試題試題專題03應(yīng)用題匯編【一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程】例題1一元一次方程某中學(xué)到商店購買足球和排球，購買足球40個，排球30個共花費(fèi)4000元，已知購買一個足球比購買一個排球多花30元．（1）求購買一個足球和一個排球各需多少元？（2）學(xué)校決定第二次購買足球和排球共50個，正好趕上商場對商品價格進(jìn)行調(diào)整，一個足球售價比第一次購買時提高了，一個排球按第一次購買時售價的九折出售，如果學(xué)校第二次購買足球和排球的總費(fèi)用是第一次購買總費(fèi)用的，求學(xué)校第二次購買排球多少個？練習(xí)1：1．某超市計劃購進(jìn)甲、乙兩種型號的節(jié)能燈共1000只，這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價、售價如下表：進(jìn)價（元只）售價（元只）甲型2530乙型4560（1）如果進(jìn)貨款恰好為37000元，那么可以購進(jìn)甲型節(jié)能燈多少只？（2）超市為慶祝元旦進(jìn)行大促銷活動，決定對乙型節(jié)能燈進(jìn)行打折銷售，要求全部售完后，乙型節(jié)能燈的利潤率為，請問乙型節(jié)能燈需打幾折？2．某市要印刷高中招生的錄取通知書，有兩個印刷廠前來聯(lián)系制作業(yè)務(wù)，甲廠的優(yōu)惠條件是：按每份定價1.5元的8折收費(fèi)，另收900元制版費(fèi)；乙廠的優(yōu)惠條件是：每份定價1.5元價格不變，而制版費(fèi)900元則6折優(yōu)惠．回答下列問題：（1）印刷多少份時，兩廠所需費(fèi)用相等？（2）如果要印刷3000份錄取通知書，那么應(yīng)當(dāng)選擇哪個廠？需要多少費(fèi)用？例題2二元一次方程組及不等式《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學(xué)成就．書中有一個方程問題：今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十．今將錢三十，得酒二斗．問醇、行酒各得幾何？意思是：今有美酒一斗，價格是50錢；普通酒一斗，價格是10錢．現(xiàn)在買兩種酒2斗共付30錢，問買美酒、普通酒各多少？請你建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，解決上面問題．練習(xí)2：1．（2019廣東）某校為了開展“陽光體育運(yùn)動”，計劃購買籃球、足球共60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的價格為80元．（1）若購買這兩類球的總金額為4600元，求籃球，足球各買了多少個？（2）若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？例題3分式方程新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生后，全社會積極參與疫情防控工作，某市為了盡快完成100萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù)，安排甲、乙兩個大型工廠完成．已知甲廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量是乙廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量的1.5倍，并且在獨(dú)立完成60萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù)時，甲廠比乙廠少用5天．問至少應(yīng)安排兩個工廠工作多少天才能完成任務(wù)？練習(xí)3：1.節(jié)能又環(huán)保的油電混合動力汽車，既可以用油做動力行駛，也可以用電做動力行駛．比亞迪油電混合動力汽車從甲地行駛到乙地，若完全用油做動力行駛，則費(fèi)用為96元；若完全用電做動力行駛，則費(fèi)用為36元．已知汽車行駛中每千米用油費(fèi)用比用電費(fèi)用多0.5元．（1）求：汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是多少元？甲乙兩地的距離是多少千米？（2）若汽車從甲地到乙地采用油電混合動力行駛，且所需費(fèi)用不超過50元，則至少需要用電行駛多少千米？2．某學(xué)校計劃選購、兩種圖書．已知種圖書每本價格是種圖書每本價格的2.5倍，用1200元單獨(dú)購買種圖書比用1500元單獨(dú)購買種圖書要少25本．（1）、兩種圖書每本價格分別為多少元？（2）如果該學(xué)校計劃購買種圖書的本數(shù)比購買種圖書本數(shù)的2倍多8本，且用于購買、兩種圖書的總經(jīng)費(fèi)不超過1164元，那么該學(xué)校最多可以購買多少本種圖書？3．（2021廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．例題4一元二次方程重點(diǎn)題型一增長率問題（2015廣州）某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元，2015年投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬元．（1）求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率；（2）根據(jù)（1）所得的年平均增長率，預(yù)計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元？