§7.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系課標(biāo)要求1.借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問(wèn)題.1.基本事實(shí)1：過(guò)的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.基本事實(shí)2：如果一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有過(guò)該點(diǎn)的公共直線.基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行.2.“三個(gè)”推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.推論2：經(jīng)過(guò)兩條直線，有且只有一個(gè)平面.推論3：經(jīng)過(guò)兩條直線，有且只有一個(gè)平面.3.空間中直線與直線的位置關(guān)系共面直線4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線與平面相交個(gè)

平行個(gè)

在平面內(nèi)個(gè)

平面與平面平行個(gè)

相交個(gè)

5.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角.6.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.()(2)若直線與平面不平行，則直線與平面有公共點(diǎn).()(3)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合.()(4)兩兩相交的三條直線共面.()2.用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線m上，直線m在平面α內(nèi)”，正確的是()A.A?m，m?αB.AB?m，m∈αC.A?m，m?αD.AD?m，m∈α3.(多選)下列命題正確的是()A.空間任意三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面B.一個(gè)點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面C.兩條相交直線確定一個(gè)平面D.空間兩兩平行的三條直線確定一個(gè)或三個(gè)平面4.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AC和MN所成的角為.1.異面直線的判定：經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線互為異面直線.2.異面直線所成角的范圍：兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角.題型一基本事實(shí)的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn).思維升華共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)共面：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).(2)共線：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.(3)共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1(多選)(2024·湖南省教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別為BB1，CC1，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B.EF∥GHC.∠EGB1＝∠FHC1D.EG，F(xiàn)H，AA1三線共點(diǎn)題型二空間位置關(guān)系的判斷例2(1)(多選)下列推斷中，正確的是()A.若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈lB.若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈lC.l?α，A∈l?A?αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合(2)(多選)(2025·紅河模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，則以下四個(gè)結(jié)論中，正確的有()A.直線AM與CC1是相交直線B.直線BN與MB1是異面直線C.AM與BN平行D.直線A1M與BN共面思維升華判斷空間直線的位置關(guān)系一般有兩種方法：一是構(gòu)造幾何體(如長(zhǎng)方體、空間四邊形等)模型來(lái)判斷.二是排除法.特別地，對(duì)于異面直線的判定常用到結(jié)論：“平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線是異面直線.”跟蹤訓(xùn)練2(1)空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()A.平行 B.異面C.相交或平行 D.平行或異面或相交均有可能(2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是()A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交題型三異面直線所成的角例3(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為BD的中點(diǎn)，則直線B1E與A1D所成的角為()A.30° B.60° C.120° D.150°(2)(2025·隨州模擬)如圖，在三棱錐M－ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，MA＝23，F(xiàn)是MC的中點(diǎn)，則異面直線MB與AF所成角的余弦值是()A.33 B.34 C.13思維升華異面直線所成角的求法方法解讀平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解補(bǔ)形法在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解跟蹤訓(xùn)練3(2025·福州統(tǒng)考)已知軸截面為正方形ABCD的圓柱，AB為下底面直徑，E是弧AB的中點(diǎn)，則直線AE與BD所成的角為()A.π6 B.π4 C.π3

