高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市張家港市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.空間四邊形OABC中，，，，點M，N分別為OA，BC中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】為BC中點，，為OA的中點，，.故選：B.2.若直線l沿x軸向左平移4個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率是（）A. B. C.2 D.-2【答案】B【解析】設(shè)直線l的方程為，現(xiàn)直線l沿x軸向左平移4個單位長度得，再沿y軸向上平移2個單位長度得，因為回到原來位置，所以，故故選：B.3.已知動點與兩定點的距離之比為，則動點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)Mx,y，由題可知故選：D.4.經(jīng)過點作直線l，若直線l與連接兩點線段總有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為，則直線與連接的線段總有公共點，或，即或，又，則有.故選：C.5.若兩直線平行，則實數(shù)的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得且，解得.故選：B.6.已知圓C的圓心在直線上，并且圓C經(jīng)過圓與圓的交點，則圓C的圓心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓與圓的交點為聯(lián)立兩圓方程，得，解得，或不妨記，，于是的中點為，從而可得AB的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立與，得，解得，即圓心坐標為.故選：D.7.過點有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰好被點P平分，則三條直線圍成的三角形面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線

l

夾在直線

之間的線段是

AB

在

上，

B

在

上)，設(shè)，因為

AB

被點

P

平分，所以

，于是

，由于

A

在

上，

B

在

上，所以

，解得

，即，而

，則，聯(lián)立，即與交于點則，又點A到直線的距離為，則三條直線圍成的三角形面積為故選：B.8.已知矩形ABCD，，，M為邊DC上一點且，AM與BD交于點Q，將沿著AM折起，使得點D折到點P的位置，則的最大值是（）A. B. C.23 D.【答案】A【解析】在矩形，，，，由可得由可得，則，即，可知折起后，必有，，平面，故平面，因為是確定的直線，故對任意點P，都在同一個確定的平面內(nèi)，因為，可知點P在以點Q為圓心，半徑為的圓上（如圖），由圖知，當且僅當PB與該圓相切時，取到最大值，則也取到最大值，此時,，則的最大值為故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知棱長為3的正方體，則（）A.B.與所成角的大小為C.平面與平面的距離為3D.平面與平面ABCD所成角的大小為【答案】AC【解析】以D為坐標原點，的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.正方體棱長為3，則，對于選項A，因為，，所以，故A正確；對于選項，，所以與所成角的大小為，故B不正確；對于選項C，平面與平面平行，兩平面的距離可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，則，即，解得，故C正確；對于選項D，設(shè)平面的法向量，，則，取，易知平面ABCD的一個法向量為，，所以平面與平面ABCD所成角的大小不為，故D不正確.故選：AC.10.已知直線，圓，則（）A.直線始終與圓相交B.直線被圓截得的弦長最大值為4C.若直線與圓相交于A，B兩點，且，則D.