弦長(zhǎng)題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.在圓的方程為\(x^{2}+y^{2}=25\)的圓中，弦心距為3，弦長(zhǎng)為（）A.8B.10C.4D.6答案：A2.已知圓\(O\)的半徑為5，弦\(AB\)所對(duì)的圓心角為\(60^{\circ}\)，則弦長(zhǎng)\(AB=\)（）A.\(5\)B.\(5\sqrt{3}\)C.\(\frac{5}{2}\)D.\(10\)答案：A3.若圓\(C\)：\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\)，直線\(l\)到圓心\((1,-2)\)的距離為\(d=2\)，直線\(l\)與圓相交弦長(zhǎng)為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(4\sqrt{5}\)D.\(3\sqrt{5}\)答案：A4.圓\(x^{2}+y^{2}=16\)中，過(guò)點(diǎn)\((2,0)\)且垂直于\(x\)軸的弦長(zhǎng)為（）A.\(4\sqrt{3}\)B.\(8\)C.\(4\)D.\(2\sqrt{3}\)答案：A5.圓\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，弦\(AB\)的中點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,1)\)，則弦長(zhǎng)\(AB=\)（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(2\sqrt{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(2\sqrt{3}\)答案：A6.已知圓\(x^{2}+y^{2}=1\)，一條弦的方程為\(x+y-1=0\)，則弦長(zhǎng)為（）A.\(\sqrt{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(2\)答案：A7.圓\(C\)：\((x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25\)，直線\(y=2x+3\)與圓相交，弦長(zhǎng)為（）A.\(4\sqrt{5}\)B.\(2\sqrt{5}\)C.\(\sqrt{5}\)D.\(3\sqrt{5}\)答案：A8.圓\(x^{2}+y^{2}-2x+4y-20=0\)，過(guò)點(diǎn)\(P(2,-3)\)的弦中，弦長(zhǎng)最短為（）A.\(8\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(10\)答案：A9.圓\(x^{2}+y^{2}=9\)，直線\(l\)：\(y=x+b\)與圓相交弦長(zhǎng)為\(\sqrt{14}\)，則\(b=\)（）A.\(\pm1\)B.\(\pm2\)C.\(\pm\sqrt{2}\)D.\(\pm\sqrt{3}\)答案：A10.對(duì)于圓\(x^{2}+y^{2}-6x+8y=0\)，直線\(y=x\)與圓相交弦長(zhǎng)為（）A.\(5\sqrt{2}\)B.\(7\sqrt{2}\)C.\(3\sqrt{2}\)D.\(\sqrt{2}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列關(guān)于圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)（\(r>0\)）中弦長(zhǎng)的說(shuō)法正確的是（）A.弦長(zhǎng)與弦心距有關(guān)B.弦長(zhǎng)與圓心角有關(guān)C.弦長(zhǎng)最大值為\(2r\)D.弦長(zhǎng)與圓的半徑無(wú)關(guān)答案：ABC2.圓\(C\)：\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\)，直線\(l\)與圓相交，弦長(zhǎng)與（）有關(guān)A.圓心\((a,b)\)到直線\(l\)的距離B.圓的半徑\(R\)C.直線\(l\)的斜率D.直線\(l\)在\(y\)軸上的截距答案：AB3.已知圓\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=16\)，弦\(AB\)所在直線方程為\(y=kx+m\)，弦長(zhǎng)\(AB\)的計(jì)算可能用到（）A.點(diǎn)到直線距離公式B.勾股定理C.韋達(dá)定理D.弦長(zhǎng)公式\(L=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)答案：ABD4.在圓\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=9\)中，過(guò)點(diǎn)\((5,0)\)的弦長(zhǎng)可能是（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)答案：ABC5.對(duì)于圓\(x^{2}+y^{2}-4x+6y-12=0\)，弦長(zhǎng)為\(8\)的弦可能具有的特征是（）A.平行于\(x\)軸B.平行于\(y\)軸C.過(guò)圓心D.與某條直徑垂直答案：AB6.圓\(x^{2}+y^{2}=25\)，弦\(AB\)的中點(diǎn)坐標(biāo)為\((3,-4)\)，則（）A.弦長(zhǎng)為\(8\)B.弦長(zhǎng)為\(6\)C.弦心距為\(5\)D.弦心距為\(1\)答案：AB7.圓\(C\)：\((x+1)^{2}+(y-2)^{2}=16\)，直線\(l\)：\(y=x+1\)與圓相交，以下關(guān)于弦長(zhǎng)說(shuō)法正確的是（）A.可以通過(guò)圓心到直線距離與半徑計(jì)算B.弦長(zhǎng)是固定值C.弦長(zhǎng)與直線的傾斜角有關(guān)D.弦長(zhǎng)與圓的圓心位置有關(guān)答案：ABD8.圓\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=9\)，弦\(AB\)過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)，則弦長(zhǎng)\(AB\)（）A.