數(shù)學(xué)超難題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=\log_{a}(x+\sqrt{x^{2}+1})$（$a\gt0$且$a\neq1$），若$f(1)=1$，則$f(-1)$的值為（）A.-1B.0C.1D.2答案：A2.在等比數(shù)列$\{a_{n}\}$中，$a_{3}=4$，$a_{7}=16$，則$a_{5}$等于（）A.8B.-8C.$\pm8$D.32答案：A3.若直線$l_{1}$：$ax+2y+6=0$與直線$l_{2}$：$x+(a-1)y+a^{2}-1=0$平行，則$a$的值為（）A.-1或2B.-1C.2D.不存在答案：B4.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,-2)$，$\overrightarrow=(m,4)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$，則$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$等于（）A.$(4,0)$B.$(0,4)$C.$(4,-8)$D.$(-4,8)$答案：C5.函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖象的一條對稱軸方程是（）A.$x=\frac{\pi}{12}$B.$x=\frac{\pi}{6}$C.$x=\frac{\pi}{3}$D.$x=\frac{\pi}{2}$答案：A6.已知雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的離心率為$2$，則其漸近線方程為（）A.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$B.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}x$C.$y=\pmx$D.$y=\pm\sqrt{3}x$答案：D7.從$1$，$2$，$3$，$4$，$5$這$5$個數(shù)字中任取$3$個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{2}{5}$C.$\frac{3}{5}$D.$\frac{4}{5}$答案：B8.已知函數(shù)$f(x)$是定義在$R$上的奇函數(shù)，當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)=x^{2}-2x$，則$f(-1)$的值為（）A.1B.-1C.3D.-3答案：A9.已知$x$，$y$滿足約束條件$\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}$，則$z=2x-y$的最大值為（）A.3B.2C.1D.-1答案：A10.已知函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)為$f^\prime(x)$，且滿足$f(x)=2xf^\prime(1)+\lnx$，則$f^\prime(1)$的值為（）A.-1B.1C.-eD.e答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列說法正確的是（）A.若$a\gtb$，則$ac^{2}\gtbc^{2}$B.若$a\gtb$，$c\gtd$，則$a-c\gtb-d$C.若$a\gtb$，則$a^{3}\gtb^{3}$D.若$a\gtb$，則$\frac{1}{a}\lt\frac{1}$答案：C2.已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，則下列說法正確的是（）A.$f(x)$的最大值為$\sqrt{2}$B.$f(x)$的最小正周期為$2\pi$C.$f(x)$的圖象關(guān)于直線$x=\frac{\pi}{4}$對稱D.$f(x)$在區(qū)間$(0,\frac{\pi}{2})$上單調(diào)遞增答案：AC3.已知等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_{n}$，若$a_{3}=5$，$S_{4}=16$，則（）A.$a_{1}=1$B.$d=2$C.$a_{n}=2n-1$D.$S_{n}=n^{2}$答案：ABCD4.已知直線$l$過點(diǎn)$(0,-1)$，且與圓$x^{2}+y^{2}-2x-2y+1=0$相切，則直線$l$的方程為（）A.$x=0$B.$y=-1$C.$x-y-1=0$D.$x+y+1=0$答案：AC5.已知函數(shù)$f(x)$是定義在$R$上的偶函數(shù)，且在區(qū)間$[0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則（）A.$f(-2)\gtf(1)\gtf(0)$B.$f(0)\gtf(1)\gtf(-2)$C.$f(-2)\gtf(0)\gtf(1)$D.若$f(x_{1})\ltf(x_{2})$，則$|x_{1}|\lt|x_{2}|$答案：AD6.已知橢圓$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gtb\gt0$）的左、右焦點(diǎn)分別為$F_{1}$，$F_{2}$，點(diǎn)$P$在橢圓上，若$|PF_{1}|=2|PF_{2}|$，則橢圓的離心率可能為（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$答案：ABC7.已知函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?R$，且$f(x+2)$為偶函數(shù)，$f(x)$在區(qū)間$[2,+\infty)$上單調(diào)遞增，則（）A.$f(0)\ltf(2)\ltf(4)$B.$f(0)\ltf(4)\ltf(2)$C.$f(2)\ltf(0)\ltf(4)$D.函數(shù)$y=f(x)$的圖象關(guān)于直線$x=2$對稱答案：AD8.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(-2,1)$，則（）A.$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0$B.$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$C.$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$90^{\circ}$D.$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$平行答案：ABC9.已知函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$，則（）A.$f(x)$在$x=0$處取得極大值$2$B.$f(x)$在$x=2$處取得極小值$-2$C.$f(x)$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$D.$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為$(0,2)$答案：ABCD10.已知集合$A=\{x|x^{2}-3x+2=0\}$，$B=\{x|x^{2}-ax+a-1=0\}$，若$B\subseteqA$，則$a$的值可能為（）A.2B.3C.1D.4答案：ABC三、判斷題1.