§4.1任意角和弧度制、三角函數的概念課標要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.1.角的概念定義角可以看成一條射線繞著它的旋轉所成的圖形分類(1)按旋轉方向分為、和；

(2)按終邊位置分為和軸線角

相反角把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為-α終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是{β|β=α+k·360°，k∈Z}或

2.弧度制的定義及公式定義長度等于的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作1rad弧度數公式|α|=(弧長用l表示，半徑用r表示)角度與弧度的換算1°=π180rad；1rad=≈57.弧長公式弧長l=

扇形面積公式S==

3.任意角的三角函數(1)定義：設α是一個任意角，α∈R，以它的頂點為原點，以它的始邊為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y=sinα，x=cosα，yx=tanα(x≠0)(2)三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖.(3)定義的推廣設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sinα=，cosα=，tanα=(x≠0).

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)小于90°的角是銳角.()(2)第四象限的角一定是負角.()(3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.()(4)角α的三角函數值與其終邊上點P的位置有關.()2.角-863°的終邊所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.一鐘表的秒針長12cm，經過25s，秒針的端點所走的路線長為()A.20cm B.14cm C.10πcm D.8πcm4.已知角α的終邊上有一點P(1，-2)，則sinα-cosα的值為.

1.熟記以下常用結論(1)軸線角(2)若角α∈0，π2，則sinα<α(3)α所在象限與α2α所在象限一二三四α2一、三一、三二、四二、四2.謹防三個易誤點(1)角度與弧度換算的關鍵是πrad=180°，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用；(2)利用表中的扇形弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(3)已知三角函數值的符號確定角的終邊位置，不要遺漏終邊在坐標軸上的情況.題型一角及其表示例1(1)(2025·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A.-α是第一象限角B.α2C.3π2+αD.2α是第三或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上(2)如圖所示，終邊落在陰影部分內的角α的取值集合為.

思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數k(k∈Z)賦值來求得所需的角.(2)確定kα，αk(k∈N*)的終邊位置的方法是先寫出kα或αk的范圍，然后根據k的可能取值確定kα或α跟蹤訓練1(1)(多選)下列四個命題中正確的是()A.-3π4B.4π3C.-400°是第四象限角D.-315°是第一象限角(2)已知α為第三象限角，則α2是第象限角，2α是的角題型二弧度制及其應用例2(1)《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子在擲鐵餅過程中最具有表現力的瞬間.現在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長約為π4米，整個肩寬約為π8米.“弓”所在圓的半徑約為1.25米.則擲鐵餅者雙手之間的距離約為(參考數據：2≈1.414，3≈1.732)(A.1.612米 B.1.768米C.1.868米 D.2.045米(2)已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.①若α=π3，R=10cm，求扇形的弧長l②若扇形的周長是20cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？③若α=π3，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積思維升華應用弧度制解決問題的思路(1)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為利用二次函數或基本不等式求最值問題.(2)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.跟蹤訓練2(1)(2024·杭州模擬)半徑為2的圓上長度為4的圓弧所對的圓心角是()A.1rad B.2rad C.4rad D.6rad(2)玉雕在我國歷史悠久，擁有深厚的文化底蘊，數千年來始終以其獨特的內涵與魅力深深吸引著世人.某扇形玉雕壁畫尺寸(單位：cm)如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積為()A.1600cm2 B.3200cm2C.3350cm2 D.4800cm2題型三三角函數的概念例3(1)若角α滿足sinα·cosα<0，cosα-sinα<0，則α是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)(2025·深圳模擬)若角α的終邊過點(4，3)，則sinα+π2等于A.45 B.-45 C.35 D思維升華(1)利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標，可以求出α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出其終邊與單位圓交點P的坐標.(2)已知一角的三角函數值(sinα，cosα，tanα)中任意兩個的符號，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置.跟蹤訓練3(1)已知點P-12，32在角θ的終邊上，且θ∈[0，2π)，則角A.π3 B.2π3 C.5π3(2)已知角α的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，若點P(sinα，tanα)在第四象限，則角α的終邊在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案精析落實主干知識1.端點正角負角零角象限角{β|β=α+2kπ，k∈Z}2.半徑長lr180π°|α12lr12|α|3.(3)yrxr自主診斷1.(1)×(2)×(3)√(4)×2.C3.C4.-3探究核心題型例1(1)D[因為α是第二象限角，可得π2+2kπ<α<π+2kπ，k∈Z，對于A，可得-π-2kπ<-α<-π2-2kπ，k∈Z，此時-α的終邊在第三象限，所以-α是第三象限角，A錯誤；對于B，可得π4+kπ<α2<π2+kπ，k∈Z，當k為偶數時，α2的終邊在第一象限；當k為奇數時，α2的終邊在第三象限，所以α2是第一或第三象限角，B錯誤；對于C，可得2π+2kπ<3π2+α<5π2+2kπ，k∈Z，即2(k+1)π<3π2+α<π2+2(k+1)π，k∈Z，所以3π2+α的終邊在第一象限，所以3π2+α是第一象限角，C錯誤；對于D，可得π+4kπ<2α<2π+4kπ(2)α解析方法一由于終邊在y=-x(x≤0)上的角的集合為ββ=3π4+2kπ，k∈Z，由于終邊在x軸非正半軸上的角的集合為{γ|γ=π+2k方法二在[0，2π)內，終邊落在陰影部分內的角α的集合為3π4，πα3π跟蹤訓練1(1)BCD[-3π4是第三象限角，故A錯誤；4π3=π+π3，所以4π3是第三象限角，故B正確；-400°=-360°-40°，所以-400°是第四象限角，故C正確；-315°=-360°+45°，所以-315°是第一象限角，故(2)二或四終邊落在第一或第二象限或y軸非負半軸上解析∵α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2，k∈Z，∴kπ+π2<α2<kπ+3π4，k∈Z，4kπ+2π<2α<4kπ+3π，k∈Z.當k為偶數時，α2為第二象限角；當k為奇數時，α2為第四象限角，而例2(1)B[由題意得，“弓”所在的弧長l=π4+π4+π8=5π8(米)，所在圓的半徑R=1.25=54(米)，所以其所對的圓心角α=lR=5π854=π2，所以雙手之間的距離d=R2+R(2)解①因為α=π3，R=10cm所以l=|α|R=π3×10=10π3(cm②由已知，得l+2R=20，所以S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2所以當R=5cm時，S取得最大值，此時l=10cm，α=lR=2rad③設弓形面積為S弓形，方法一由題意知l=2π3cm所以S弓形=12×2π3×2-12×22×sinπ3=2π3-3方法二S弓形=12×π3×22-12×22×sinπ3=2π3-3跟蹤訓練2(1)B[半徑為2的圓上長度為4的圓弧所對的圓心角是42=2rad.(2)D[由題意知該扇形玉雕壁畫可看作由一個大扇形剪去一個小扇形所得，設大、小扇形所在圓的半徑分別為r1，r2，相同的圓心角為θ，則θ=160r1=80r2，得r1又因為r1-r2=40，所以r1=80，r2=40，該扇形玉雕壁畫的扇面面積S=12×160×r1-12×80×=12×160×80-12×80=4800(cm2).]例3(1)B[因為sinα·cosα<0，所以α是第二或第四象限角；當α是第二象限角時，cosα<0，sinα>0，滿足cosα-sinα<0；當α是第四象限角時，cosα>0，si