高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一?二冊，選擇性必修第三冊第六?七章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.3 B.27 C.81 D.18【答案】C【解析】因為，所以.故選：C2.設等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為為等比數(shù)列，所以也為等比數(shù)列，則有，設，則，所以，故.故選：D.3.已知橢圓的離心率為，過左焦點的直線交于兩點，為該橢圓的右焦點，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知的周長為.因為所以，故的周長為.故選：A4.若二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（）A.12 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】因為展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共有11項，即.故選：B.5.已知函數(shù)，則的單調遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知函數(shù)定義域為，因為，所以，令，得，所以，即，所以的單調遞增區(qū)間為，故選：A.6.設雙曲線的離心率為，實軸長為，若曲線上的點到雙曲線的兩個焦點的距離之和為，則曲線的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為雙曲線的實軸長為，所以，因為雙曲線的離心率為，所以，則，所以，雙曲線的方程為，因為曲線上的點到雙曲線的兩個焦點的距離之和為，由橢圓的定義可知，曲線是以雙曲線的兩個焦點為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓的方程為，則，所以，，因此，橢圓的方程為.故選：D.7.函數(shù)的極小值點為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】.令，得；令，得.可知在，上單調遞增，在上單調遞減，所以極小值點為1.故選：B.8.包括甲、乙、丙在內的6人排成一排照相，要求甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排列種數(shù)為（）A.180 B.246 C.168 D.192【答案】D【解析】當甲乙相鄰且與丙不相鄰時，先將其余三人全排列，有種排法，再將甲乙組合與丙插空，有種排法，則有種排法；當甲與乙相鄰且乙與丙相鄰，則有種排法，綜上可得一共有種排法.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.過點向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設切點，因為，則，則切線方程為，又，所以，又切線過點，所以，整理得到，即，所以或，當時，切線方程為，即，當時，切線方程為，即，故選：BD.10.定義：表示點到曲線上任意一點距離的最小值.已知是圓上的動點，圓，則的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】易知兩圓的位置關系為內含，記為坐標原點，圓的半徑為1，結合圖像易知，則.符合條件的有ABC，故選：ABC11.如圖所示，楊輝三角是二項式系數(shù)的一種幾何排列，第行是的展開式的二項式系數(shù)，直觀解釋二項式系數(shù)規(guī)律，記第行從左至右的第個數(shù)為，若被2024除所得的余數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，所以被2024除所得的余數(shù)為，所以.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______，______.【答案】1；【解析】令，得.令，得，所以，故.故答案為：1，13.已知隨機事件滿足，則______.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：14.近年來，國內中，短途旅游人數(shù)增長顯著，2024年全年旅游人數(shù)更創(chuàng)新高，充分展示了國內文旅消費潛力.甲、乙、丙三位同學打算去上海、成都、西安、南京四個地方旅游，每位同學只去一個地方，則上海有人去的情況有______種.【答案】37【解析】上海有人去可以分為1個人去，2個人去，3個人去三類情況.當只有1個人去上海時，有種不同的情況；當有2個人去上海時，有9種不同的情況；當有3個人去上海時，有1種情況.故有人去上海共有種不同的情況.故答案為：37四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在長方體中，.（1）求直線與所成角余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因為，所以，所以直線與所成角的余弦值為；（2）設平面的法向量為，因為，所以令，得.設直線與平面所成的角為，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為；（3）設平面的法向量為，因為，所以令，得，設平面與平面所成的角為，，故平面與平面所成角的余弦值為.16.設等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為.已知，.（1）求的通項公式；（2）當時，記，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意知，解得或，當時，，，故，；當時，，，故，，所以或；（2）因為，所以.因為，所以，兩式相減得，故.17.