若直線$l$的斜率為$k=\tan\alpha$，則直線$l$的傾斜角為$\alpha$。（）答案：錯誤2.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)有零點(diǎn)，則$f(a)\cdotf(b)\lt0$。（）答案：錯誤3.若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|$，則$\overrightarrow{a}=\overrightarrow$。（）答案：錯誤4.函數(shù)$y=\cos^{2}x-\sin^{2}x$的最小正周期為$\pi$。（）答案：正確5.若$a\gtb\gt0$，則$\frac{1}{a}\lt\frac{1}$。（）答案：正確6.雙曲線$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的漸近線方程為$y=\pm\frac{a}x$。（）答案：正確7.若函數(shù)$f(x)$是奇函數(shù)，則$f(0)=0$。（）答案：錯誤8.已知圓$C_{1}$：$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r_{1}^{2}$，圓$C_{2}$：$(x-c)^{2}+(y-d)^{2}=r_{2}^{2}$，若兩圓相切，則圓心距$d=|r_{1}+r_{2}|$。（）答案：錯誤9.若數(shù)列$\{a_{n}\}$滿足$a_{n+1}=2a_{n}$，則數(shù)列$\{a_{n}\}$是等比數(shù)列。（）答案：錯誤10.已知函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_{0}$處可導(dǎo)，若$f^\prime(x_{0})=0$，則$x_{0}$是函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)。（）答案：錯誤四、簡答題1.求函數(shù)$f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：對$f(x)$求導(dǎo)得$f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)=0$，解得$x=0$或$x=2$。當(dāng)$x\lt0$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當(dāng)$0\ltx\lt2$時(shí)，$f^\prime(x)\lt0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當(dāng)$x\gt2$時(shí)，$f^\prime(x)\gt0$，$f(x)$單調(diào)遞增。所以極大值為$f(0)=1$，極小值為$f(2)=-3$，單調(diào)遞增區(qū)間是$(-\infty,0)$和$(2,+\infty)$，單調(diào)遞減區(qū)間是$(0,2)$。2.已知等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_{n}$，$a_{3}=7$，$S_{4}=24$，求數(shù)列$\{a_{n}\}$的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)等差數(shù)列$\{a_{n}\}$的首項(xiàng)為$a_{1}$，公差為$d$。由$a_{3}=7$可得$a_{1}+2d=7$；由$S_{4}=24$可得$4a_{1}+\frac{4\times3}{2}d=24$，即$4a_{1}+6d=24$。將$a_{1}=7-2d$代入$4a_{1}+6d=24$，得$4(7-2d)+6d=24$，解得$d=2$，則$a_{1}=3$。所以通項(xiàng)公式$a_{n}=a_{1}+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1$。3.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在$x$軸上，離心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，且經(jīng)過點(diǎn)$(2,\sqrt{2})$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。答案：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a\gtb\gt0$）。因?yàn)殡x心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a$，又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以$a^{2}=2b^{2}$。把點(diǎn)$(2,\sqrt{2})$代入橢圓方程得$\frac{4}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}=1$，將$a^{2}=2b^{2}$代入此式，解得$b^{2}=4$，$a^{2}=8$。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$。4.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(-3,4)$，求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角余弦值。答案：根據(jù)向量的夾角公式$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|\times|\overrightarrow|}$。先求$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(-3)+2\times4=5$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=5$。則$\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，即向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$。五、討論題1.在數(shù)學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是非常重要的性質(zhì)。請結(jié)合具體函數(shù)，討論這兩個性質(zhì)在函數(shù)研究中的作用以及它們之間的聯(lián)系。答案：以函數(shù)$f(x)=x^{3}$為例。單調(diào)性方面，通過求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^{2}\geq0$，可知其在$R$上單調(diào)遞增，這能幫助我們分析函數(shù)值隨自變量的變化趨勢，比如比較函數(shù)值大小。奇偶性上，$f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$，是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。單調(diào)性和奇偶性相互聯(lián)系，奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱區(qū)間上單調(diào)性相同。利用這些性質(zhì)可更全面深入研究函數(shù)，為解決函數(shù)相關(guān)問題提供有