§10.2二項(xiàng)式定理課標(biāo)要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a+b)n=(n∈N*)

二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=，它表示展開(kāi)式的第項(xiàng)

二項(xiàng)式系數(shù)(k=0，1，…，n)

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù).(2)增減性與最大值：①當(dāng)k<n+12時(shí)，Cnk隨k的增加而；由對(duì)稱性知，當(dāng)k>n+12時(shí)，②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a+b)n的展開(kāi)式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn0+Cn1+Cn2+1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)Cnkan-kbk是(a+b)n的展開(kāi)式中的第k項(xiàng).((2)(a+b)n的展開(kāi)式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān).()(3)二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)就是二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng).()(4)二項(xiàng)展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的.()2.2x-13A.112 B.56 C.-56 D.-1123.若x+3x2n展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則A.9 B.10 C.11 D.124.在二項(xiàng)式x2-2xn1.二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是第k+1項(xiàng).2.牢記一個(gè)注意點(diǎn)：(a+b)n與(b+a)n雖然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，所以公式中的第一個(gè)量a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒.3.理清二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1形如(a+b)n(n∈N*)的展開(kāi)式的特定項(xiàng)例1(1)(多選)關(guān)于x2-2xA.展開(kāi)式中含1x3B.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等C.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)D.展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共三項(xiàng)(2)已知二項(xiàng)式ax+13x9(a>0)的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為84A.1 B.14 C.2 D.命題點(diǎn)2形如(a+b)m(c+d)n(m，n∈N*)的展開(kāi)式問(wèn)題例2(1)(2024·西安模擬)(2x3-2)1x-28的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為A.-288 B.-312 C.480 D.736(2)已知(ax-1)(2x+1)6的展開(kāi)式中x5的系數(shù)為48，則實(shí)數(shù)a等于()A.2 B.1 C.-1 D.-2思維升華(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式中的問(wèn)題，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k+1，代回通項(xiàng)即可.(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的問(wèn)題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)已知x2-1xn的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶A.n=10B.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為45C.含x5的項(xiàng)的系數(shù)為210D.展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)(2)若x+mxx-1x5A.-2 B.-3 C.2 D.3題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問(wèn)題命題點(diǎn)1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3(1)(多選)已知(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，下列說(shuō)法正確的是()A.n=8B.a0=1C.a3=-160D.|a1|+|a2|+…+|an|=36-1(2)(多選)已知(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024+a2025x2025，則()A.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為1B.展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1C.a12+a222+a32D.a1+2a2+3a3+…+2024a2024+2025a2025=-4050命題點(diǎn)2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值例4(多選)關(guān)于2x-1xA.二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2C.第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.系數(shù)的最大值為240思維升華(1)賦值法的應(yīng)用令g(x)=(a+bx)n，則(a+bx)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a+bx)n的展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)+g(-1)]，(a+bx)n的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)-g(-1(2)二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)的求法設(shè)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An+1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用Ak≥跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)(2025·臨沂模擬)在1x-2x4A.常數(shù)項(xiàng)是24B.所有項(xiàng)的系數(shù)的和為1C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.第4項(xiàng)的系數(shù)最大(2)(多選)已知(2x-5)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a9(x-2)9，則下列結(jié)論成立的是()A.a0+a1+…+a9=1B.28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8=256C.a0-a1+a2-a3+…-a9=39D.a1+2a2+3a3+…+9a9=18題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5(1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512025+a能被13整除，則a等于()A.0 B.1C.11 D.12(2)用二項(xiàng)式定理估算1.0110=.(精確到0.001)

