高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省嘉興八校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷選擇題部分一、選擇題Ⅰ：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線過、兩點，則該直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，直線斜率為.故選：C.2.已知直線：與：，若，則為（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由，則有，解得，當(dāng)時，：與：，兩直線不重合；當(dāng)時，：與：，兩直線不重合；故.故選：D.3.已知，分別為橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，若，則為（）A.1 B.4 C.6 D.7【答案】B【解析】由橢圓定義可得，故.故選：B.4.已知，分別是平面，的法向量，且，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】因為，分別是平面，的法向量，且，所以，即，解得，故選：B.5.經(jīng)過點作圓的切線，則切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知切線斜率存在，設(shè)該切線方程為，即，則有，化簡得，故，故該切線方程為，即.故選：C.6.如圖，在三棱錐中，已知是上靠近的三等分點，是的中點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】是上靠近的三等分點，是的中點，故.故選：D7.已知圓：與圓：有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圓：與圓：有兩條公切線，可知兩圓位置關(guān)系是相交，即圓心距小于半徑之和且大于半徑之差，則，解得：，故選：A.8.已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與橢圓相交于，兩點，若，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，則，由橢圓定義可得，故，即有，，，則，則有，整理得，即.故選：C.二、選擇題Ⅱ：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每題全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得部分分．9.已知直線：，則下列說法正確的是（）A.點到直線的距離為B.直線的截距式方程為C.直線的一個方向向量為D.若直線與圓相切，則【答案】BCD【解析】對于A選項，已知直線，則點到直線的距離，故A選項錯誤；對于B選項，已知直線，則直線截距式方程為，故B選項正確；對于C選項，已知直線，則直線的一個方向向量為，故C選項正確；對于D選項，已知圓，其圓心到直線的距離為，由于直線與圓相切，可得：，故D選項正確.故選：BCD.10.如圖，直三棱柱中，，，，分別為棱和的中點，為棱上的動點，則下列說法正確的是（）A.B.該三棱柱的體積為4C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.過，，三點截該三棱柱的截面面積為【答案】ABC【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，對于A，，，，因，，可得，，因，且兩直線在平面內(nèi)，則有平面，又為棱上的動點，故，即A正確；對于B，由題意，該三棱柱的體積為，故B正確；對于C，如圖，因平面，平面，則，又，，且兩直線在平面內(nèi)，故得平面，故可取平面的法向量為n=0,1,0又為棱上的動點，可設(shè)，，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為，此時取得最大值為，因，而正弦函數(shù)和正切函數(shù)在上均為增函數(shù)，故此時取得最大值為，故C正確.對于D，如圖，設(shè)經(jīng)過，，三點的截面交于點，連接，因，平面，平面，則平面，又，平面，故得，即截面為梯形，因，，設(shè)梯形的高為，則，解得，則，故D錯誤；故選：ABC.11.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.方程無解 B.方程有兩個解C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】，設(shè)，A-2,0，，則，如圖，取，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，又當(dāng)時，隨增大而增大，故無最大值，故C正確、D錯誤；由，故有解，故A錯誤；，則，則的軌跡是以，為焦點的橢圓，此時，，即，，即橢圓方程為，當(dāng)時，得，得，即，即方程有兩個解，故B正確.故選：BC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線的傾斜角為______．【答案】【解析】由于直線的斜率為，故傾斜角為.13.點在橢圓上，是橢圓的一個焦點，為的中點，若，則_________．