幻燈片1：標題頁標題：22.1.3.2二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)的圖象和性質——探究\((x-h)\)中\(zhòng)(h\)的作用副標題：從\(y=ax?2\)到\(y=a(x-h)?2\)的圖象變換與性質拓展配套元素：背景圖：展示\(y=x?2\)、\(y=(x-2)?2\)、\(y=(x+1)?2\)的圖象對比，凸顯圖象的左右平移關系。署名：學科、年級、教師姓名幻燈片2：學習目標知識與技能目標：掌握用描點法畫出二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)（\(aa?

0\)，\(h\)為常數(shù)）的圖象，明確其與\(y=ax?2\)圖象的關系。理解\(h\)對二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)圖象位置的影響，能準確描述圖象的平移規(guī)律。熟練說出二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)的對稱軸、頂點坐標、開口方向、最值及增減性等性質。過程與方法目標：通過對比\(y=ax?2\)與\(y=a(x-h)?2\)的圖象，經(jīng)歷觀察、分析、歸納的過程，進一步鞏固數(shù)形結合思想和抽象概括能力。在小組合作探究圖象平移規(guī)律和性質的過程中，提升合作交流能力和邏輯推理能力。情感態(tài)度與價值觀目標：感受數(shù)學知識的內在聯(lián)系和規(guī)律性，激發(fā)對函數(shù)圖象變換探究的持續(xù)興趣，體驗探究發(fā)現(xiàn)的樂趣。培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣和勇于探索的精神，增強運用數(shù)學知識解決問題的信心?；脽羝?：復習回顧——銜接舊知\(y=ax?2\)與\(y=ax?2+k\)圖象與性質回顧：\(y=ax?2\)：圖象是拋物線，開口方向由\(a\)決定，對稱軸是直線\(x=0\)，頂點坐標\((0,0)\)，最值為\(0\)。\(y=ax?2+k\)：圖象與\(y=ax?2\)形狀相同，\(k>0\)時向上平移\(k\)個單位，\(k<0\)時向下平移\(\vertk\vert\)個單位，對稱軸仍是直線\(x=0\)，頂點坐標\((0,k)\)，最值為\(k\)。展示\(y=2x?2\)、\(y=2x?2+3\)的圖象，幫助學生回憶上下平移規(guī)律。提問引入：前面我們學習了在\(y=ax?2\)基礎上加上常數(shù)\(k\)得到\(y=ax?2+k\)，圖象發(fā)生上下平移。如果將\(y=ax?2\)中的\(x\)換成\((x-h)\)，得到\(y=a(x-h)?2\)，它的圖象會發(fā)生怎樣的變化？性質又會有哪些不同呢？這就是本節(jié)課要探究的內容?；脽羝?：探究一——繪制\(y=x?2\)、\(y=(x-2)?2\)和\(y=(x+1)?2\)的圖象繪制步驟講解：列表：對于\(y=x?2\)，選取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，計算\(y\)值為\(9,4,1,0,1,4,9\)。對于\(y=(x-2)?2\)，相同\(x\)值對應的\(y\)值為：當\(x=-3\)時，\(y=(-3-2)?2=25\)；\(x=-2\)時，\(y=(-2-2)?2=16\)；\(x=-1\)時，\(y=(-1-2)?2=9\)；\(x=0\)時，\(y=(0-2)?2=4\)；\(x=1\)時，\(y=(1-2)?2=1\)；\(x=2\)時，\(y=(2-2)?2=0\)；\(x=3\)時，\(y=(3-2)?2=1\)。對于\(y=(x+1)?2\)（可變形為\(y=(x-(-1))?2\)），相同\(x\)值對應的\(y\)值為：\(x=-3\)時，\(y=(-3+1)?2=4\)；\(x=-2\)時，\(y=(-2+1)?2=1\)；\(x=-1\)時，\(y=(-1+1)?2=0\)；\(x=0\)時，\(y=(0+1)?2=1\)；\(x=1\)時，\(y=(1+1)?2=4\)；\(x=2\)時，\(y=(2+1)?2=9\)；\(x=3\)時，\(y=(3+1)?2=16\)。