§10.1計(jì)數(shù)原理與排列組合課標(biāo)要求1.理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念.3.能利用計(jì)數(shù)原理、排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.2.排列與組合的概念名稱(chēng)定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照排成一列

組合作為一組3.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有的個(gè)數(shù)，用符號(hào)表示.(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有的個(gè)數(shù)，用符號(hào)表示.4.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Anm==(n，m∈N*，且m≤n(2)Cnm=AnmAmm=(n，m∈N性質(zhì)(1)0！=；Ann=(2)Cn0=1；Cnm=Cn1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同.()(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.()(3)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()(4)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.()2.從6名班委中選出2人分別擔(dān)任正、副班長(zhǎng)，一共有種選法()

A.11 B.12 C.30 D.363.(多選)下列結(jié)論正確的是()A.3×4×5=A53 B.C52C.若C10x=C102x-2，則x=3 D.C74.由于用具簡(jiǎn)單，趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動(dòng).某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動(dòng)，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，則能順帶吃掉“炮”的可能路線有條.1.元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無(wú)關(guān)的為組合.2.(1)排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系為CnmA(2)排列數(shù)與組合數(shù)公式的兩種形式分別為：①連乘積形式；②階乘形式.前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于含有字母的排列數(shù)與組合數(shù)式子的變形與論證.3.解有條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類(lèi))和間接法(排除法).分類(lèi)時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.4.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組，再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.題型一計(jì)數(shù)原理例1(1)用3種不同顏色給如圖所示的五個(gè)圓環(huán)涂色，要求相交的兩個(gè)圓環(huán)不能涂相同的顏色，共有種不同的涂色方案()

A.243 B.32C.48 D.1280(2)如圖，在某海岸P的附近有三個(gè)島嶼Q，R，S，計(jì)劃建立三座獨(dú)立大橋，將這四個(gè)地方連起來(lái)，每座橋直線連接兩個(gè)地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接方式有()A.24種 B.20種C.16種 D.12種思維升華完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟(1)審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.(2)分析完成這件事應(yīng)采用分類(lèi)、分步、先分類(lèi)后分步、先分步后分類(lèi)這四種方法中的哪一種.(3)弄清在每一類(lèi)或每一步中的方法種數(shù).(4)根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù).跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·成都模擬)某高中運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)有8個(gè)項(xiàng)目，甲、乙兩名學(xué)生每人隨機(jī)選取3個(gè)項(xiàng)目報(bào)名參加，則至少選中2個(gè)相同項(xiàng)目的報(bào)名方法有()A.420種 B.840種C.476種 D.896種(2)如圖，某種雨傘架前后兩排共8個(gè)孔，編號(hào)分別為1~8號(hào).若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)要放傘，每個(gè)孔最多放一把傘，則甲放在奇數(shù)孔，乙放在偶數(shù)孔，且丙、丁沒(méi)有放在同一排的放法有()A.68種 B.136種C.272種 D.544種題型二排列、組合問(wèn)題例2(1)甲、乙兩名同學(xué)從生物、地理、政治、化學(xué)中各選兩門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，若甲、乙不能同時(shí)選生物，則甲、乙總的選法有()A.27種 B.18種C.36種 D.48種(2)某單位開(kāi)展聯(lián)歡活動(dòng)，抽獎(jiǎng)項(xiàng)目設(shè)置了特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)和鼓勵(lì)獎(jiǎng)共五種獎(jiǎng)項(xiàng).甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎(jiǎng)票，開(kāi)獎(jiǎng)后發(fā)現(xiàn)這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同.甲說(shuō)：“我不是鼓勵(lì)獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“我不是特等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我的獎(jiǎng)項(xiàng)介于丁和戊之間”.根據(jù)以上信息，這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是()A.15 B.18C.22 D.26思維升華排列問(wèn)題和組合問(wèn)題的區(qū)分方法(1)排列問(wèn)題：若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問(wèn)題，即排列問(wèn)題與選取的順序有關(guān).(2)組合問(wèn)題：若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，則是組合問(wèn)題，即組合問(wèn)題與選取的順序無(wú)關(guān).跟蹤訓(xùn)練2(1)(2025·德陽(yáng)模擬)甲、乙等6名數(shù)學(xué)競(jìng)賽國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)隊(duì)員站成一排合影，若甲、乙兩名同學(xué)中間恰有1人，則不同的站法數(shù)為()A.144 B.192 C.360 D.480(2)某學(xué)校開(kāi)展學(xué)雷鋒主題活動(dòng)，某班級(jí)5名女生和2名男生，分配成兩個(gè)小組去兩地參加志愿者活動(dòng)，每小組均要求既要有女生又要有男生，則兩個(gè)小組不同的分配方案有()A.20種 B.40種 C.60種 D.80種題型三排列、組合的綜合問(wèn)題命題點(diǎn)1相鄰、相間問(wèn)題例3(多選)某產(chǎn)品的加工過(guò)程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，現(xiàn)將5道工序按不同的順序安排流程，則下列說(shuō)法正確的是()A.如果甲工序不能放在第一道，共有96種加工順序B.如果甲、乙兩道工序必須相鄰，共有12種加工順序C.如果甲、丙兩道工序必須不相鄰，共有72種加工順序D.如果乙、丙兩道工序必須乙在前，丙在后，共有40種加工順序命題點(diǎn)2定序問(wèn)題例4花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法種數(shù)為.命題點(diǎn)3分組、分配問(wèn)題例5第41屆全國(guó)青少年信息學(xué)奧林匹克競(jìng)賽于2024年7月16~22日在重慶市育才中學(xué)成功舉辦.在本次競(jìng)賽組織過(guò)程中，有甲、乙等5名新教師參加了接待、咨詢(xún)、向?qū)齻€(gè)志愿者服務(wù)項(xiàng)目，每名新教師只參加一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，每個(gè)服務(wù)項(xiàng)目至少有一名新教師參加.若5名新教師中的甲、乙兩人不參加同一個(gè)服務(wù)項(xiàng)目，則不同的安排方案有()A.108種 B.114種C.150種 D.240種思維升華求解排列組合問(wèn)題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)于不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練3(1)8名同學(xué)以2人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，則所有可能的分組方案數(shù)量是()A.28 B.2520 C.105 D.128(2)(多選)(2024·揭陽(yáng)模擬)身高各不相同的六位同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，則說(shuō)法正確的是()A.A，C，D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B.A與C同學(xué)不相鄰，共有A4C.A，C，D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D.A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法遞推數(shù)列在計(jì)數(shù)原理中的應(yīng)用在計(jì)數(shù)原理中，當(dāng)計(jì)數(shù)的基數(shù)較大時(shí)，用枚舉法會(huì)顯得非常困難.如果問(wèn)題帶有明顯的遞推特征，把此類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題的基數(shù)從有限個(gè)且數(shù)目很少推廣到n個(gè)，運(yùn)用數(shù)列知識(shí)建立遞推關(guān)系，經(jīng)過(guò)推廣就可以解決這類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題.典例(1)有A1，A2，…，A6共六個(gè)人，他們的座位分別為B1，B2，…，B6，現(xiàn)在求每一個(gè)人坐一個(gè)座位，且都不坐自己座位，則共有種不同的坐法()A.9 B.16C.44 D.265(2)如圖，一個(gè)環(huán)形的大會(huì)場(chǎng)被分成了n個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有k種不同顏色的服裝提供給n個(gè)區(qū)域的觀眾，要求同一區(qū)域的觀眾著裝顏色相同，且相鄰區(qū)域的觀眾著裝顏色不同.當(dāng)k＝5，n＝6時(shí)，共有種不同的著裝方法.

