函數(shù)的連續(xù)性考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)是\(f(x)\)在\(x_0\)處有極限的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A\)，且\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(f(x_0)\)等于（）A.\(A\)B.\(0\)C.\(1\)D.不存在3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處（）A.連續(xù)B.極限存在C.無定義但極限存在D.無定義且極限不存在4.設(shè)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\x-1,&x\lt0\end{cases}\)，則\(f(x)\)在\(x=0\)處（）A.連續(xù)B.左連續(xù)C.右連續(xù)D.既不左連續(xù)也不右連續(xù)5.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)（）A.有最大值B.有最小值C.連續(xù)D.有界6.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的連續(xù)區(qū)間是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,0]\)7.已知函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處連續(xù)，且\(\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=2\)，則\(f^\prime(x_0)\)等于（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.不存在8.函數(shù)\(f(x)=\sinx\)在其定義域內(nèi)（）A.不連續(xù)B.連續(xù)C.僅在部分點(diǎn)連續(xù)D.無法確定連續(xù)性9.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，\(g(x)\)在\(x_0\)處不連續(xù)，則\(f(x)+g(x)\)在\(x_0\)處（）A.一定連續(xù)B.一定不連續(xù)C.可能連續(xù)D.無法判斷10.函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處補(bǔ)充定義\(f(1)\)為（）時，函數(shù)在\(x=1\)處連續(xù)。A.\(1\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(-1\)答案：1.A2.A3.D4.C5.C6.B7.C8.B9.B10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\sqrt{x^2+1}\)D.\(y=\sinx\)2.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)的充要條件是（）A.\(\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)\)B.\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)C.\(f(x)\)在\(x_0\)處有定義D.\(\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)=f(x_0)\)3.下列說法正確的是（）A.連續(xù)函數(shù)一定有極限B.有極限的函數(shù)一定連續(xù)C.函數(shù)在某點(diǎn)處左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)D.函數(shù)在某點(diǎn)處有定義且極限存在，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)4.已知函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最大值B.\(f(x)\)在\([a,b]\)上有最小值C.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)D.\(f(x)\)在\([a,b]\)上可導(dǎo)5.若函數(shù)\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x_0\)處都連續(xù)，則（）A.\(f(x)+g(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)B.\(f(x)-g(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)C.\(f(x)\cdotg(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)D.\(\frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x_0)\neq0\)）在\(x_0\)處連續(xù)6.函數(shù)\(y=\lnx\)的連續(xù)區(qū)間是（）A.\((0,+\infty)\)B.\([0,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.其定義域7.下列函數(shù)在\(x=0\)處連續(xù)的有（）A.\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x\geq0\\x,&x\lt0\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\geq0\\1,&x\lt0\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0\\x,&x\lt0\end{cases}\)8.關(guān)于函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)的關(guān)系，正確的是（）A.間斷點(diǎn)處函數(shù)一定不連續(xù)B.函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)一定是間斷點(diǎn)C.可去間斷點(diǎn)可以通過補(bǔ)充定義使其連續(xù)D.跳躍間斷點(diǎn)無法通過補(bǔ)充定義使其連續(xù)9.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，且\(f(x_0)\gt0\)，則存在\(\delta\gt0\)，使得當(dāng)\(|x-x_0|\lt\delta\)時（）A.\(f(x)\gt0\)B.\(f(x)\lt0\)C.\(f(x)\)與\(f(x_0)\)同號D.\(f(x)\)符號不確定10.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上連續(xù)，下列結(jié)論正確的是（）A.\(f(I)\)是一個區(qū)間B.若\(I\)為閉區(qū)間，則\(f(I)\)為閉區(qū)間C.若\(I\)為開區(qū)間，則\(f(I)\)為開區(qū)間D.\(f(x)\)在\(I\)上具有介值性答案：1.ACD2.BCD3.AC4.ABC5.ABCD6.AD7.BC8.ABCD9.AC10.AD三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處有定義，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)在\(x=0\)處極限不存在，所以不連續(xù)。（）4.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最大值和最小值。（）5.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處左連續(xù)且右連續(xù)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)。（）6.若函數(shù)\(f(x)\)和\(g(x)\)都在\(x_0\)處不連續(xù)，則\(f(x)+g(x)\)在\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）7.函數(shù)\(y=\cosx\)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。（）8.可去間斷點(diǎn)處函數(shù)極限不存在。（）9.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上也連續(xù)。（）10.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，且\(f(x_0)=0\)，則一定存在\(\delta\gt0\)，使得當(dāng)\(|x-x_0|\lt\delta\)時，\(f(x)=0\)。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義。答案：設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)，那么就稱函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)。2.指出函數(shù)\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)的間斷點(diǎn)，并說明類型。答案：\(x=2\)是間斷點(diǎn)。\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=4\)，但\(f(2)\)無定義，所以\(x=2\)是可去間斷點(diǎn)。3.若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，\(f(a)\lt0\)，\(f(b)\gt0\)，說明必有\(zhòng)(\xi\in(a,b)\)使\(f(\xi)=0\)的依據(jù)。答案：根據(jù)零點(diǎn)定理，若函數(shù)\(f(x)\)在閉區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\)與\(f(b)\)異號，那么在開區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)至少有一點(diǎn)\(\xi\)，使得\(f(\xi)=0\)。4.說明函數(shù)連續(xù)性與極限存在的關(guān)系。答案：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)極限一定存在；但函數(shù)在某點(diǎn)極限存在，不一定在該點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)還要求函數(shù)在該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)值。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\lt0\\0,&x=0\\x-1,&x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續(xù)性。答案：\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}(x+1)=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x-1)=-1\)，左右極限不相等，\(\lim\limits_{x\to0}f(x)\)不存在，所以\(f(x)\)在\(x=0\)處不連續(xù)。2.舉例說明函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)但不一定可導(dǎo)，并討論原因。答案：例如\(y=|x|\)在\((-\infty,+\infty)\)連續(xù)。在\(x=0\)處，\(\lim\limits_{x\to0^-}\frac{|x|-0}{x}=-1\)，\(\lim\limits_{x\to0^+}\frac{|x|-0}{x}=1\)，