shù)化為1，得x=2.（2）4x+3(2x-3)=12-(x+4)；解：去括號，得4x+6x

-9=12–x-4.

移項，得4x+

6x+x=12-4+9.

合并同類項，得11x=17.系數(shù)化為1，得x=.（3）6(x-4)+2x=7-(x-1)；系數(shù)化為1，得x=6.合并同類項，得

x=32.解：去括號，得3x–24+2x=7–x+1.

移項，得3x+

2x+x=24+7+1.

（4）2-3(x+1)=1-2(1+0.5x).解：去括號，得2-3x

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