數(shù)據(jù)顯示，中國大模型正處于一個技術進步迅速、市場規(guī)?？焖僭鲩L的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國大模型用戶的年齡分布情況，某公司調查了500名中國大模型用戶,統(tǒng)計他們的年齡（都在內），按照分組，得到如下的頻率分布直方圖.（1）估計中國大模型用戶年齡的第60百分位數(shù).（2）為了進一步了解用戶在工作中使用.模型輔助工作的需求，現(xiàn)采用分層抽樣的方式，從年齡在內的用戶中隨機選取7名用戶進行座談，為了感謝這7名用戶，公司在座談后隨機贈送每名用戶1個禮盒，其中有3個禮盒中設置了幸運大禮.①求至少有1名年齡在內的用戶獲得幸運大禮的概率；②記年齡在內的用戶中獲得幸運大禮的人數(shù)為，求的分布列.解：（1）AI大模型的用戶年齡在，，，，內的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，所以AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)在內.設AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)為，則，解得，所以估計中國AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)為40.（2）由分層抽樣可知，抽取的7名用戶中年齡在內和內的分別有3人和4人.①記至少有1名年齡在內用戶獲得幸運大禮為事件，則，所以至少有1名年齡在內的用戶獲得幸運大禮的概率為.②的所有可能取值為0，1，2，3.，，，，所以分布列為012318.已知點、在拋物線上，為原點，且是以為斜邊的等腰直角三角形，斜邊長為．（1）求拋物線的方程；（2）若點在圓上，過點分別作的直線、與拋物線相切于、兩點，求的取值范圍．解：（1）由題意知，、兩點關于軸對稱，設點在軸右側，則，即點，將點的坐標代入拋物線方程可得，解得，故拋物線的方程為.（2）不妨設點、分別在第一、二象限，直線的方程為，設點、，聯(lián)立得，，由韋達定理可得，，由得，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，同理可知，直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立直線、的方程得，解得，則，故點，因為點在圓上，所以，且，顯然成立，過點作軸的垂線，垂足為點，，，，令，因為，則，，所以，令，則函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減，故當時，取最小值，且最小值為，當時，取最大值，且最大值為.因此，的取范圍是.19.已知函數(shù)的導函數(shù)為，我們稱函數(shù)的導函數(shù)為函數(shù)的二階導函數(shù)，若一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的二階導函數(shù)，則稱為上的凹函數(shù)，若二階導函數(shù)，則稱為上的凸函數(shù).（1）若函數(shù)是上的凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.（2）已知函數(shù).①若是上凹函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；②若在內有兩個不同的零點，證明：.解：（1）因為，定義域為，所以，.因為是上的凸函數(shù)，所以在上恒成立，即當時，恒成立.函數(shù)圖象的對稱軸為直線，當，即時，只需時，即可，所以，當，即時，只需時，即可，所以，綜上可得.（2）①因為，，所以，.因為是上的凹函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則.當時，，則，單調遞增；當時，，則，單調遞減.所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.②由①知，因為在內有兩個不同的零點，，所以方程在內有兩個根，，即.因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以.欲證，即證.因為且在上單調遞減，所以只需證明，即證.欲證，即證，即，只需證，即證，而該式顯然成立.欲證，即證.因為，所以只需證，即證，即需證.令，，則，所以在上單調遞增，所以，則原不等式得證.故.山西省2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：人教A版選擇性必修第一?二冊，選擇性必修第三冊第六?七章.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.3 B.27 C.81 D.18【答案】C【解析】因為，所以.故選：C2.設等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為為等比數(shù)列，所以也為等比數(shù)列，則有，設，則，所以，故.故選：D.3.已知橢圓的離心率為，過左焦點的直線交于兩點，為該橢圓的右焦點，則的周長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知的周長為.因為所以，故的周長為.故選：A4.若二項式的展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則（）A.12 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】因為展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共有11項，即.故選：B.5.已知函數(shù)，則的單調遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知函數(shù)定義域為，因為，所以，令，得，所以，即，所以的單調遞增區(qū)間為，故選：A.6.