重點(diǎn)題型二面積問題為改善生態(tài)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某村規(guī)劃將一塊長18米，寬10米的矩形場地建設(shè)成綠化廣場，如圖，內(nèi)部修建三條寬相等的小路，其中一條路與廣場的長平行，另兩條路與廣場的寬平行，其余區(qū)域種植綠化，使綠化區(qū)域的面積為廣場總面積的．（1）求該廣場綠化區(qū)域的面積；（2）求廣場中間小路的寬．重點(diǎn)題型三利潤問題1、新華商場銷售某種冰箱，每臺進(jìn)貨價為2500元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價為3000元時，平均每天能售出10臺，而當(dāng)銷售價每降低100元時，平均每天就能多售出5臺．雙“十一”期間，商場為了減少庫存進(jìn)行降價促銷，如果在降價促銷的同時還要保證這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到6000元，這種冰箱每臺應(yīng)降價多少元？2、開學(xué)初，某文具店銷售一款書包，每個成本是50元，銷售期間發(fā)現(xiàn)：銷售單價時100元時，每天的銷售量是50個，而銷售單價每降低2元，每天就可多售出10個，當(dāng)銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤達(dá)到4000元？要求銷售單價不低于成本，且商家盡量讓利給顧客．重點(diǎn)題型四傳染問題1．有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？2．衛(wèi)生部疾病控制專家經(jīng)過調(diào)研提出，如果1人傳播10人以上而且被傳染的人已經(jīng)確定為新冠肺炎，那么這個傳播者就可以稱為“超級傳播者”．如果某鎮(zhèn)有1人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．（1）經(jīng)過計算，判斷最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”嗎？寫出過程．（2）若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有多少人成為新冠肺炎病毒的攜帶者？重點(diǎn)題型五循環(huán)問題1、某校要組織“風(fēng)華杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場）．①如果有4支球隊(duì)參加比賽，那么共進(jìn)行場比賽；②如果全校一共進(jìn)行36場比賽，那么有多少支球隊(duì)參加比賽？2、參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都要進(jìn)行兩場比賽，共要比賽132場，共有多少個球隊(duì)參加比賽？練習(xí)4：1．為促進(jìn)新舊功能轉(zhuǎn)換，提高經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺設(shè)備成本價為25萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該設(shè)備的月銷售量（臺和銷售單價（萬元）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求月銷售量與銷售單價的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價不得高于35萬元，如果該公司想獲得130萬元的月利潤，那么該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是多少萬元？2．如圖，一塊矩形小花園長為20米，寬為18米，主人設(shè)計了橫縱方向的等寬小道路（圖中陰影部分），道路之外種植花草，為了使種植花草的面積達(dá)到總面積的，求道路的寬度．3．用一塊邊長為的正方形薄鋼片制作成一個沒有蓋的長方體盒子，可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形（如圖①，然后把四邊折合起來（如圖②．若做成的盒子的底面積為時，求截去的小正方形的邊長．4．國內(nèi)豬肉價格不斷上漲，已知今年10月的豬肉價格比今年年初上漲了，李奶奶10月在某超市購買1千克豬肉花了72元錢．（1）今年年初豬肉的價格為每千克多少元？（2）某超市將進(jìn)貨價為每千克55元的豬肉按10月價格出售，平均一天能銷售出100千克，隨著國家對豬肉價格的調(diào)控，超市發(fā)現(xiàn)豬肉的售價每千克下降1元，其日銷售量就增加10千克，超市為了實(shí)現(xiàn)銷售豬肉每天有1800元的利潤，并且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，豬肉的售價應(yīng)該下降多少元？例題5解直角三角形市體育協(xié)會在天德湖公園主辦的放風(fēng)箏比賽．比賽中小軍在處不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹的樹梢上（如圖），固定在了處，此時風(fēng)箏線與水平線的夾角為．為了便于觀察，小軍迅速向前邊移動邊收線到達(dá)了離處6米的處，此時風(fēng)箏線與水平線的夾角為．已知點(diǎn)、、在同一條直線上，．請求出此時小軍手中的風(fēng)箏線的長度約是多少米？（本題中風(fēng)箏線均視為線段，，，最后結(jié)果精確到1米）練習(xí)：1．