若圓上有且只有四個點到直線的距離為，則【答案】BCD【解析】對于A，直線，即，則直線恒過定點，注意到在圓的外部，故直線與圓不一定相交，故選項A錯誤；對于B，顯然當直線經(jīng)過圓心時，此時，直線被圓截得的弦長最大，最大值，故選項B正確；對于C，若直線與圓相交于兩點，且，圓的半徑是，在等腰直角三角形中，則圓心到直線的距離，即，解得，故C正確;對于D，若圓上有且只有四個點到直線的距離為，則圓心到直線的距離，解得，故選項D正確；故選：BCD.11.已知空間四面體OABC，則（）A.當，則點P在平面ABC內(nèi)B.若該四面體的棱長都為a，則異面直線OA，BC間的距離為C.若M為AB中點，則直線OC上存在點N，使得D.若，，則【答案】ABD【解析】對于A：若，且，所以四點共面，即點P在平面ABC內(nèi)，故A正確；對于B：若該四面體的棱長都為a，可知四面體OABC為正四面體，將其嵌套在正方體內(nèi)，如圖所示：可知正方體的棱長為，異面直線OA，BC間的距離即為正方體的棱長，故B正確；對于C：因為點N在直線OC上，若點N與點O重合，則，不滿足；若點N與點O不重合，則平面OBC，平面，，可知為異面直線，不滿足；綜上所述：直線OC上不存在點N，使得，故C錯誤；對于D：若，，則即，即∴，可得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，A2,0,0，，，則三棱錐的體積是______.【答案】4【解析】由題意作出圖形，如圖所示：則OA，OB，OC兩兩互相垂直，且，，，所以三棱錐的體積是：.13.圓與圓C關(guān)于直線對稱，寫出兩圓的一條公切線：__________.【答案】答案不唯一)【解析】設(shè)關(guān)于直線對稱點的坐標為，則，解得，圓C的方程是，其圓心坐標為，半徑為1，兩圓的圓心距，所以兩圓外離，且，設(shè)與OC平行的公切線方程為，即，則由O到直線的距離，可得，解得，所以兩圓的一條公切線為或，另外，根據(jù)對稱性可知，x=1，也為兩圓的公切線.故答案為：答案不唯一).14.在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)的圖象與坐標軸分別交于點A，B，C，記的外接圓為圓①當時，圓E的一般式方程是__________;②圓E恒過的兩個定點是__________.【答案】【解析】①當時，二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸交于點，，，的外接圓為圓E，設(shè)所求圓的一般方程為，，令，得，由題意可得，這與是同一個方程，故，令x=0，得，由題意可得，此方程有一個根為，代入此方程得出，所以圓E的一般方程為；②設(shè)所求圓的一般方程為，，令，得，由題意可得，這與是同一個方程，故，令x=0，得，由題意可得，此方程有一個根為，代入此方程得出，所以圓E的一般方程為，當x=0時，或，故圓E恒過定點.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直三棱柱，F(xiàn)為BC中點，，與交于點（1）求證：平面（2）若是等邊三角形且，求證：平面證明：（1）連接，且，又在中，，，又平面，平面，平面（2）因為直三棱柱，平面ABC，又平面ABC，，又是等邊三角形，F(xiàn)為BC中點，，又，BC，平面，平面，又平面，在中，，，在中，，，，，即，又，，，平面，平面16.已知的三個頂點是，求：（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）的角平分線所在直線的方程.解：（1）首先求BC中點坐標，已知，根據(jù)中點坐標公式，BC中點，已知中線過和兩點，根據(jù)兩點式，即，化簡得，整理得.（2）先求BC邊的斜率，已知，根據(jù)斜率公式，因為高與BC垂直，設(shè)高的斜率為，則，解得，又因為高過點，根據(jù)點斜式，整理得.（3）先求AB邊的斜率，BC邊的斜率，設(shè)角平分線斜率為，根據(jù)夾角公式得，化簡交叉相乘得，繼續(xù)化簡，即或，繼續(xù)化簡（舍去），或，即，因為角平分線的斜率應(yīng)該在和之間，所以，又因為角平分線過點，根據(jù)點斜式，整理得.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD滿足，，底面ABCD，且，（1）求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值;（2）求點B到平面PCD的距離;（3）若點M為平面PBC內(nèi)的一動點，若平面PBC，求CM與平面ABCD所成角的正弦值.