§5.3平面向量的數(shù)量積分值：100分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·葫蘆島模擬)已知向量a，b滿足|a|=1，a·b=1，則a·(ab)的值為()A.4 B.3 C.2 D.02.(2025·西安模擬)平面向量a與b的夾角為120°，|a|=2，|b|=3，則|a2b|等于()A.28 B.52 C.27 D.2133.長(zhǎng)江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h，水流的速度v2的大小|v2|=6km/h，如圖，設(shè)v1和v2所成的角為θ(0<θ<π)，若游船從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則cosθ等于()A.25B.B.35 C.44.(2025·鞍山模擬)已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，向量a在向量b上的投影向量是2b，則a與b夾角的余弦值為()A.23 B.26 C.25.(2024·呼倫貝爾模擬)在△ABC中，AB⊥AC，CD=(21)BC，AC·AD=62，則AC等于(A.6 B.6 C.23 D.326.在△ABC中，設(shè)|AC|2|AB|2=2AM·(ACAB)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的()A.垂心 B.內(nèi)心 C.重心 D.外心二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.下列關(guān)于向量a，b，c的運(yùn)算，一定成立的是()A.(a+b)·c=a·c+b·cB.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·b≤|a||b|D.|ab|≤|a|+|b|8.已知向量a=(2，1)，b=(1，t)，則下列說(shuō)法正確的是()A.若a∥b，則t的值為2B.|a+b|的最小值為1C.若|a+b|=|ab|，則t的值為2D.若a與b的夾角為鈍角，則t的取值范圍是-∞，三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·西安模擬)已知單位向量e1⊥e2，向量a=λe12e2，b=2e1+e2，若a⊥b，則實(shí)數(shù)λ=.

10.(2025·汕頭模擬)已知△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且滿足4OC=2OA3OB，則cos∠AOB=，AB·OA=.

四、解答題(共26分)11.(12分)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，E是BC邊的中點(diǎn)(1)試用AB，AD表示AE，BC；(2)求DB·AE的值.(6分)12.(14分)如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AE=λAD，BC=2AB=2AD=2.(1)若BE⊥AC，求實(shí)數(shù)λ的值；(7分)(2)若λ=23，求AC與BE的夾角θ的余弦值.(7分13，14題每小題6分，15，16題每小題5分，共22分13.(多選)(2024·廣州模擬)已知向量a，b不共線，向量a+b平分a與b的夾角，則下列結(jié)論一定正確的是()A.a·b=0 B.(a+b)⊥(ab)C.向量a，b在a+b上的投影向量相等 D.|a+b|=|ab|14.(多選)已知向量a=(3，1)，b=(cosθ，sinθ)，則下列說(shuō)法正確的是()A.存在θ∈0，π2，使得B.存在θ∈0，π2，使得C.對(duì)于任意θ∈0，π2，a·b∈(1D.對(duì)于任意θ∈0，π2，|ab|∈［115.(2024·撫州模擬)定義：|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ為向量a與b的夾角，若|a|=2，|b|=5，a·b=8，則|a×b|=.

16.如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足AM=12(AB+AF)，則|AM|=；若點(diǎn)P是線段EC上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，則AP·DP的最小值是答案精析1.C2.D3.B4.C5.A[由AB⊥AC，得AB·AC=0，由CD=BDBC=(21)BC得BD=2BC由AC·AD=AC·(AB+BD)=AC·BD=2AC·BC=2AC·(AC=2|AC所以|AC|=6，即AC=6.6.D[設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D，則AB+AC=2AD因?yàn)閨AC|2|AB|2=2AM·(ACAB)，所以(AC+AB)·(ACAB)=2AM·BC即2AD·BC=2AM·BC即BC·(AMAD)=0，當(dāng)AM=AD時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)D重合；當(dāng)AM≠AD時(shí)，BC·DM=0即DM⊥BC，所以DM垂直且平分線段BC，因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是BC的垂直平分線，必通過(guò)△ABC的外心.]7.ACD[根據(jù)數(shù)量積的分配律可知A正確；B中，左邊為c的共線向量，右邊為a的共線向量，故B不正確；C中，根據(jù)數(shù)量積的定義可知a·b=|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正確；D中，|ab|2(|a|+|b|)2=2a·b2|a||b|≤0，故|ab|2≤(|a|+|b|)2，即|ab|≤|a|+|b|，故D正確.]8.BCD[選項(xiàng)A，a∥b?2·t=1·1?t=12，選項(xiàng)B，|a+b|=|(1，t+1)|=(t+1)2+1≥1，當(dāng)且僅當(dāng)t選項(xiàng)C，方法一|ab|=|(3，1t)|=(-t+1)2+9，根據(jù)(-t+1方法二因?yàn)閨a+b|=|ab|，則a·b=0，所以a·b=2+t=0，解得t=2，C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，a與b的夾角為鈍角，則a·b=t2<0，且兩個(gè)向量不能反向共線，注意到A選項(xiàng)，當(dāng)t=12時(shí)，a=2b，于是t<2且t≠12，D9.110.14解析由4OC=2OA3OB兩邊平方得16OC2=4OA2+9OB2+12依題意，16=4+9+12cos∠AOB，所以cos∠AOB=1AB·OA=(OBOA)·OA=OB·OAOA2=cos∠AOB1=311.解(1)AC=AD+DC=AD+1AE=12(AB=1=34ABBC=ACAB=AD+12=AD12(2)由題意可知，|AD|=12(|ABDB=ABAD所以DB·AE=(ABAD)·3=34|AB|=34|AB|212|AD|214|AB||AD|·cosπ3=34×412.解(1)分別以BC，BA的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，點(diǎn)所以A(0，1)，C(2，0)，D(1，1)，E(λ，1)，所以AC=(2，1)，BE=(λ，1)因?yàn)锽E⊥AC所以BE·AC=2λ1=0，所以λ=12(2)當(dāng)λ=23時(shí)，|AC|=22+12=5，因?yàn)锽E·AC=2λ1=1所以cosθ=BE·AC|BE||13.BC[如圖，作向量OA=a，OB=b，在?OACB中，OC=a+b，BA=由向量a+b平分a與b的夾角，得?OACB是菱形，即|a|=|b|.對(duì)于A，a與b不一定垂直，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，(a+b)·(ab)=a2b2=0，即(a+b)⊥(ab)，B正確；對(duì)于C，a在a+b上的投影向量為a·(a+b)|a+b|2(a+b)=a2+a·b|a+b|2(a+b)，b在a+b上的投影向量為對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，a·b不一定為0，則|a+b|與|ab|不一定相等，D錯(cuò)誤.]14.BCD[對(duì)于A，a·b=3cosθ+sinθ=2sinθ+π3，若a⊥b，則2sinθ+π3=0，因?yàn)棣取蕦?duì)于B，若a∥b，則3sinθcosθ=0，即tanθ=33因?yàn)棣取?，π2，所以θ=π對(duì)于C，a·b=2sinθ+因?yàn)棣取?，π2，所以θ+π則sinθ+π3所以a·b=2sinθ+π3∈(1，2對(duì)于D，|ab|=(3-cosθ因?yàn)棣取?，π2，則θπ所以cosθ-π6則|ab|∈［1，3)，故D正確.]15.6解析設(shè)向量a與b的夾角為θ∈[0，π]，則cosθ=a·b|a因?yàn)棣取蔥0，π]，可得sinθ=1-cos2故|a×b|=|a||b|sinθ=