（2022廣州）某數(shù)學(xué)活動小組利用太陽光線下物體的影子和標(biāo)桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時在C處立一根標(biāo)桿CD，標(biāo)桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．（1）求BC的長；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．【能力展示】（真題演練）1．（2023廣州）因活動需要購買某種水果，數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)通過市場調(diào)查得知：在甲商店購買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示；在乙商店購買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的函數(shù)解析式為（）.（1）求與x之間的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？2.（2021廣州）民生無小事，枝葉總關(guān)情，廣東在“我為群眾辦實(shí)事”實(shí)踐活動中推出“粵菜師傅”“廣東技工”“南粵家政”三項(xiàng)培訓(xùn)工程，今年計劃新增加培訓(xùn)共100萬人次．（1）若“廣東技工”今年計劃新增加培訓(xùn)31萬人次，“粵菜師傅”今年計劃新增加培訓(xùn)人次是“南粵家政”的2倍，求“南粵家政”今年計劃新增加的培訓(xùn)人次；（2）“粵菜師傅”工程開展以來，已累計帶動33.6萬人次創(chuàng)業(yè)就業(yè)，據(jù)報道，經(jīng)過“粵菜師傅”項(xiàng)目培訓(xùn)的人員工資穩(wěn)定提升，已知李某去年的年工資收入為9.6萬元，預(yù)計李某今年的年工資收入不低于12.48萬元，則李某的年工資收入增長率至少要達(dá)到多少？3.（2020廣州）粵港澳大灣區(qū)自動駕駛產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟積極推進(jìn)自動駕駛出租車應(yīng)用落地工作，無人化是自動駕駛的終極目標(biāo)．某公交集團(tuán)擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場．今年每輛無人駕駛出租車的改裝費(fèi)用是50萬元，預(yù)計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費(fèi)用可下降50%．（1）求明年每輛無人駕駛出租車的預(yù)計改裝費(fèi)用是多少萬元；（2）求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛．4.（2019廣州）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，據(jù)統(tǒng)計，目前廣東基站的數(shù)量約1.5萬座，計劃到2020年底，全省基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬座．（1）計劃到2020年底，全省基站的數(shù)量是多少萬座？（2）按照計劃，求2020年底到2022年底，全省基站數(shù)量的年平均增長率．5．（2018廣州）友誼商店型號筆記本電腦的售價是元臺．最近，該商店對型號筆記本電腦舉行促銷活動，有兩種優(yōu)惠方案．方案一：每臺按售價的九折銷售；方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售．某公司一次性從友誼商店購買型號筆記本電腦臺．（1）當(dāng)時，應(yīng)選擇哪種方案，該公司購買費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？（2）若該公司采用方案二購買更合算，求的取值范圍．6．（2020花都一模）新冠肺炎疫情爆發(fā)之后，全國許多省市對湖北各地進(jìn)行了援助，廣州市某醫(yī)療隊(duì)備好醫(yī)療防護(hù)物資迅速援助武漢．第一批醫(yī)療隊(duì)員乘坐高鐵從廣州出發(fā)，2.5小時后，第二批醫(yī)療隊(duì)員乘坐飛機(jī)從廣州出發(fā)，兩批隊(duì)員剛好同時到達(dá)武漢．已知廣州到武漢的飛行距離為800千米，高鐵路程為飛行距離的54（1）求廣州到武漢的高鐵路程；（2）若飛機(jī)速度與高鐵速度之比為5：2，求飛機(jī)和高鐵的速度．7.（2021花都一模）廣州某公交線路日均運(yùn)送乘客總量為15600人次，實(shí)施5G快速公交智能調(diào)度后，每趟車平均運(yùn)送乘客量比智能調(diào)度前增加了20%．若日均運(yùn)送乘客總量保持不變，則每日發(fā)車數(shù)量比智能調(diào)度前減少26趟．求實(shí)施智能調(diào)度前每趟車平均運(yùn)送乘客量為多少人次．8．有、兩個發(fā)電廠，每焚燒一噸垃圾，發(fā)電廠比發(fā)電廠多發(fā)40度電，焚燒20噸垃圾比焚燒30噸垃圾少1800度電．（1）求焚燒1噸垃圾，和各發(fā)電多少度？（2）、兩個發(fā)電廠共焚燒90噸的垃圾，焚燒的垃圾不多于焚燒的垃圾兩倍，求廠和廠總發(fā)電量的最大值．9．（2020廣東）某社區(qū)擬建，兩類攤位以搞活“地攤經(jīng)濟(jì)”，每個類攤位的占地面積比每個類攤位的占地面積多2平方米．