解：（1）平面ABCD，平面，，，又，所以AB，AD，AP兩兩垂直，以AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.則，，，，平面PAB的一個法向量為，設(shè)平面PCD的法向量為，又，，，，取，所以，，設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為，，所以.（2），設(shè)點B到平面PCD的距離為d，，點B到平面PCD的距離為.（3）平面PBC內(nèi)一動點，設(shè)，設(shè)，又，，，代入得，解得點，，又平面PBC，且，所以且，所以，則，所以，又平面ABCD的一個法向量為，，與平面ABCD所成角的正弦值為18.如圖，在平行六面體中，，，，（1）當時，求證：平面（2）當時，①求四邊形的面積;②求與平面所成角的余弦值.（1）證明：設(shè)，，，則，所以，，所以，所以，即同理，又，，平面，所以平面（2）解：①因為且，，所以，，又，，，即，所以，所以②連接，交于點H，連接，AH菱形，，又，所以又，，平面，所以平面為與平面所成的角，又，，，又，，，所以，所以與平面所成角的余弦值為19.已知圓內(nèi)有一點，傾斜角為直線過點且與圓交于兩點.（1）當時，求的長；（2）是否存在弦被點三等分？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由；（3）記圓與軸的正半軸交點為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.（1）解：因為，所以，直線的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以（2）解：取的中點為，如圖，假設(shè)存在弦被點三等分，設(shè)，，則，，解得，當斜率不存在時，，故斜率存在，設(shè)斜率為，則：，，解得，即存在弦被點三等分，直線的斜率為.（3）證明：由題意知，,當直線斜率不存在時，，，不妨取，則，此時直線斜率存在時，設(shè)方程為，代入圓的方程可得，設(shè)，則，又，所以綜上，為定值.江蘇省蘇州市張家港市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.空間四邊形OABC中，，，，點M，N分別為OA，BC中點，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】為BC中點，，為OA的中點，，.故選：B.2.若直線l沿x軸向左平移4個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率是（）A. B. C.2 D.-2【答案】B【解析】設(shè)直線l的方程為，現(xiàn)直線l沿x軸向左平移4個單位長度得，再沿y軸向上平移2個單位長度得，因為回到原來位置，所以，故故選：B.3.已知動點與兩定點的距離之比為，則動點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)Mx,y，由題可知故選：D.4.經(jīng)過點作直線l，若直線l與連接兩點線段總有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為，則直線與連接的線段總有公共點，或，即或，又，則有.故選：C.5.若兩直線平行，則實數(shù)的取值集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得且，解得.故選：B.6.已知圓C的圓心在直線上，并且圓C經(jīng)過圓與圓的交點，則圓C的圓心是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓與圓的交點為聯(lián)立兩圓方程，得，解得，或不妨記，，于是的中點為，從而可得AB的垂直平分線方程為，即，聯(lián)立與，得，解得，即圓心坐標為.故選：D.7.過點有一條直線l，它夾在兩條直線與之間的線段恰好被點P平分，則三條直線圍成的三角形面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線