將三個函數(shù)的\(x\)與\(y\)值整理成對比表格展示。描點與連線：在同一平面直角坐標系中，分別描出三個函數(shù)對應的點，并用平滑曲線連接，得到三個函數(shù)的圖象。展示繪制好的圖象，讓學生直觀觀察。觀察與思考：對比這三個函數(shù)的圖象，它們的形狀是否相同？位置上有什么關系？\(y=(x-2)?2\)和\(y=(x+1)?2\)的圖象與\(y=x?2\)的圖象相比，是如何平移得到的？幻燈片5：探究二——繪制\(y=-x?2\)、\(y=-(x-3)?2\)和\(y=-(x+2)?2\)的圖象繪制步驟講解：列表：對于\(y=-x?2\)，選取\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)，計算\(y\)值為\(-9,-4,-1,0,-1,-4,-9\)。對于\(y=-(x-3)?2\)，相同\(x\)值對應的\(y\)值為：\(x=-3\)時，\(y=-(-3-3)?2=-36\)；\(x=-2\)時，\(y=-(-2-3)?2=-25\)；\(x=-1\)時，\(y=-(-1-3)?2=-16\)；\(x=0\)時，\(y=-(0-3)?2=-9\)；\(x=1\)時，\(y=-(1-3)?2=-4\)；\(x=2\)時，\(y=-(2-3)?2=-1\)；\(x=3\)時，\(y=-(3-3)?2=0\)。對于\(y=-(x+2)?2\)（變形為\(y=-(x-(-2))?2\)），相同\(x\)值對應的\(y\)值為：\(x=-3\)時，\(y=-(-3+2)?2=-1\)；\(x=-2\)時，\(y=-(-2+2)?2=0\)；\(x=-1\)時，\(y=-(-1+2)?2=-1\)；\(x=0\)時，\(y=-(0+2)?2=-4\)；\(x=1\)時，\(y=-(1+2)?2=-9\)；\(x=2\)時，\(y=-(2+2)?2=-16\)；\(x=3\)時，\(y=-(3+2)?2=-25\)。整理成對比表格展示。描點與連線：在同一平面直角坐標系中描點連線，得到三個函數(shù)的圖象。展示圖象，與上一組\(a>0\)的函數(shù)圖象對比。觀察與思考：這三個函數(shù)的圖象形狀是否相同？\(y=-(x-3)?2\)和\(y=-(x+2)?2\)的圖象與\(y=-x?2\)的圖象相比，平移規(guī)律是怎樣的？與上一組\(a>0\)時的平移規(guī)律是否一致？幻燈片6：歸納總結——\(y=a(x-h)?2\)與\(y=ax?2\)的圖象關系平移規(guī)律：當\(h>0\)時，二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)的圖象可以由\(y=ax?2\)的圖象向右平移\(h\)個單位長度得到。例如，\(y=(x-2)?2\)的圖象是\(y=x?2\)的圖象向右平移\(2\)個單位，\(y=-(x-3)?2\)的圖象是\(y=-x?2\)的圖象向右平移\(3\)個單位。當\(h<0\)時，二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)的圖象可以由\(y=ax?2\)的圖象向左平移\(\verth\vert\)個單位長度得到。例如，\(y=(x+1)?2=(x-(-1))?2\)的圖象是\(y=x?2\)的圖象向左平移\(1\)個單位，\(y=-(x+2)?2=-(x-(-2))?2\)的圖象是\(y=-x?2\)的圖象向左平移\(2\)個單位。結合圖象展示平移過程，用箭頭標注平移方向和距離，幫助學生理解。形狀關系：\(y=a(x-h)?2\)與\(y=ax?2\)的圖象形狀完全相同，因為它們的二次項系數(shù)\(a\)相同，只是位置不同，這說明\(h\)值不影響拋物線的形狀和開口寬窄，只影響圖象的左右位置?；脽羝?