建類攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建類攤位每平方米的費(fèi)用為30元．用60平方米建類攤位的個數(shù)恰好是用同樣面積建類攤位個數(shù)的．（1）求每個，類攤位占地面積各為多少平方米？（2）該社區(qū)擬建，兩類攤位共90個，且類攤位的數(shù)量不少于類攤位數(shù)量的3倍．求建造這90個攤位的最大費(fèi)用．10．（2018廣東）某公司購買了一批、型芯片，其中型芯片的單價比型芯片的單價少9元，已知該公司用3120元購買型芯片的條數(shù)與用4200元購買型芯片的條數(shù)相等．（1）求該公司購買的、型芯片的單價各是多少元？（2）若兩種芯片共購買了200條，且購買的總費(fèi)用為6280元，求購買了多少條型芯片？11．（2018深圳）某超市預(yù)測某飲料有發(fā)展前途，用1600元購進(jìn)一批飲料，面市后果然供不應(yīng)求，又用6000元購進(jìn)這批飲料，第二批飲料的數(shù)量是第一批的3倍，但單價比第一批貴2元．（1）第一批飲料進(jìn)貨單價多少元？（2）若二次購進(jìn)飲料按同一價格銷售，兩批全部售完后，獲利不少于1200元，那么銷售單價至少為多少元？12．（2017花都一模）某班為參加學(xué)校的大課間活動比賽，準(zhǔn)備購進(jìn)一批跳繩，已知2根型跳繩和1根型跳繩共需56元，1根型跳繩和2根型跳繩共需82元．（1）求一根型跳繩和一根型跳繩的售價各是多少元？（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種型號的跳繩共50根，并且型跳繩的數(shù)量不多于型跳繩數(shù)量的3倍，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．13．我區(qū)某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買2個足球和1個籃球共需180元，購買3個足球和2個籃球共需310元．（1）購買一個足球、一個籃球各需多少元？（2）根據(jù)該中學(xué)的實(shí)際情況，需從體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個，要求購買足球和籃球的總費(fèi)用不超過5720元，這所中學(xué)最多可以購買多少個籃球？14．星光中學(xué)課外活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成．已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為米．（1）若平行于墻的一邊長為米，直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式及其自變量的取值范圍；（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；（3）當(dāng)這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍．專題03應(yīng)用題匯編【一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程、解直角三角形】例題1一元一次方程某中學(xué)到商店購買足球和排球，購買足球40個，排球30個共花費(fèi)4000元，已知購買一個足球比購買一個排球多花30元．（1）求購買一個足球和一個排球各需多少元？（2）學(xué)校決定第二次購買足球和排球共50個，正好趕上商場對商品價格進(jìn)行調(diào)整，一個足球售價比第一次購買時提高了，一個排球按第一次購買時售價的九折出售，如果學(xué)校第二次購買足球和排球的總費(fèi)用是第一次購買總費(fèi)用的，求學(xué)校第二次購買排球多少個？【解答】解：（1）設(shè)購買一個排球需元，則購買一個足球需元，依題意得：，解得：，則．答：購買一個足球需要70元，購買一個排球需要40元；（2）設(shè)學(xué)校第二次購買排球個，則購買足球個，依題意得：，解得．答：學(xué)校第二次購買排球10個．練習(xí)1：1．某超市計劃購進(jìn)甲、乙兩種型號的節(jié)能燈共1000只，這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價、售價如下表：進(jìn)價（元只）售價（元只）甲型2530乙型4560（1）如果進(jìn)貨款恰好為37000元，那么可以購進(jìn)甲型節(jié)能燈多少只？（2）超市為慶祝元旦進(jìn)行大促銷活動，決定對乙型節(jié)能燈進(jìn)行打折銷售，要求全部售完后，乙型節(jié)能燈的利潤率為，請問乙型節(jié)能燈需打幾折？【解答】解：（1）設(shè)商場購進(jìn)甲型節(jié)能燈只，則購進(jìn)乙型節(jié)能燈只，由題意，得解得：購進(jìn)乙型節(jié)能燈（只答：購進(jìn)甲型節(jié)能燈400只，購進(jìn)乙型節(jié)能燈600只進(jìn)貨款恰好為37000元．（2）設(shè)乙型節(jié)能燈需打折，，解得，答：乙型節(jié)能燈需打9折．2．某市要印刷高中招生的錄取通知書，有兩個印刷廠前來聯(lián)系制作業(yè)務(wù)，甲廠的優(yōu)惠條件是：按每份定價1.5元的8折收費(fèi)，另收900元制版費(fèi)；乙廠的優(yōu)惠條件是：每份定價1.5元價格不變，而制版費(fèi)900元則6折優(yōu)惠．回答下列問題：（1）印刷多少份時，兩廠所需費(fèi)用相等？（2）如果要印刷3000份錄取通知書，那么應(yīng)當(dāng)選擇哪個廠？需要多少費(fèi)用？