l

夾在直線

之間的線段是

AB

在

上，

B

在

上)，設(shè)，因為

AB

被點

P

平分，所以

，于是

，由于

A

在

上，

B

在

上，所以

，解得

，即，而

，則，聯(lián)立，即與交于點則，又點A到直線的距離為，則三條直線圍成的三角形面積為故選：B.8.已知矩形ABCD，，，M為邊DC上一點且，AM與BD交于點Q，將沿著AM折起，使得點D折到點P的位置，則的最大值是（）A. B. C.23 D.【答案】A【解析】在矩形，，，，由可得由可得，則，即，可知折起后，必有，，平面，故平面，因為是確定的直線，故對任意點P，都在同一個確定的平面內(nèi)，因為，可知點P在以點Q為圓心，半徑為的圓上（如圖），由圖知，當且僅當PB與該圓相切時，取到最大值，則也取到最大值，此時,，則的最大值為故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知棱長為3的正方體，則（）A.B.與所成角的大小為C.平面與平面的距離為3D.平面與平面ABCD所成角的大小為【答案】AC【解析】以D為坐標原點，的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.正方體棱長為3，則，對于選項A，因為，，所以，故A正確；對于選項，，所以與所成角的大小為，故B不正確；對于選項C，平面與平面平行，兩平面的距離可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，則，即，解得，故C正確；對于選項D，設(shè)平面的法向量，，則，取，易知平面ABCD的一個法向量為，，所以平面與平面ABCD所成角的大小不為，故D不正確.故選：AC.10.已知直線，圓，則（）A.直線始終與圓相交B.直線被圓截得的弦長最大值為4C.若直線與圓相交于A，B兩點，且，則D.若圓上有且只有四個點到直線的距離為，則【答案】BCD【解析】對于A，直線，即，則直線恒過定點，注意到在圓的外部，故直線與圓不一定相交，故選項A錯誤；對于B，顯然當直線經(jīng)過圓心時，此時，直線被圓截得的弦長最大，最大值，故選項B正確；對于C，若直線與圓相交于兩點，且，圓的半徑是，在等腰直角三角形中，則圓心到直線的距離，即，解得，故C正確;對于D，若圓上有且只有四個點到直線的距離為，則圓心到直線的距離，解得，故選項D正確；故選：BCD.11.已知空間四面體OABC，則（）A.當，則點P在平面ABC內(nèi)B.若該四面體的棱長都為a，則異面直線OA，BC間的距離為C.若M為AB中點，則直線OC上存在點N，使得D.若，，則【答案】ABD【解析】對于A：若，且，所以四點共面，即點P在平面ABC內(nèi)，故A正確；對于B：若該四面體的棱長都為a，可知四面體OABC為正四面體，將其嵌套在正方體內(nèi)，如圖所示：可知正方體的棱長為，異面直線OA，BC間的距離即為正方體的棱長，故B正確；對于C：因為點N在直線OC上，若點N與點O重合，則，不滿足；若點N與點O不重合，則平面OBC，平面，，可知為異面直線，不滿足；綜上所述：直線OC上不存在點N，使得，故C錯誤；對于D：若，，則即，即∴，可得，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在空間直角坐標系中，A2,0,0，，，則三棱錐的體積是______.【答案】4【解析】由題意作出圖形，如圖所示：則OA，OB，OC兩兩互相垂直，且，，，所以三棱錐的體積是：.13.圓與圓C關(guān)于直線對稱，寫出兩圓的一條公切線：__________.【答案】答案不唯一)【解析】設(shè)關(guān)于直線對稱點的坐標為，則，解得，圓C的方程是，其圓心坐標為，半徑為1，兩圓的圓心距，所以兩圓外離，且，設(shè)與OC平行的公切線方程為，即，則由O到直線的距離，可得，解得，所以兩圓的一條公切線為或，另外，根據(jù)對稱性可知，x=1，也為兩圓的公切線.故答案為：答案不唯一).14.在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)的圖象與坐標軸分別交于點A，B，C，記的外接圓為圓①當時，圓E的一般式方程是__________;②圓E恒過的兩個定點是__________.【答案】【解析】①當時，二次函數(shù)的圖象與兩坐標軸交于點，，，的外接圓為圓E，設(shè)所求圓的一般方程為，，令，得，由題意可得，這與是同一個方程，故，令x=0，得，由題意可得，此方程有一個根為，代入此方程得出，所以圓E的一般方程為；②設(shè)所求圓的一般方程為，，令，得，由題意可得，這與是同一個方程，故，令x=0，得，由題意可得，此方程有一個根為，代入此方程得出，所以圓E的一般方程為，當x=0時，或，故圓E恒過定點.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直三棱柱，F(xiàn)為BC中點，，與交于點（1）求證：平面（2）若是等邊三角形且，求證：平面證明：（1）連接，且，又在中，，，又平面，平面，平面（2）因為直三棱柱，平面ABC，又平面ABC，，又是等邊三角形，F(xiàn)為BC中點，，又，BC，平面，平面，又平面，在中，，，在中，，，，，即，又，，，平面，平面16.已知的三個頂點是，求：（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）的角平分線所在直線的方程.解：（1）首先求BC中點坐標，已知，根據(jù)中點坐標公式，BC中點，已知中線過和兩點，根據(jù)兩點式，即，化簡得，整理得.（2）先求BC邊的斜率，已知，根據(jù)斜率公式，因為高與BC垂直，設(shè)高的斜率為，則，解得，又因為高過點，根據(jù)點斜式，整理得.（3）先求AB邊的斜率，BC邊的斜率，設(shè)角平分線斜率為，根據(jù)夾角公式得，化簡交叉相乘得，繼續(xù)化簡，即或，繼續(xù)化簡（舍去），或，即，因為角平分線的斜率應(yīng)該在和之間，所以，又因為角平分線過點，根據(jù)點斜式，整理得.17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD滿足，，底面ABCD，且