§10.6二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知隨機(jī)變量ξ~B6，23，則P(ξ=2)等于A.1243 B.13243 C.202.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(X≤5)=0.55，則P(X<1)等于()A.0.45 B.0.55 C.0.1 D.0.93.數(shù)學(xué)老師從6道題中隨機(jī)抽3道檢測學(xué)生，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格.某學(xué)生只能正確求解其中的4道題，則該學(xué)生能及格的概率為()A.45 B.23 C.34.數(shù)軸上一個質(zhì)點在隨機(jī)外力的作用下，從原點O出發(fā)，每隔1秒向左或向右移動一個單位，已知向右移動的概率為25，向左移動的概率為35，共移動8次，則質(zhì)點位于-2的位置的概率是(A.254C.C835.從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，抽到的女生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為()A.32 B.65 C.6.泊松分布是一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布，在經(jīng)濟(jì)生活、事故預(yù)測、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，泊松分布的概率分布列為P(X=k)=λkk！e-λ(k=0，1，2，…)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值.若隨機(jī)變量X服從二項分布，當(dāng)n很大且p很小時，二項分布近似于泊松分布，其中λ=np，即X~B(n，p)，P(X=i)=e-np(np)ii！(n∈N*參考數(shù)據(jù)：1e=0.367879…A.99% B.97% C.92% D.74%二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.下列判斷正確的是()A.若隨機(jī)變量ξ服從0-1分布，且P(ξ=0)=0.35，則P(ξ=1)=0.7B.若隨機(jī)變量ξ~B3，12，則D(C.若隨機(jī)變量ξ~H(3，3，10)，則E(ξ)=0.9D.若隨機(jī)變量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)=0.8，則P(ξ<-1)=0.28.若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(6，4)，且P(2<X<10)=m，P(4<X<8)=n，則()A.P(7<X<9)>P(1<X<3)B.E(2X+1)=13C.P(4<X<10)=mD.D(2X+1)=8三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南通調(diào)研)已知隨機(jī)變量X~N(4，42).若P(X<3)=0.3，則P(3<X<5)=，若Y=2X+1，則Y的方差為. 10.(2024·煙臺模擬)甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，采用五局三勝制(當(dāng)一人贏得三局時，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束).根據(jù)以往比賽成績，每局比賽中甲獲勝的概率都是p(0<p<1)，且各局比賽結(jié)果相互獨立.若甲以3∶0獲勝的概率不低于甲以3∶1獲勝的概率，則p的取值范圍為.四、解答題(共27分)11.(13分)某公司在員工招聘面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備了4道面試題，面試者按順序提問，若每位被面試者答對兩道題則通過面試，面試結(jié)束；若每位被面試者前三道題均答錯，則不通過面試，面試結(jié)束.已知李明答對每道題的概率均為35，且每道題是否答對相互獨立(1)求李明沒通過面試的概率；(5分)(2)記李明所答題目的數(shù)量為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(8分)12.(14分)臺風(fēng)是我國東部沿海地區(qū)夏秋季節(jié)常見的自然災(zāi)害，當(dāng)臺風(fēng)來臨之際，沿海居民點的居民必須提前進(jìn)行疏散.某地有關(guān)部門為了解居民疏散所需時間，在當(dāng)?shù)仉S機(jī)抽取了100處居民點進(jìn)行疏散所需時間的調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如表：疏散時間t(最接近的時間，取整數(shù))單位：小時12131415161718頻率0.040.050.250.350.180.100.03(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，視頻率為概率，估計這一地區(qū)居民點疏散所需時間t的均值和方差；(6分)(2)根據(jù)工作安排，需要在疏散時間超過16小時的13個居民點中再抽取5個進(jìn)行深入調(diào)查，從而尋求縮短疏散時間的辦法.設(shè)X為抽到的居民點中疏散時間為18小時的居民點數(shù)量，求X的分布列.(8分)13題5分，14題6分，共11分13.設(shè)隨機(jī)變量X~B(n，p)，記pk=Cnkpk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，n，下列說法正確的是(A.當(dāng)k由0增大到n時，pk先增后減，當(dāng)且僅當(dāng)k取某一個正整數(shù)時達(dá)到最大B.