【解答】解：（1）設(shè)印刷份，此時甲廠所需費(fèi)用是：，此時乙廠所需費(fèi)用是：，當(dāng)，解得：，答：印刷1200份時，兩廠所需費(fèi)用相等；（2）當(dāng)時，甲廠所需費(fèi)用是：（元，此時乙廠所需費(fèi)用是：（元，故應(yīng)當(dāng)選擇甲廠，需要費(fèi)用是4500元．例題2二元一次方程組及不等式《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學(xué)成就．書中有一個方程問題：今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十．今將錢三十，得酒二斗．問醇、行酒各得幾何？意思是：今有美酒一斗，價格是50錢；普通酒一斗，價格是10錢．現(xiàn)在買兩種酒2斗共付30錢，問買美酒、普通酒各多少？請你建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，解決上面問題．【解答】解：設(shè)買美酒斗，普通酒斗，依題意，得：，解得：．答：買美酒0.25斗，普通酒1.75斗．練習(xí)2：1．（2019廣東）某校為了開展“陽光體育運(yùn)動”，計劃購買籃球、足球共60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的價格為80元．（1）若購買這兩類球的總金額為4600元，求籃球，足球各買了多少個？（2）若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？【解答】解：（1）設(shè)購買籃球個，購買足球個，依題意得：．解得．答：購買籃球20個，購買足球40個；（2）設(shè)購買了個籃球，依題意得：70a≤80（60-a）解得a≤32答：最多可購買32個籃球．例題3分式方程新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生后，全社會積極參與疫情防控工作，某市為了盡快完成100萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù)，安排甲、乙兩個大型工廠完成．已知甲廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量是乙廠每天能生產(chǎn)口罩的數(shù)量的1.5倍，并且在獨(dú)立完成60萬只口罩的生產(chǎn)任務(wù)時，甲廠比乙廠少用5天．問至少應(yīng)安排兩個工廠工作多少天才能完成任務(wù)？【解答】解：設(shè)乙廠每天能生產(chǎn)口罩萬只，則甲廠每天能生產(chǎn)口罩萬只，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，（天．答：至少應(yīng)安排兩個工廠工作10天才能完成任務(wù)．練習(xí)3：1.節(jié)能又環(huán)保的油電混合動力汽車，既可以用油做動力行駛，也可以用電做動力行駛．比亞迪油電混合動力汽車從甲地行駛到乙地，若完全用油做動力行駛，則費(fèi)用為96元；若完全用電做動力行駛，則費(fèi)用為36元．已知汽車行駛中每千米用油費(fèi)用比用電費(fèi)用多0.5元．（1）求：汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是多少元？甲乙兩地的距離是多少千米？（2）若汽車從甲地到乙地采用油電混合動力行駛，且所需費(fèi)用不超過50元，則至少需要用電行駛多少千米？解：（1）設(shè)汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是元，則每千米用油費(fèi)用為元，可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是0.3元，甲、乙兩地的距離是（千米）；（2）汽車行駛中每千米用油費(fèi)用為（元，設(shè)汽車用電行駛，可得：0.3y+0.8（120-y）≤50解得：，y≥92所以至少需要用電行駛92千米．2．某學(xué)校計劃選購、兩種圖書．已知種圖書每本價格是種圖書每本價格的2.5倍，用1200元單獨(dú)購買種圖書比用1500元單獨(dú)購買種圖書要少25本．（1）、兩種圖書每本價格分別為多少元？（2）如果該學(xué)校計劃購買種圖書的本數(shù)比購買種圖書本數(shù)的2倍多8本，且用于購買、兩種圖書的總經(jīng)費(fèi)不超過1164元，那么該學(xué)校最多可以購買多少本種圖書？【解答】解：（1）設(shè)種圖書每本價格為元，則種圖書每本價格為元，依題意，得：1500x經(jīng)檢驗(yàn)，x=40.8是原方程的解，且符合題意，∴2.5x=102答：種圖書每本價格為40.8元，種圖書每本價格為102元．（2）設(shè)購買本種圖書，則購買本種圖書，依題意，得：102y+40.8（2y+8）≤1164解得：y∵y為整數(shù)，∴y的最大值為4，∴2y+8=16答：該學(xué)校最多可以購買16本種圖書．3．（2021廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．【解答】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價（a﹣10）元，則，解得：a＝40，經(jīng)檢驗(yàn)a＝40是方程的解，∴豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元，（2）由題意得，當(dāng)x＝50時，每天可售出100盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價x元（50≤x≤65）時，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵x＜70時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝65時，y取最大值，最大值為：﹣2（65﹣70）2+1800＝1750（元）．