：探究三——二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)的對稱軸和頂點坐標對稱軸：觀察所有\(zhòng)(y=a(x-h)?2\)的圖象，發(fā)現(xiàn)它們的對稱軸是直線\(x=h\)。例如，\(y=(x-2)?2\)的對稱軸是直線\(x=2\)，\(y=(x+1)?2\)的對稱軸是直線\(x=-1\)。這是因為\(h\)決定了拋物線對稱軸的位置，與\(a\)的值無關。通過在圖象上標注對稱軸，加深學生印象。頂點坐標：\(y=ax?2\)的頂點坐標是\((0,0)\)，當圖象向右平移\(h\)個單位時，頂點坐標變?yōu)閈((h,0)\)；當圖象向左平移\(\verth\vert\)個單位時，頂點坐標同樣變?yōu)閈((h,0)\)（因為此時\(h\)為負數(shù)）。所以，二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)的頂點坐標是\((h,0)\)。展示不同\(h\)值對應的函數(shù)圖象的頂點位置，如\(y=(x-2)?2\)頂點為\((2,0)\)，\(y=(x+1)?2\)頂點為\((-1,0)\)，驗證這一結論?；脽羝?：探究四——二次函數(shù)\(y=a(x-h)?2\)的開口方向、最值和增減性開口方向：與\(y=ax?2\)相同，當\(a>0\)時，\(y=a(x-h)?2\)的圖象開口向上；當\(a<0\)時，圖象開口向下。因為開口方向由\(a\)的符號決定，與\(h\)無關。舉例展示\(y=2(x-1)?2\)（開口向上）和\(y=-2(x-1)?2\)（開口向下）的圖象對比。最值情況：當\(a>0\)時，拋物線開口向上，頂點\((h,0)\)是圖象的最低點，所以當\(x=h\)時，函數(shù)有最小值，最小值為\(0\)。例如，\(y=(x-2)?2\)的最小值是\(0\)。當\(a<0\)時，拋物線開口向下，頂點\((h,0)\)是圖象的最高點，所以當\(x=h\)時，函數(shù)有最大值，最大值為\(0\)。例如，\(y=-(x-3)?2\)的最大值是\(0\)。結合圖象說明最值與\(a\)、\(h\)的關系。增減性：增減性由\(a\)的符號和對稱軸\(x=h\)共同決定，與\(h\)的具體數(shù)值無關。當\(a>0\)時，在對稱軸左側（即\(x<h\)時），\(y\)隨\(x\)的增大而減小；在對稱軸右側（即\(x>h\)時），\(y\)隨\(x\)的增大而增大。例如，\(y=(x-2)?2\)，當\(x<2\)時\(y\)隨\(x\)增大而減小，當\(x>2\)時\(y\)隨\(x\)增大而增大。當\(a<0\)時，在對稱軸左側（即\(x<h\)時），\(y\)隨\(x\)的增大而增大；在對稱軸右側（即\(x>h\)時），\(y\)隨\(x\)的增大而減小。例如，\(y=-(x-3)?2\)，當\(x<3\)時\(y\)隨\(x\)增大而增大，當\(x>3\)時\(y\)隨\(x\)增大而減小。結合具體函數(shù)圖象舉例說明增減性的變化規(guī)律?；脽羝?：例題解析——運用性質解決問題例題1：已知二次函數(shù)\(y=-3(x-4)?2\)，回答下列問題：它的圖象開口方向是怎樣的？圖象的對稱軸是什么？頂點坐標是多少？當\(x=4\)時，函數(shù)有最大值還是最小值？值是多少？該函數(shù)的圖象是由哪個函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移得到的？解題步驟：因為\(a=-3<0\)，所以圖象開口向下。對稱軸是直線\(x=4\)，頂點坐標是\((4,0)\)。由于\(a<0\)，當\(x=4\)時，函數(shù)有最大值，最大值是\(0\)。它的圖象是由\(y=-3x?2\)的圖象向右平移\(4\)個單位長度得到的。例題2：已知二次函數(shù)\(y=2(x+3)?2\)，若點\(A(-4,y_1)\)，\(B(-1,y_2)\)在該函數(shù)圖象上，比較\(y_1\)和\(y_2\)的大小。解題步驟：分別計算\(y_1\)和(y_2025-2026學年人教版數(shù)學九年級上冊授課教師：