【答案】2【解析】如圖，設(shè)橢圓的另一焦點為，則，由中位線可知：，所以，所以.14.在棱長為的正方體中，點分別為棱的中點.點為正方體表面上的動點，滿足.給出下列四個結(jié)論：①線段長度的最大值為；②存在點，使得；③存在點，使得；④是等腰三角形.其中，所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①③④【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，對①，由正方體性質(zhì)知當(dāng)P在時，線段長度的最大值為，此時，，所以，即滿足，故①正確；對②，取正方形的中心M，連接，易知，所以四邊形為平行四邊形，所以，故運動到處時，，此時，，，即不滿足，綜上不存在點，使得，故②錯誤；對③，設(shè)，則，，若存在，由，可得方程組，化簡可得，解得，顯然當(dāng)時滿足題意，即存在點，使得，故③正確；對④，設(shè)，若，則，化簡可得，由③知時可得，所以不妨取，此時在正方體表面上，滿足題意，故④正確.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間三點，，，設(shè)，.（1）求的值；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.解：（1）由題得，，所以，所以.（2）因為，所以，又，，所以，解得.16.已知直線：，經(jīng)過點．（1）若，求直線的方程；（2）在（1）的條件下，求與之間的距離；（3）若與軸、軸的正半軸交于，兩點，求的最小值．解：（1）直線的斜率為，所以過點且與直線平行的直線方程為，即．（2）因為，所以兩直線間的距離為．（3）設(shè)直線方程為，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以的最小值為6．17.已知點，圓：．（1）求圓過點的最短弦所在的直線方程；（2）若圓與直線相交于，兩點，為原點，且，求的值．解：（1）過點的最短弦就是圓心與連線垂直的直線，圓的圓心，則，所以過點的最短弦所在的直線方程為，即．（2）消去得，化簡后為．因為圓與直線交于，兩點，所以，即，解得．設(shè)Ax1,y1，B因為，所以，即．由得．從而，解得．18.如圖，直三棱柱中，，是中點，是中點．（1）證明：直線平面；（2）證明：直線；（3）求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：取中點，連接，，，分別為，的中點，，且，為直三棱柱，為中點，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）證明：連接，，，，為直角三角形，為直三棱柱，易得，，為中點，，；（3）解：易知平面，，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則A2,0,0，，，，，設(shè)平面一個法向量為m=x,y,z，則，取，易得平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則.19.已知橢圓：過點，離心率為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的，兩點，且，均不與軸垂直．（1）求橢圓的方程；（2）若，為橢圓的上頂點，求的面積；（3）記直線，的斜率分別為，，證明：為定值．解：（1）根據(jù)題意得到，解得，故橢圓的方程為；（2）因為，解得或，當(dāng)時，直線的方程經(jīng)過點，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，點到直線的距離，故的面積；（3）設(shè)Mx1,y1，N聯(lián)立方程，得，由，得，則，，因為直線，均不與軸垂直，所以，，則且，所以，故為定值.浙江省嘉興八校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷選擇題部分一、選擇題Ⅰ：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線過、兩點，則該直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，直線斜率為.故選：C.2.已知直線：與：，若，則為（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】由，則有，解得，當(dāng)時，：與：，兩直線不重合；當(dāng)時，：與：，兩直線不重合；故.故選：D.3.已知，分別為橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，若，則為（）A.1 B.4 C.6 D.7【答案】B【解析】由橢圓定義可得，故.故選：B.4.已知，分別是平面，的法向量，且，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】因為，分別是平面，的法向量，且，所以，即，解得，故選：B.5.經(jīng)過點作圓的切線，則切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知切線斜率存在，設(shè)該切線方程為，即，則有，化簡得，故，故該切線方程為，即.故選：C.6.如圖，在三棱錐中，已知是上靠近的三等分點，是的中點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】是上靠近的三等分點，是的中點，故.