設雙曲線的離心率為，實軸長為，若曲線上的點到雙曲線的兩個焦點的距離之和為，則曲線的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為雙曲線的實軸長為，所以，因為雙曲線的離心率為，所以，則，所以，雙曲線的方程為，因為曲線上的點到雙曲線的兩個焦點的距離之和為，由橢圓的定義可知，曲線是以雙曲線的兩個焦點為焦點，長軸長為的橢圓，設橢圓的方程為，則，所以，，因此，橢圓的方程為.故選：D.7.函數(shù)的極小值點為（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】.令，得；令，得.可知在，上單調遞增，在上單調遞減，所以極小值點為1.故選：B.8.包括甲、乙、丙在內的6人排成一排照相，要求甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的排列種數(shù)為（）A.180 B.246 C.168 D.192【答案】D【解析】當甲乙相鄰且與丙不相鄰時，先將其余三人全排列，有種排法，再將甲乙組合與丙插空，有種排法，則有種排法；當甲與乙相鄰且乙與丙相鄰，則有種排法，綜上可得一共有種排法.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.過點向曲線作切線，切線方程可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】設切點，因為，則，則切線方程為，又，所以，又切線過點，所以，整理得到，即，所以或，當時，切線方程為，即，當時，切線方程為，即，故選：BD.10.定義：表示點到曲線上任意一點距離的最小值.已知是圓上的動點，圓，則的取值可能是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】易知兩圓的位置關系為內含，記為坐標原點，圓的半徑為1，結合圖像易知，則.符合條件的有ABC，故選：ABC11.如圖所示，楊輝三角是二項式系數(shù)的一種幾何排列，第行是的展開式的二項式系數(shù)，直觀解釋二項式系數(shù)規(guī)律，記第行從左至右的第個數(shù)為，若被2024除所得的余數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，所以被2024除所得的余數(shù)為，所以.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______，______.【答案】1；【解析】令，得.令，得，所以，故.故答案為：1，13.已知隨機事件滿足，則______.【答案】【解析】因為，所以.故答案為：14.近年來，國內中，短途旅游人數(shù)增長顯著，2024年全年旅游人數(shù)更創(chuàng)新高，充分展示了國內文旅消費潛力.甲、乙、丙三位同學打算去上海、成都、西安、南京四個地方旅游，每位同學只去一個地方，則上海有人去的情況有______種.【答案】37【解析】上海有人去可以分為1個人去，2個人去，3個人去三類情況.當只有1個人去上海時，有種不同的情況；當有2個人去上海時，有9種不同的情況；當有3個人去上海時，有1種情況.故有人去上海共有種不同的情況.故答案為：37四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在長方體中，.（1）求直線與所成角余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因為，所以，所以直線與所成角的余弦值為；（2）設平面的法向量為，因為，所以令，得.設直線與平面所成的角為，因為，所以，即直線與平面所成角的正弦值為；（3）設平面的法向量為，因為，所以令，得，設平面與平面所成的角為，，故平面與平面所成角的余弦值為.16.設等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為.已知，.（1）求的通項公式；（2）當時，記，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意知，解得或，當時，，，故，；當時，，，故，，所以或；（2）因為，所以.因為，所以，兩式相減得，故.17.數(shù)據(jù)顯示，中國大模型正處于一個技術進步迅速、市場規(guī)?？焖僭鲩L的爆發(fā)式發(fā)展階段.為了解中國大模型用戶的年齡分布情況，某公司調查了500名中國大模型用戶,統(tǒng)計他們的年齡（都在內），按照分組，得到如下的頻率分布直方圖.（1）估計中國大模型用戶年齡的第60百分位數(shù).（2）為了進一步了解用戶在工作中使用.模型輔助工作的需求，現(xiàn)采用分層抽樣的方式，從年齡在內的用戶中隨機選取7名用戶進行座談，為了感謝這7名用戶，公司在座談后隨機贈送每名用戶1個禮盒，其中有3個禮盒中設置了幸運大禮.①求至少有1名年齡在內的用戶獲得幸運大禮的概率；②記年齡在內的用戶中獲得幸運大禮的人數(shù)為，求的分布列.解：（1）AI大模型的用戶年齡在，，，，內的頻率分別為0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，所以AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)在內.設AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)為，則，解得，所以估計中國AI大模型用戶年齡的第60百分位數(shù)為40.（2）由分層抽樣可知，抽取的7名用戶中年齡在內和內的分別有3人和4人.①記至少有1名年齡在內用戶獲得幸運大禮為事件，則，所以至少有1名年齡在內的用戶獲得幸運大禮的概率為.②的所有可能取值為0，1，2，3.，，，，所以分布列為012318.已知點、在拋物線上，為原點，且是以為斜邊的等腰直角三角形，斜邊長為．（1）求拋物線的方程；（2）若點在圓上，過點分別作的直線、與拋物線相切于、兩點