第7章動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析7.1換路定律及電路初始條件的確定7.2一階電路的零輸入響應(yīng)7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)7.4一階電路的全響應(yīng)7.5求解一階電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)的三要素法電路狀態(tài)的改變稱之為換路，如電路中開關(guān)的接通與斷開、元件參數(shù)的變化、連接方式的改變等含有電容和電感這樣動(dòng)態(tài)元件的電路稱動(dòng)態(tài)電路。換路使電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)向另外一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化。在動(dòng)態(tài)電路中，電路的狀態(tài)改變是不能階躍變化的，需要有一個(gè)過渡過程，這就是所謂的動(dòng)態(tài)過程。7.1換路定律及電路初始條件的確定7.1.1換路定律iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路定律（1）電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。注意:換路瞬間，電感電流換路前后保持不變。換路瞬間，電容電壓換路前后保持不變。（2）換路定律反映了能量不能躍變。1.由t=0-電路（換路前）求uC(0-)和iL(0-)；（一般為直流穩(wěn)態(tài)，電容等效為開路，電感等效為短路）2.由換路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.畫t=0+（換路后）等效電路。4.由t=0+電路求其他各變量的初始值。（1）電容：用電壓等于uC(0+)的電壓源替代，若uC(0+)=0，則電容等效為短路。（2）電感：用電流等于iL(0+)電流源替代，若iL(0+)=0，則電感等效為開路。7.1.2初始條件的確定（步驟）例7-1如圖7-1a所示電路，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。已知US=12V，R=100Ω，r=100Ω。設(shè)電容、電感初始儲(chǔ)能均為零。求開關(guān)剛閉合時(shí)的uC(0+)、iC(0+)、iL(0+)、uL(0+)和i(0+)。解：

畫出t=0-等效電路畫出t=0+等效電路，電容相當(dāng)于短路，電感相當(dāng)于開路。例7-2電路如圖7-2a所示，開關(guān)S閉合前電路已穩(wěn)定，已知US=10V，R1=30Ω，R2=20Ω，R3=40。時(shí)開關(guān)S閉合，試求uL(0+)及iC(0+)。解：畫t=0-電路畫出t=0+等效電路，電感用0.2A電流源替代，電容用4V電壓源替代。7.2一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外輸入激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能所產(chǎn)生的響應(yīng)。7.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)初始值零輸入響應(yīng)uC(0+)=

uC

(0-)=USt≥0電路的微分方程因?yàn)?/p>

，

所以解微分方程式中A為待定的積分常數(shù)，由電容電壓初始值uC(0+)確定，將t=0時(shí)，uC(0+)=US代入上式得A=uC(0+)=US，則其通解：——時(shí)間常數(shù)

單位：秒（s）uC、i隨時(shí)間變化的曲線如圖所示?？梢钥闯觯瑄C、i都是從初始值開始按指數(shù)規(guī)律衰減至零，其衰減化的快慢由時(shí)間常數(shù)τ決定。tτ2τ3τ4τ5τuC0.368US0.135US0.05US0.018US0.007USuC隨時(shí)間的衰減時(shí)間常數(shù)τ越大，uC衰減得越慢，電容放電速度越慢。因?yàn)樵谝欢ǔ跏茧妷篣S下，電容C越大．則儲(chǔ)存的電荷越多；電阻R越大．則放電電流越小，這些都促使電容放電變慢。因此，改變R或C的數(shù)值，就可以改變電路的時(shí)間常數(shù)，進(jìn)而改變電容放電的速度。例7-3

換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，R1=1kΩ，R2=2kΩ，R3=5kΩ，C=1uF，IS=5mA。當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)S合向2端，求換路后uC、iC的時(shí)域響應(yīng)。解：

在t=0-時(shí)，有換路后，時(shí)間常數(shù)換路后的零輸入響應(yīng)7.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)初始值t≥0電路的微分方程因?yàn)樗?/p>

通解：（A為積分常數(shù)）

將電感電流初始值代入上式得τ反映了RL電路響應(yīng)衰減的快慢，L越大，在同樣大的初始電流IS作用下，電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量越多，釋放能量所需的時(shí)間就越長(zhǎng)；而電阻R越小，在同樣大的初始電流IS作用下，電阻消耗的功率就越小，暫態(tài)過程也就越長(zhǎng)?？傻玫絫≥0時(shí)從上面的分析可見，RC電路和RL電路中所有的零輸入響應(yīng)都具有以下相同的形式f(t)——零輸入響應(yīng)，可以是電壓或電流，R——換路后儲(chǔ)能元件C或L兩端的戴維南等效電阻。f(0+)——響應(yīng)的初始值，τ——換路后電路的時(shí)間常數(shù)，在RC電路中，τ=RC；在RL電路中，τ=L/R；表明一階電路的零輸入響應(yīng)是由初始值按指數(shù)規(guī)律衰減的。例7-4