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.不在一條直線上兩個(gè)點(diǎn)一條2.相交平行3.相交平行任何4.a∩α＝A1a∥α0a?α無(wú)數(shù)α∥β0α∩β＝l無(wú)數(shù)5.相等或互補(bǔ)6.(2)0自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.A[由題意用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線m上，直線m在平面α內(nèi)”，即A?m，m?α.]3.CD[A中，空間不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，A錯(cuò)；B中，只有點(diǎn)在直線外時(shí)才能確定一個(gè)平面，B錯(cuò)；C中，兩條相交直線確定一個(gè)平面，C正確；D中，空間兩兩平行的三條直線確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，D正確.]4.60°解析因?yàn)镸，N分別為棱BC和棱CC1的中點(diǎn)，所以MN∥BC1，又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC∥A1C1，所以∠A1C1B或其補(bǔ)角為異面直線AC和MN所成的角，又在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△A1C1B為正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即異面直線AC和MN所成的角為60°.探究核心題型例1證明(1)如圖所示，連接B1D1.因?yàn)镋F是△C1D1B1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接A1C，設(shè)A1，C，C1確定的平面為α，又設(shè)平面BDEF為β.因?yàn)镼∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點(diǎn)，同理，P是α與β的公共點(diǎn).所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線.(3)因?yàn)镋F∥BD且EF<BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練1ABD[對(duì)于A，B，如圖，連接EF，GH，由題意可知GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1，因?yàn)锽1E∥C1F，且B1E＝C1F＝12BB1，所以四邊形B1EFC1所以EF∥B1C1，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面，A，B正確；對(duì)于C，因?yàn)锽1E＝C1F，當(dāng)GB1≠HC1時(shí)，tan∠EGB1≠tan∠FHC1，又∠EGB1，∠FHC1∈0，π2，則∠EGB1≠∠FHC1對(duì)于D，如圖，延長(zhǎng)EG，F(xiàn)H相交于點(diǎn)P，因?yàn)镻∈EG，EG?平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，因?yàn)镻∈FH，F(xiàn)H?平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，因?yàn)槠矫鍭BB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，所以EG，F(xiàn)H，AA1三線共點(diǎn)，D正確.]例2(1)ABD[對(duì)于A，因?yàn)镸∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實(shí)3可知M∈l，A對(duì)；對(duì)于B，若a?α，b?β，a∩b＝A，則A∈α，A∈β，因?yàn)棣痢搔拢絣，所以A∈l，B對(duì)；對(duì)于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，C錯(cuò)；對(duì)于D，有三個(gè)不共線的點(diǎn)在平面α，β中，故α，β重合，D對(duì).](2)BD[M，C，C1三點(diǎn)在平面CDD1C1內(nèi)，M點(diǎn)不在直線CC1上，A點(diǎn)不在平面CDD1C1內(nèi)，所以A，M，C，C1四點(diǎn)不共面，根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與CC1是異面直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B，N，B1三點(diǎn)在平面BCC1B1內(nèi)，B1不在直線BN上，M點(diǎn)不在平面BCC1B1內(nèi)，所以B，N，M，B1四點(diǎn)不共面，根據(jù)異面直線的定義可得直線BN與MB1是異面直線，故選項(xiàng)B正確；取DD1的中點(diǎn)E，連接AE，EN，又N為C1C的中點(diǎn)，則有AB∥EN，AB＝EN，所以四邊形ABNE是平行四邊形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，則AM與BN不平行，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；連接MN，BA1，CD1，因?yàn)镸，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，所以MN∥D1C，由正方體的性質(zhì)可知，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，則有A1，B，M，N四點(diǎn)共面，所以直線A1M與BN共面，故選項(xiàng)D正確.]跟蹤訓(xùn)練2(1)D[根據(jù)條件作出示意圖，容易得到以下三種情況，由圖可知AB與CD有相交、平行、異面三種情況.](2)D[如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.]例3(1)A[如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝DC，A1B1∥DC，所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，則有A1D∥B1C，所以直線B1E與A1D所成的角等于直線B1E與B1C所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則BB1＝2，BE＝CE＝2，B1C＝22，B1E＝BB12在△EB1C中，cos∠EB1C＝B1E2所以∠EB1C＝30°.所以直線B1E與A1D所成的角為30°.](2)D[設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接FE，AE，如圖所示，因?yàn)镸A⊥平面ABC，AB，AC?平面ABC，所以MA⊥AB，MA⊥AC，所以由勾股定理得MB＝MA2+MC＝MA2+因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是MC的中點(diǎn)，所以FE＝12MB＝2，AF＝2，AE＝3，F(xiàn)E∥MB所以異面