答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利潤為1750元．例題4一元二次方程重點(diǎn)題型一增長率問題（2015廣州）某地區(qū)2013年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬元，2015年投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬元．（1）求2013年至2015年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率；（2）根據(jù)（1）所得的年平均增長率，預(yù)計2016年該地區(qū)將投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬元？重點(diǎn)題型二面積問題為改善生態(tài)環(huán)境，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某村規(guī)劃將一塊長18米，寬10米的矩形場地建設(shè)成綠化廣場，如圖，內(nèi)部修建三條寬相等的小路，其中一條路與廣場的長平行，另兩條路與廣場的寬平行，其余區(qū)域種植綠化，使綠化區(qū)域的面積為廣場總面積的．（1）求該廣場綠化區(qū)域的面積；（2）求廣場中間小路的寬．【解答】解：（1）（平方米）．答：該廣場綠化區(qū)域的面積為144平方米．（2）設(shè)廣場中間小路的寬為米，依題意，得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：廣場中間小路的寬為1米．重點(diǎn)題型三利潤問題1、新華商場銷售某種冰箱，每臺進(jìn)貨價為2500元，市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售價為3000元時，平均每天能售出10臺，而當(dāng)銷售價每降低100元時，平均每天就能多售出5臺．雙“十一”期間，商場為了減少庫存進(jìn)行降價促銷，如果在降價促銷的同時還要保證這種冰箱的銷售利潤平均每天達(dá)到6000元，這種冰箱每臺應(yīng)降價多少元？【解答】解：設(shè)這種冰箱每臺應(yīng)降價元，根據(jù)題意得，解得：，，為了減少庫存，，答：這種冰箱每臺應(yīng)降價200元．2、開學(xué)初，某文具店銷售一款書包，每個成本是50元，銷售期間發(fā)現(xiàn)：銷售單價時100元時，每天的銷售量是50個，而銷售單價每降低2元，每天就可多售出10個，當(dāng)銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤達(dá)到4000元？要求銷售單價不低于成本，且商家盡量讓利給顧客．【解答】解：設(shè)銷售單價為元時，每天的銷售利潤達(dá)到4000元，由題意得，，解得：，，晨光文具店銷售單價不低于成本，且商家盡量讓利顧客，，答：銷售單價為70元時，每天的銷售利潤達(dá)到4000元，且商家盡量讓利顧客．重點(diǎn)題型四傳染問題1．有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．（1）求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？2．衛(wèi)生部疾病控制專家經(jīng)過調(diào)研提出，如果1人傳播10人以上而且被傳染的人已經(jīng)確定為新冠肺炎，那么這個傳播者就可以稱為“超級傳播者”．如果某鎮(zhèn)有1人不幸成為新冠肺炎病毒的攜帶者，假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人成為新冠肺炎病毒的攜帶者．（1）經(jīng)過計算，判斷最初的這名病毒攜帶者是“超級傳播者”嗎？寫出過程．（2）若不加以控制傳染渠道，經(jīng)過3輪傳染，共有多少人成為新冠肺炎病毒的攜帶者？重點(diǎn)題型五循環(huán)問題1、某校要組織“風(fēng)華杯”籃球賽，賽制為單循環(huán)形式（每兩隊(duì)之間都賽一場）．①如果有4支球隊(duì)參加比賽，那么共進(jìn)行6場比賽；②如果全校一共進(jìn)行36場比賽，那么有多少支球隊(duì)參加比賽？【解答】解：（1）（場．故答案為：6．（2）設(shè)有支球隊(duì)參加比賽，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：如果全校一共進(jìn)行36場比賽，那么有9支球隊(duì)參加比賽．2、參加足球聯(lián)賽的每兩隊(duì)之間都要進(jìn)行兩場比賽，共要比賽132場，共有多少個球隊(duì)參加比賽？【解答】解：設(shè)共有個隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：或（舍去）．故共有12個隊(duì)參加比賽．練習(xí)4：1．