圖7-11電路中，R1=5Ω，R2=3Ω，L=1H，t<0時(shí)開關(guān)S斷開，電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，求開關(guān)S閉合后的iL(t)、uL(t)、uR2(t)。解：換路前，L相當(dāng)于短路，得換路后7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)元件初始能量為零，換路后由外加激勵(lì)(獨(dú)立電源)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。7.3.1

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)電容電壓初始值為0零狀態(tài)響應(yīng)uC(0+)=

uC

(0-)=0t≥0電路的微分方程所以因?yàn)闉橐浑A常系數(shù)非齊次線性微分方程，此方程的解等于齊次微分方程的特解uC'與非齊次微分方程的通解uC''之和，通常取電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的解作為特解，因此有A由電容電壓初始值uC(0+)確定，可得A=-US，則uC的穩(wěn)態(tài)值記為uC(∞)，因此uC、uR、i隨時(shí)間變化的曲線例7-5電路如圖7-14所示，US=9V，R1=6kΩ，R2=3kΩ，C=0.01uF，uC(0-)=0。求S接通后的電容電壓uC(t)。解：電容元件初始儲(chǔ)能為0故為零狀態(tài)響應(yīng)，下面求開關(guān)閉合后，電容電壓的穩(wěn)態(tài)值。7.3.2

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)換路前電路處于穩(wěn)態(tài)iL(0+)=iL(0-)=0t≥0電路的微分方程所以因?yàn)槠浣鉃辇R次微分方程特解iL'與非齊次微分方程通解iL''之和A為積分常數(shù)，由初始值iL(0+)確定，式中iL、uL、uR隨時(shí)間變化的曲線如圖所示。小結(jié)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)uC(∞)——換路后電容電壓的穩(wěn)態(tài)值iL(∞)——換路后電感電流的穩(wěn)態(tài)值t→∞時(shí)，電容等效為開路，電感等效為短路RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)

RC電路：

=RC,

RL電路：

=L/R例7-6已知R1=R2=1kΩ，L1=15mH，L2=L3=10mH，電流源IS=10mA，開關(guān)S閉合后(t≥0)求電流i。（設(shè)線圈間無互感）開關(guān)S閉合后時(shí)間常數(shù)為

解：等效電感7.4一階電路的全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。全響應(yīng)開關(guān)閉合前，設(shè)電容電壓初始值uC(0-)=Uo，在t=0時(shí)開關(guān)閉合接通直流電源US，則此RC電路的響應(yīng)為完全響應(yīng)。=+全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)電路t≥0時(shí)的微分方程初始條件uC(0+)=uC(0-)=Uo解微分方程得電路的全響應(yīng)為式中第一項(xiàng)是零輸入響應(yīng)因此全響應(yīng)可以看作是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng)式中第一項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量，是非齊次方程的特解，它受輸入激勵(lì)的制約，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；是暫態(tài)分量，是齊次微分方程的通解，是按指數(shù)規(guī)律衰減的，稱為暫態(tài)響應(yīng)。第二項(xiàng)全響應(yīng)也可分解為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和暫態(tài)響應(yīng)之和。7.5求解一階電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)的三要素法一階電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)的一般形式為：分析一階電路問題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問題f(t)為電路的響應(yīng)（表示電壓或電流）三要素f(0+)——初始值f(∞)——穩(wěn)態(tài)值τ——時(shí)間常數(shù)求解一階電路動(dòng)態(tài)響應(yīng)的三要素法步驟如下：1．確定初始值f(0+)（1）利用t=0-時(shí)的電路（換路前為直流穩(wěn)態(tài)，C開路，L短路），求出uC(0-)、iL(0-)；由換路定律得到uC(0+)、iL(0+)；（2）再根據(jù)t=0+時(shí)的等效電路（換路后，電容等效為電壓是uC(0+)的電壓源，電感等效為電流是iL(0+)的電流源），求解其他電壓或電流的初始值f(0+)；2．確定穩(wěn)態(tài)值f(∞)作t=∞電路（直流穩(wěn)態(tài)時(shí)，C開路，L短路），求f(∞)。3．求時(shí)間常數(shù)τ在RC電路中，τ=RC；在RL電路中，τ=L/R。R是將電路中所有獨(dú)立源除去后，從C或L兩端看進(jìn)去的等效電阻。4．由三要素公式寫出電路中電壓或電流的響應(yīng)表達(dá)式。例7-8

如圖7-20所示電路中，uC(0-)=0，US=6V，R1=10kΩ，R2=20kΩ，C=103pF，求t≥0時(shí)u