思維升華二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問(wèn)題或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開(kāi)后的每一項(xiàng)都含有除式(數(shù))的因式.(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1+x)n≈1+nx.跟蹤訓(xùn)練3(多選)下列說(shuō)法正確的是()A.若(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，則|a0|+|a1|+…+|a6|=729B.若3n+3n-1Cn1+3n-2Cn2+…+Cnn=218，則CnC.0.988精確到0.01的近似值為0.85D.22024除以15的余數(shù)為3答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+CnnbnCnka2.(1)相等(2)①增大減?、贑nn2Cnn自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.A3.D4.-1探究核心題型例1(1)AD[二項(xiàng)式x2-2x9展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=C9k(x2)9-k-2xk=(-2)kC9kx18-3k，k∈N，k≤9.由18-3k=-3，即k展開(kāi)式共10項(xiàng)，則第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，B正確；由18-3k=0，即k=6，得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，C正確；由18-3k為整數(shù)，k∈N，k≤9可知有理項(xiàng)共有10項(xiàng)，D錯(cuò)誤.](2)A[展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk+1=C9k(ax)9-k13xk=C9ka9-kx9-k2·x-k3=C9ka9-kx92-5k6(k=0，1，2，…，∴a=1.]例2(1)A[因?yàn)?x-28的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=C8k1x8-k(-2)k(0≤所以(2x3-2)1x-28的展開(kāi)式的項(xiàng)為2x3C8k1x8-k(-2)k(0≤k≤8，k∈N)或-2C8k1x8-k(當(dāng)k=2時(shí)，2x3C8k1x=2x3C82x-3(-2)2當(dāng)k=8時(shí)，-2C8k1x=-2C88(-2)8所以(2x3-2)1x-28的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為(2)B[二項(xiàng)式(2x+1)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1=C6k(2x)6-k·1k=C6k·26-k(ax-1)(2x+1)6=ax(2x+1)6-(2x+1)6的展開(kāi)式中，x5的系數(shù)為aC62·24-C61·25=15×16a-6×32=48，解得跟蹤訓(xùn)練1(1)ABC[二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk+1=Cnkx2n-2k(-1)=(-1)kC由于第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶14，則Cn2故n(n得n2-5n-50=0，解得n=10(負(fù)值舍去)，故A正確；則Tk+1=(-1)kC令20-5k2=0，解得k則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(-1)8C108=45，故令20-5k2=5，解得k則含x5的項(xiàng)的系數(shù)為(-1)6C106=210，故令20-5k2∈Z，則此時(shí)k=0，2，4，6，8，10，故有6項(xiàng)為有理項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.](2)D[x=xx-1x-1x5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk+1=C5kx5-k-1xk=令5-2k=-1，解得k=3，則xx-1x5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為令5-2k=1，解得k=2，則mxx-1x5因?yàn)閤+mxx-1x5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是20，所以例3(1)BCD[因?yàn)檎归_(kāi)式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以2n=64，解得n=6，故A錯(cuò)誤；已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，令x=0，可得a0=1，故B正確；因?yàn)?1-2x)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(-2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a3x3=C63×(-2x)3=-160x3，所以a3由展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk+1=C6k(-2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a1，a3，a5<0，a0，a2，a4，a6>0，所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-…+a6，令x=-1，可得a0-a1+a2-…+a6=36，所以|a1|+|a2|+…+|an|=36-1，故D正確(2)BCD[二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為22025，故A錯(cuò)誤；令x=1，可得(1-2)2025=a0+a1+a2+…+a2024+a2025=-1，即展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為-1，故B正確；令x=0，可得a0=1，令x=12，可得1-2×122025=a0+a12+a222+…+a202422024+a202522025=0將等式(1-2x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024+a2025x2025兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，2025×(-2)×(1-2x)2024=a1+2a2x+3a3x2+…+2024a2024x2023+2025a2025x2024，再令x=1，可得a1+2a2+3a3+…+2024a2024+2025a2025=-4050，故D正確.]例4AD[由二項(xiàng)式系數(shù)和公式知2x-1x6的二項(xiàng)式系數(shù)和為2令x=1，則2x-1x6的展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為易知2x-1x62x-1x6的展開(kāi)式通項(xiàng)為Tk+1=C6k(2x)6-k·(-x-1)k=26-kC6k·(-1)k·x6-2k，k=0記f(k)=26-kC6k·(-1)k，顯然k取偶數(shù)時(shí)各項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，f(0)=26=64，f(2)=16×15=240，f(4)=4×15=60，f(6)=1，可知系數(shù)的最大值為240，故D正確跟蹤訓(xùn)練2(1)ABC[依題意，1x-2x4=1x4-8常數(shù)項(xiàng)是24，A正確；當(dāng)x=1時(shí)，所有項(xiàng)系數(shù)的和為(1-2×1)4=1，B正確；1x-2x4的展開(kāi)式共5項(xiàng)，所以第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)展開(kāi)式第4項(xiàng)的系數(shù)為-32，最小，D錯(cuò)誤.](2)AD[設(shè)x-2=t，原式為(2t-1)9=a0+a1t+a2t2+a3t3+…+a9t9，令t=1，a0+a1+…+a9=1，故A正確；令t=12，則(1-1)9=a0+a12+a222+a323+…+a929，等式兩邊同乘28得0=28a0+27a1+26a2+25a3+…+a8+a92，又a9=29，所以28a0+27a1+26a2令t=-1，則(-3)9=a0-a1+a2-a3+…-a9，a0-a1+a2-a3+…-a9=-39，故C錯(cuò)誤；兩邊同時(shí)求導(dǎo)得18(2t-1)8=a1+2a2t+3a3t2+…+9a9t8，再令t=1，a1+2a2+3a3+…+9a9=18，故D正確.]例5(1)B[因?yàn)閍∈Z，且0≤a≤13，所以512025+a=(52-1)2025+a=C20250·522025-C20251·522024+C20252·522023-…+C因?yàn)?12025+a能被13整除，所以-C20252025+a=-1+a能被又0≤a≤13，所以a=1.](2)1.105解析1.0110=(1+0.01)10=1+C101×0.01+C102×0.012+C103×0.013+…≈1+0.1+0.0045=1.跟蹤訓(xùn)練3AC[在(x-2)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6中，令x=-1，則|a0|+|a1|+…+|a6|=(-3)6=729，故A正確；因?yàn)?n+3n-1Cn1+3n-2Cn2+…+Cnn=(3+1)n=4n=22n=218，所以n=9，所以Cn1+Cn