如果(n+1)p為正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)k=(n+1)p時，pk取最大值C.如果(n+1)p為非整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)k取(n+1)p的整數(shù)部分時，pk取最大值D.E(X)=np(1-p)14.(多選)(2024·呂梁模擬)小明上學(xué)有時乘公交車，有時騎自行車.他各記錄了100次乘公交車和騎自行車上學(xué)所用的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：乘公交車平均用時20min，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；騎自行車平均用時24min，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.已知若隨機(jī)變量ξ~N(μ，σ2)，則ξ-μσ~N(0，1).假設(shè)小明乘公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則A.X~N(20，6)B.Y-242~N(0C.若某天有28min可用，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇騎自行車D.若某天有25min可用，小明要想盡可能不遲到應(yīng)選擇乘公交車答案精析1.C2.A3.A4.D[依題意此實驗滿足8重伯努利實驗，設(shè)向左移動次數(shù)為X，則X~B8，35，從原點O出發(fā)，共移動8次，最后質(zhì)點位于-2，則需向右移動3次，向左移動5次，所以質(zhì)點位于-2的位置的概率為P(X=5)5.A[抽到的女生人數(shù)X可能為0，1，2，3，P(X=0)=C75P(X=1)=C74P(X=2)=C73P(X=3)=C72所以E(X)=0×112+1×512+2×512+3×1126.C[由題意得n=100，p=0.01，泊松分布可作為二項分布的近似，此時λ=100×0.01=1，所以P(X=k)=1k！eP(X=0)=10！e-1P(X=1)=11！e-1P(X=2)=12！e-1正品率大于97%的概率為P=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1e+1e+12e7.BCD[若ξ服從0-1分布，則P(ξ=1)=1-P(ξ=0)=0.65，故A錯誤；若隨機(jī)變量ξ~B3，12，則D(ξ)=3×12若隨機(jī)變量ξ~H(3，3，10)，則E(ξ)=3×310=0.9，故C若隨機(jī)變量ξ~N(1，σ2)，P(ξ≤3)=0.8，則P(ξ<-1)=P(ξ>3)=1-0.8=0.2，故D正確.]8.ABC[隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(6，4)，則μ=6，σ=2，P(7<X<9)=P(3<X<5)>P(1<X<3)，A正確；E(X)=μ=6，則E(2X+1)=2E(X)+1=13，B正確；由P(2<X<10)=m，P(4<X<8)=n，得P(6<X<10)=m2，P(4<X≤6)=n2，因此P(4<X<10)=P(4<X≤6)+P(6<X<10)D(X)=σ2=4，則D(2X+1)=4D(X)=16，D錯誤.]9.0.464解析由題意可知μ=4，σ=4，即D(X)=16，所以D(Y)=4D(X)=64，因為3+5=2μ，且P(X<3)=0.3，所以P(3<X<5)=1-2P(X<3)=0.4.10.2解析甲以3∶0獲勝的概率為p1=p3，甲以3∶1獲勝的概率為p2=C32p3(1-p)=3p3(1-p由題意，p1≥p2，即p3≥3p3(1-p)，解得p≥2所以p的取值范圍為2311.解(1)李明沒通過面試包含前3題有1題答對，第4題答錯和前3題均答錯兩種情況，故所求概率為C31×35(2)由題意得X的可能取值為2，3，4，則P(X=2)=35×P(X=3)=C21×3P(X=4)=C31×故所求分布列為X234P9254412536125所以E(X)=2×925+3×44125+4×3612512.解(1)∵12×0.04+13×0.05+14×0.25+15×0.35+16×0.18+17×0.10+18×0.03=15，∴估計這一地區(qū)居民點疏散所需時間t的均值為15，∵(12-15)2×0.04+(13-15)2×0.05+(14-15)2×0.25+(15-15)2×0.35+(16-15)2×0.18+(17-15)2×0.10+(18-15)2×0.03=1.66，∴估計這一地區(qū)居民點疏散所需時間t的方差為1.66.(2)∵疏散時間為17小時，18小時兩組的頻率之比為10∶3，∴在疏散時間超過16小時的13個居民點中，疏散時間為17小時的有10個，疏散時間為18小時的有3個，再從這13個居民點中抽取5個，X為抽到的居民點中疏散時間為18小時的居民點數(shù)量，X可取0，1，2，3.P(X=0)=C30P(X=1)=C31P(X=2)=C32P(X=3)=C33X的分布列為X0123P281437014340143514313.C[因為X~B(n，p)，pk=Cnkpk(1-p)n-k，k=0，1，2，…，由p得C解得(n+1)p-1≤k≤(n+1)p，若(n+1)p為正整數(shù)，則當(dāng)k=(n+1)p或k=(n+1)p-1時，pk取最大值，故B錯誤；若(n+1)p為非整數(shù)，則當(dāng)k取(n+1)p的整數(shù)部分時，pk取最大值，故C正確；綜上所述，當(dāng)k由0增大到n時，pk先增后減，在某一個(或兩個)k值處達(dá)到最大，故A錯誤；因為E(X)=np，故D錯誤.]14.BCD[根據(jù)題意知X~N(20，62)，Y-242~N(0，1)，故A若有28min可用，分別設(shè)隨機(jī)變量X，Y的平均