故選：D7.已知圓：與圓：有兩條公切線，則實數(shù)的取值范圍（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圓：與圓：有兩條公切線，可知兩圓位置關(guān)系是相交，即圓心距小于半徑之和且大于半徑之差，則，解得：，故選：A.8.已知橢圓：的兩個焦點為，，過的直線與橢圓相交于，兩點，若，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，則，，則，由橢圓定義可得，故，即有，，，則，則有，整理得，即.故選：C.二、選擇題Ⅱ：本大題共3小題，每小題6分，共18分．每題全部選對得6分，有選錯得0分，部分選對得部分分．9.已知直線：，則下列說法正確的是（）A.點到直線的距離為B.直線的截距式方程為C.直線的一個方向向量為D.若直線與圓相切，則【答案】BCD【解析】對于A選項，已知直線，則點到直線的距離，故A選項錯誤；對于B選項，已知直線，則直線截距式方程為，故B選項正確；對于C選項，已知直線，則直線的一個方向向量為，故C選項正確；對于D選項，已知圓，其圓心到直線的距離為，由于直線與圓相切，可得：，故D選項正確.故選：BCD.10.如圖，直三棱柱中，，，，分別為棱和的中點，為棱上的動點，則下列說法正確的是（）A.B.該三棱柱的體積為4C.直線與平面所成角的正切值的最大值為D.過，，三點截該三棱柱的截面面積為【答案】ABC【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，對于A，，，，因，，可得，，因，且兩直線在平面內(nèi)，則有平面，又為棱上的動點，故，即A正確；對于B，由題意，該三棱柱的體積為，故B正確；對于C，如圖，因平面，平面，則，又，，且兩直線在平面內(nèi)，故得平面，故可取平面的法向量為n=0,1,0又為棱上的動點，可設(shè)，，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，因，故當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值為，此時取得最大值為，因，而正弦函數(shù)和正切函數(shù)在上均為增函數(shù)，故此時取得最大值為，故C正確.對于D，如圖，設(shè)經(jīng)過，，三點的截面交于點，連接，因，平面，平面，則平面，又，平面，故得，即截面為梯形，因，，設(shè)梯形的高為，則，解得，則，故D錯誤；故選：ABC.11.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.方程無解 B.方程有兩個解C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】，設(shè)，A-2,0，，則，如圖，取，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時，等號成立，又當(dāng)時，隨增大而增大，故無最大值，故C正確、D錯誤；由，故有解，故A錯誤；，則，則的軌跡是以，為焦點的橢圓，此時，，即，，即橢圓方程為，當(dāng)時，得，得，即，即方程有兩個解，故B正確.故選：BC.非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.直線的傾斜角為______．【答案】【解析】由于直線的斜率為，故傾斜角為.13.點在橢圓上，是橢圓的一個焦點，為的中點，若，則_________．【答案】2【解析】如圖，設(shè)橢圓的另一焦點為，則，由中位線可知：，所以，所以.14.在棱長為的正方體中，點分別為棱的中點.點為正方體表面上的動點，滿足.給出下列四個結(jié)論：①線段長度的最大值為；②存在點，使得；③存在點，使得；④是等腰三角形.其中，所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①③④【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，對①，由正方體性質(zhì)知當(dāng)P在時，線段長度的最大值為，此時，，所以，即滿足，故①正確；對②，取正方形的中心M，連接，易知，所以四邊形為平行四邊形，所以，故運動到處時，，此時，，，即不滿足，綜上不存在點，使得，故②錯誤；對③，設(shè)，則，，若存在，由，可得方程組，化簡可得，解得，顯然當(dāng)時滿足題意，即存在點，使得，故③正確；對④，設(shè)，若，則，化簡可得，由③知時可得，所以不妨取，此時在正方體表面上，滿足題意，故④正確.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知空間三點，，，設(shè)，.（1）求的值；（2）若向量與互相垂直，求實數(shù)的值.解：（1）由題得，，所以，所以.（2）因為，所以，又，，所以，解得.16.已知直線：，經(jīng)過點．（1）若，求直線的方程；（2）在（1）的條件下，求與之間的距離；（3）若與軸、軸的正半軸交于，兩點，求的最小值．解：（1）直線的斜率為，所以過點且與直線平行的直線方程為，即．（2）因為，所以兩直線間的距離為．（3）設(shè)直線方程為，．當(dāng)時，；當(dāng)時，．則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．所以的最小值為6．17