答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.(1)m+n(2)m×n2.一定的順序3.(1)不同排列Anm(2)4.n(n-1)(n-2)…(n-m+1)n！(n-m)！n！自主診斷1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.C3.AD4.6探究核心題型例1(1)C[從左到右依次涂色，第一個(gè)圓環(huán)可以涂3種顏色，第二、三、四、五個(gè)圓環(huán)各可以涂2種顏色，共有3×2×2×2×2=48(種)不同的涂色方案.](2)D[可分為兩類(lèi)：第一類(lèi)：從一個(gè)地方出發(fā)向其他三個(gè)地方各建一座橋，共有4種不同的連接方式；第二類(lèi)：一個(gè)地方最多建兩座橋，其中建橋連接方式：P-S-R-Q和Q-R-S-P屬于相同的建橋方法，所以共有12×A44=12(種)不同的連接方式，其中交叉建橋方法，例如P-R-S-Q，P-R-Q-S，R-P-S-Q，R-P-Q所以第二類(lèi)建橋方法共有12-4=8(種)不同的連接方式.綜上可得，不同的連接方式有4+8=12(種).]跟蹤訓(xùn)練1(1)D[由題意可知，可以分兩種情況：第一種情況：所選取的3個(gè)項(xiàng)目中恰有2個(gè)相同項(xiàng)目，第一步，在8個(gè)項(xiàng)目中選取2個(gè)，共有C82=28(種第二步，甲在剩下的6個(gè)項(xiàng)目中選取1個(gè)，共有C61=6(種第三步，乙在剩下的5個(gè)項(xiàng)目中選取1個(gè)，共有C51=5(種由分步乘法計(jì)算原理可知，共有28×6×5=840(種)；第二種情況：所選取的3個(gè)項(xiàng)目全部相同，則有C83=56(種由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，滿足要求的報(bào)名方法一共有840+56=896(種).](2)C[根據(jù)題意，分2種情況討論：①甲乙放在同一排，有C21C21②甲乙不放在同一排，有C21C21則有128+144=272(種)不同的放法.]例2(1)A[當(dāng)甲選生物，乙不選生物時(shí)，甲、乙的選法有C31C32=9(種)；當(dāng)甲不選生物，乙隨便選時(shí)，甲、乙的選法有C32C42=18(2)D[甲是特等獎(jiǎng)，不考慮丙的獎(jiǎng)項(xiàng)有A44種；甲不是特等獎(jiǎng)，不考慮丙的獎(jiǎng)項(xiàng)有C31C31A33種；而丙獎(jiǎng)項(xiàng)在丁和戊之間的情況占1跟蹤訓(xùn)練2(1)B[根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在其他4人中，選出1人，安排在甲、乙中間，有C41A22②將3人看成一個(gè)整體，與其余3人全排列，有A44=24(種)則有8×24=192(種)不同的站法.](2)C[由題意可知兩名男生必須分開(kāi)在兩組，則有1女1男為一組，余下的人為一組；2女1男為一組，余下的人為一組；3女1男為一組，余下的人為一組；4女1男為一組，余下的人為一組；所以?xún)蓚€(gè)小組不同的分配方法有C21(C51+C52+C5例3AC[如果甲工序不能放在第一道，則甲有4種安排方式，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有C41A44=4×4×3×2×1=96(甲、乙兩道工序相鄰，將甲和乙捆綁為一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，則共有A22A44=2×4×3×2×1=48(如果甲、丙兩道工序不能相鄰，則先安排剩余3道工序，在形成的4個(gè)空中，安排甲、丙，故共有A33A42=3×2×1×4×3=72(現(xiàn)將5道不同的工序全排列，再除以乙、丙兩道工序的全排列，故共有A55A22=5×4×3×2×12×1=60(種例490解析由題意，取下6盞不同的花燈，先對(duì)6盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有A6因?yàn)槊看沃蝗∫槐K花燈，而且只能從下往上取，所以必須除去不符合題意的排列順序，即先取上方的順序，故不同取法種數(shù)為A66例5B[5名新教師按3∶1∶1分組有C53種方法，按2∶2∶1分組有C52C32A22種分法，因此5名新教師的安排方案有C53+C52C32A跟蹤訓(xùn)練3(1)C[由題意8名同學(xué)以2人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，則所有可能的分組方案數(shù)量是C82C62(2)ABD[將A，C，D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有A66A33=120(先排B，D，E，F(xiàn)，共有A44種站法，A與C同學(xué)插空站，有A52種站法，故共有將A，C，D三位同學(xué)捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種站法，捆綁后有A44種站法，故共有2×A44=48(種當(dāng)A在排尾，B隨意站時(shí)，則有A55=120(種)站法；當(dāng)A不在排頭也不在排尾時(shí)，有A41種站法，B有A41種站法，剩下的同學(xué)隨意站有A44種站法，共有A41A41A44=384(微拓展典例(1)D[記n個(gè)人坐位子且自己不坐自己的座位的方法數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，易得a2=1，a3=2，當(dāng)n≥4時(shí)，首先，讓A1選位，A1不選B1，則共有n-1種坐法，不妨設(shè)A1選了Bk(k≠1)，然后再讓Ak選位，①當(dāng)Ak選B1時(shí)，則余下n-2個(gè)人和n-2個(gè)座位，共有an-2種坐法；②當(dāng)Ak不選B1時(shí)，則余下n-1個(gè)人都有一個(gè)不能選的座位，則共有an-1種坐法，所以an=(n-1)(an-2+an-1)，所以a4=3(a2+a3)=9，a5=4(a3+a4)=44，a6=5(a4+a5)=265.](2)4100解析設(shè)提供k種顏色來(lái)給