為促進(jìn)新舊功能轉(zhuǎn)換，提高經(jīng)濟(jì)效益，某科技公司近期研發(fā)出一種新型高科技設(shè)備，每臺設(shè)備成本價為25萬元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該設(shè)備的月銷售量（臺和銷售單價（萬元）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求月銷售量與銷售單價的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)相關(guān)規(guī)定，此設(shè)備的銷售單價不得高于35萬元，如果該公司想獲得130萬元的月利潤，那么該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是多少萬元？【解答】解：（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為，依題意，得解得所以與的函數(shù)關(guān)系式為．（2）依題知．整理方程，得．解得，．此設(shè)備的銷售單價不得高于35萬元，（舍，所以．答：該設(shè)備的銷售單價應(yīng)是27萬元．2．如圖，一塊矩形小花園長為20米，寬為18米，主人設(shè)計了橫縱方向的等寬小道路（圖中陰影部分），道路之外種植花草，為了使種植花草的面積達(dá)到總面積的，求道路的寬度．【解答】解，設(shè)道路的寬度為米，根據(jù)題意，得．解得（不合題意，舍去），．答：道路的寬度為2米．3．用一塊邊長為的正方形薄鋼片制作成一個沒有蓋的長方體盒子，可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形（如圖①，然后把四邊折合起來（如圖②．若做成的盒子的底面積為時，求截去的小正方形的邊長．【解答】解：設(shè)截去的小正方形長為，依題意列方程解得：，（舍去）答：截去的小正方形長為．4．國內(nèi)豬肉價格不斷上漲，已知今年10月的豬肉價格比今年年初上漲了，李奶奶10月在某超市購買1千克豬肉花了72元錢．（1）今年年初豬肉的價格為每千克多少元？（2）某超市將進(jìn)貨價為每千克55元的豬肉按10月價格出售，平均一天能銷售出100千克，隨著國家對豬肉價格的調(diào)控，超市發(fā)現(xiàn)豬肉的售價每千克下降1元，其日銷售量就增加10千克，超市為了實(shí)現(xiàn)銷售豬肉每天有1800元的利潤，并且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，豬肉的售價應(yīng)該下降多少元？【解答】解：（1）設(shè)今年年初豬肉的價格為每千克元，依題意，得，解得．答：今年年初豬肉的價格為每千克40元．（2）設(shè)豬肉的售價應(yīng)該下降元，則每日可售出千克，依題意，得，整理，得，解得，．讓顧客得到實(shí)惠，．答：豬肉的售價應(yīng)該下降5元．例題5解直角三角形市體育協(xié)會在天德湖公園主辦的放風(fēng)箏比賽．比賽中小軍在處不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹的樹梢上（如圖），固定在了處，此時風(fēng)箏線與水平線的夾角為．為了便于觀察，小軍迅速向前邊移動邊收線到達(dá)了離處6米的處，此時風(fēng)箏線與水平線的夾角為．已知點(diǎn)、、在同一條直線上，．請求出此時小軍手中的風(fēng)箏線的長度約是多少米？（本題中風(fēng)箏線均視為線段，，，最后結(jié)果精確到1米）【解答】解：由題意可知：米，，，在中，，設(shè)米，則米，在中，；解得：米；故在中，米．答：此時小軍手中的風(fēng)箏線的長度約是12米．練習(xí)：1．（2022廣州）某數(shù)學(xué)活動小組利用太陽光線下物體的影子和標(biāo)桿測量旗桿的高度．如圖，在某一時刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時在C處立一根標(biāo)桿CD，標(biāo)桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．（1）求BC的長；（2）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．【能力展示】（真題演練）1．（2023廣州）因活動需要購買某種水果，數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)通過市場調(diào)查得知：在甲商店購買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示；在乙商店購買該水果的費(fèi)用（元）與該水果的質(zhì)量x（千克）之間的函數(shù)解析式為（）.（1）求與x之間的函數(shù)解析式；（2）現(xiàn)計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？【答案】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，（2）選甲家商店能購買該水果更多一些【小問1詳解】解：當(dāng)時，設(shè)，將代入，得，∴，∴；當(dāng)時，設(shè)，將點(diǎn)，代入，得，解得，∴【小問2詳解】當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，∵，∴選甲家商店能購買該水果更多一些．2.（2021廣州）民生無小事，枝葉總關(guān)情，廣東在“我為群眾辦實(shí)事”實(shí)踐活動中推出“粵菜師傅”“廣東技工”“南粵家政”三項(xiàng)培訓(xùn)工程，今年計劃新增加培訓(xùn)共100萬人次．