小于\(6\)B.大于\(0\)C.與點(diǎn)\((1,2)\)到圓心的距離有關(guān)D.與圓的半徑有關(guān)答案：ABCD9.圓\(x^{2}+y^{2}=1\)，直線\(l\)：\(x=\frac{1}{2}\)與圓相交弦長(zhǎng)為（）A.\(\sqrt{3}\)B.與圓心坐標(biāo)有關(guān)C.與直線\(l\)的方程形式有關(guān)D.是圓的弦長(zhǎng)中的一個(gè)確定值答案：AD10.已知圓\(x^{2}+y^{2}-8x+12y+27=0\)，弦長(zhǎng)為\(4\)的弦的中點(diǎn)軌跡可能是（）A.一個(gè)圓B.一條直線C.一個(gè)點(diǎn)D.不存在答案：A三、判斷題（每題2分，共10題）1.圓的半徑越大，弦長(zhǎng)越長(zhǎng)。（×）2.弦心距越大，弦長(zhǎng)越短。（√）3.在同一個(gè)圓中，等弦對(duì)等弦心距。（√）4.圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)中，弦長(zhǎng)為\(2r\)的弦是直徑。（√）5.若直線與圓相交，弦長(zhǎng)只與直線方程有關(guān)。（×）6.圓\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\)，弦長(zhǎng)最大為\(2R\)。（√）7.對(duì)于圓\(x^{2}+y^{2}=4\)，過(guò)原點(diǎn)的弦長(zhǎng)都為\(4\)。（×）8.弦長(zhǎng)的計(jì)算可以不借助圓的半徑。（×）9.在圓\(x^{2}+y^{2}=10\)中，弦長(zhǎng)為\(6\)的弦不存在。（√）10.圓的弦長(zhǎng)與弦所在直線的傾斜角有一定關(guān)系。（√）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述在圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)中，已知弦心距\(d\)，求弦長(zhǎng)\(L\)的方法。答案：根據(jù)勾股定理，弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)。2.圓\(C\)：\((x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9\)，直線\(l\)：\(y=x+1\)與圓相交，簡(jiǎn)述求弦長(zhǎng)的步驟。答案：先求圓心\((1,-2)\)到直線\(y=x+1\)（即\(x-y+1=0\)）的距離\(d=\frac{\vert1-(-2)+1\vert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=2\sqrt{2}\)，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)，其中\(zhòng)(r=3\)，可得弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{9-8}=2\)。3.已知圓\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=25\)，弦\(AB\)的中點(diǎn)為\(M(3,4)\)，求弦長(zhǎng)\(AB\)。答案：圓心\(O(0,0)\)，\(OM=\sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}}=5\)，根據(jù)勾股定理，弦長(zhǎng)\(AB=2\sqrt{r^{2}-OM^{2}}=2\sqrt{25-25}=0\)（這里說(shuō)明點(diǎn)\(M\)在圓上，弦長(zhǎng)為\(0\)實(shí)際是直徑）。4.對(duì)于圓\(x^{2}+y^{2}-6x+8y=0\)，若直線\(y=kx\)與圓相交弦長(zhǎng)為\(8\)，求\(k\)的值。答案：先將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-3)^{2}+(y+4)^{2}=25\)，圓心\((3,-4)\)，半徑\(r=5\)。根據(jù)弦長(zhǎng)\(L=8\)，可求出弦心距\(d=\sqrt{r^{2}-\left(\frac{L}{2}\right)^{2}}=\sqrt{25-16}=3\)。再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式\(d=\frac{\vert3k+4\vert}{\sqrt{k^{2}+1}}=3\)，解得\(k=-\frac{7}{24}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論弦長(zhǎng)在圓的幾何性質(zhì)研究中的重要性。答案：弦長(zhǎng)是圓的重要幾何量。它與圓的半徑、弦心距、圓心角等密切相關(guān)。通過(guò)弦長(zhǎng)可以研究圓內(nèi)的線段關(guān)系，也能反映直線與圓的相交程度，有助于分析圓的對(duì)稱性等多種幾何性質(zhì)。2.在圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)中，當(dāng)弦長(zhǎng)固定時(shí)，試討論弦心距的變化情況。答案：根據(jù)弦長(zhǎng)公式\(L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}\)，當(dāng)弦長(zhǎng)\(L\)固定，\(r\)固定時(shí)，弦心距\(d=\sqrt{r^{2}-\left(\frac{L}{2}\right)^{2}}\)，所以弦心距也是固定值，不會(huì)發(fā)生變化。3.對(duì)于圓\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}\)，直線\(y=mx+c\)與圓相交，討論影響弦長(zhǎng)的因素有哪些？答案：影響弦長(zhǎng)的因素有圓的半徑\(R\)、圓心\((a,b)\)到直線\(y=mx+c\)的距離\(d=\frac{\vertma-b+c\vert}{\sqrt{m^{2}+1}}\)。弦長(zhǎng)\(L=2\sqrt{R^{2}-d^{2}}\)，所以與圓的半