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時間：

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22.1.3.2二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質第22章

二次函數(shù)aiTujmiaNg1.會用描點法畫二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象.2.能說出拋物線y=a(x-h)2與拋物線y=ax2的相互關系.3.能說出拋物線y=a(x-h)2的開口方向、對稱軸、頂點.1.說說二次函數(shù)y=ax2+k的圖象的特征.y=ax2+ka>0，k>0a>0，k<0a<0，k<0a<0，k>0圖象開口方向對稱軸頂點坐標增減性最值向上y軸（直線x=0）（0,k）當x<0時，y隨x增大而減??；當x>0時，y隨x增大而增大.x=0時，y最小值=k向下y軸（直線x=0）（0,k）當x<0時，y隨x增大而增大；當x>0時，y隨x增大而減小.x=0時，y最大值=k2.二次函數(shù)y=ax2+k與y=ax2的圖象有何關系？y=ax2頂點(0,0)y=ax2+k頂點(0,k)當k>0時，向上平移k個單位長度得到當k<0時，向下平移∣k∣個單位長度得到思考：二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象，能否也可以由函數(shù)y=ax2平移得到？同學們繼續(xù)觀察噴泉圖片.你又有哪些發(fā)現(xiàn)呢？在同一直角坐標系中，畫出二次函數(shù)y=x2與y=

(x-2)2的圖象.解：先列表：x…-3-2-1012345…y=x2…4.520.500.524.5812.5…y=(x-2)2…12.584.520.500.524.5…描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象.y=x2y=

(x-2)2y=

(x-2)2拋物線y=x2，y=

(x-2)2的開口方向、對稱軸和頂點各是什么？y=x2y=(x-2)2開口方向對稱軸頂點坐標y=x2向上y軸（0,0）向上直線x=2（2,0）思考：通過上述例子，函數(shù)y=a(x-h)2

(a>0)的性質是什么?探究：在同一直角坐標系中，畫出二次函數(shù)y=-x2，y=-

(x+1)2與y=-

(x-1)2的圖象，并分別指出它們的開口方向、對稱軸和頂點.解：先分別列表：x…-3-2-10123…y=-x2…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…x…-4-3-2-1012…y=-(x+1)2…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…x…-2-101234…y=-(x-1)2…-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5…為什么不將三個函數(shù)放在同一表中，而是單獨列出對應值表呢？y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象.y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2y=-x2y=-(x+1)2y=-(x-1)2開口方向對稱軸頂點坐標向下y軸（0,0）向下直線x=-1（-1,0）向下直線x=1（1,0）思考：通過上述例子，函數(shù)y=a(x-h)2

(a<0)的性質是什么?二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象和性質y=a(x-h)2a>0，h>0a>0，h<0a<0，h>0a<0，h<0圖象開口方向對稱軸頂點坐標增減性最值當x<h時，y隨x增大而減??；當x>h時，y隨x增大而增大.向上直線x=h（h,0）x=h時，y最小值=0當x<h時，y隨x增大而增大；當x>h時，y隨x增大而減小.向下直線x=h（h,0）x=h時，y最大值=0y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2思考：拋物線y=-(x+1)2，y=-(x-1)2與拋物線y=-x2有什么關系？①開口方向和大小相同；②頂點縱坐標相同；③對稱軸不同.思考：拋物線y=-(x+1)2，y=-(x-1)2與拋物線y=-x2有什么關系？y=-x2y=-

(x+1)2y=-

(x-1)2y=-x2y=-(x+1)2向左平移1個單位長度y=-x2y=-(x-1)2向右平移1個單位長度思考：拋物線y=a(x-h)2與拋物線y=ax2有什么關系？y=ax2對稱軸：y軸頂點(0,0)y=a(x-h)2對稱軸：x=h頂點(h,0)當h>0時，向右平移h個單位長度得到當h<0時，向左平移∣h∣個單位長度得到左右平移規(guī)律：括號內左加右減.練習在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數(shù)的圖像：y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2

.觀察三條拋物線的位置關系，并分別指出它們的開口方向，對稱軸和頂點.解：圖象如圖.yOxy=x2

2

-2y=(x-2)2y=(x+2)2

【教材P35練習】yOxy=x