（1）若“廣東技工”今年計劃新增加培訓(xùn)31萬人次，“粵菜師傅”今年計劃新增加培訓(xùn)人次是“南粵家政”的2倍，求“南粵家政”今年計劃新增加的培訓(xùn)人次；（2）“粵菜師傅”工程開展以來，已累計帶動33.6萬人次創(chuàng)業(yè)就業(yè)，據(jù)報道，經(jīng)過“粵菜師傅”項(xiàng)目培訓(xùn)的人員工資穩(wěn)定提升，已知李某去年的年工資收入為9.6萬元，預(yù)計李某今年的年工資收入不低于12.48萬元，則李某的年工資收入增長率至少要達(dá)到多少？解：（1）設(shè)“南粵家政”今年計劃新增加培訓(xùn)x萬人次，則“粵菜師傅”今年計劃新增加培訓(xùn)2x萬人次，依題意得：31+2x+x＝100，解得：x＝23．答：“南粵家政”今年計劃新增加培訓(xùn)23萬人次．（2）設(shè)李某的年工資收入增長率為m，依題意得：9.6（1+m）≥12.48，解得：m≥0.3＝30%．答：李某的年工資收入增長率至少要達(dá)到30%．3.（2020廣州）粵港澳大灣區(qū)自動駕駛產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟積極推進(jìn)自動駕駛出租車應(yīng)用落地工作，無人化是自動駕駛的終極目標(biāo)．某公交集團(tuán)擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場．今年每輛無人駕駛出租車的改裝費(fèi)用是50萬元，預(yù)計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費(fèi)用可下降50%．（1）求明年每輛無人駕駛出租車的預(yù)計改裝費(fèi)用是多少萬元；（2）求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛．解：（1）50×（1﹣50%）＝25（萬元）．故明年每輛無人駕駛出租車的預(yù)計改裝費(fèi)用是25萬元；（2）設(shè)明年改裝的無人駕駛出租車是x輛，則今年改裝的無人駕駛出租車是（260﹣x）輛，依題意有50（260﹣x）+25x＝9000，解得x＝160．故明年改裝的無人駕駛出租車是160輛．4.（2019廣州）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進(jìn)，廣東省正加速布局以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)，據(jù)統(tǒng)計，目前廣東基站的數(shù)量約1.5萬座，計劃到2020年底，全省基站數(shù)是目前的4倍，到2022年底，全省基站數(shù)量將達(dá)到17.34萬座．（1）計劃到2020年底，全省基站的數(shù)量是多少萬座？（2）按照計劃，求2020年底到2022年底，全省基站數(shù)量的年平均增長率．解：（1）（萬座）．答：計劃到2020年底，全省基站的數(shù)量是6萬座．（2）設(shè)2020年底到2022年底，全省基站數(shù)量的年平均增長率為，依題意，得：，解得：，（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省基站數(shù)量的年平均增長率為．5．（2018廣州）友誼商店型號筆記本電腦的售價是元臺．最近，該商店對型號筆記本電腦舉行促銷活動，有兩種優(yōu)惠方案．方案一：每臺按售價的九折銷售；方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售．某公司一次性從友誼商店購買型號筆記本電腦臺．（1）當(dāng)時，應(yīng)選擇哪種方案，該公司購買費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少元？（2）若該公司采用方案二購買更合算，求的取值范圍．解：設(shè)購買型號筆記本電腦臺時的費(fèi)用為元，（1）當(dāng)時，方案一：，方案二：，當(dāng)時，應(yīng)選擇方案一，該公司購買費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是元；（2）若該公司采用方案二購買更合算，，方案一：，方案二：當(dāng)時，，則，，的取值范圍是．6．（2020花都一模）新冠肺炎疫情爆發(fā)之后，全國許多省市對湖北各地進(jìn)行了援助，廣州市某醫(yī)療隊(duì)備好醫(yī)療防護(hù)物資迅速援助武漢．第一批醫(yī)療隊(duì)員乘坐高鐵從廣州出發(fā)，2.5小時后，第二批醫(yī)療隊(duì)員乘坐飛機(jī)從廣州出發(fā)，兩批隊(duì)員剛好同時到達(dá)武漢．已知廣州到武漢的飛行距離為800千米，高鐵路程為飛行距離的54（1）求廣州到武漢的高鐵路程；（2）若飛機(jī)速度與高鐵速度之比為5：2，求飛機(jī)和高鐵的速度．解：（1）800×5答：廣州到武漢的高鐵路程為1000千米．（2）設(shè)飛機(jī)的速度為5x千米/小時，則高鐵的速度為2x千米/小時，依題意，得：10002x解得：x＝136，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝136是原方程的解，且符合題意，∴2x＝272，5x＝680．答：飛機(jī)的速度為680千米/小時，高鐵的速度為272千米/小時．7.（2021花都一模）廣州某公交線路日均運(yùn)送乘客總量為15600人次，實(shí)施5G快速公交智能調(diào)度后，每趟車平均運(yùn)送乘客量比智能調(diào)度前增加了20%．若日均運(yùn)送乘客總量保持不變，則每日發(fā)車數(shù)量比智能調(diào)度前減少26趟．求實(shí)施智能調(diào)度前每趟車平均運(yùn)送乘客量為多少人次．7．某商店5月1日舉行促銷優(yōu)惠活動，當(dāng)天到該商