21/21本書綜合測(cè)試（基礎(chǔ)）單選題1．萬眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為（

）cmA． B． C． D．【答案】B【解析】由大橢圓和小橢圓扁平程度相同，可得兩橢圓的離心率相同，由大橢圓長軸長為40cm，短軸長為20cm，可得焦距長為cm，故離心率為，所以小橢圓離心率為，小橢圓的短軸長為10cm，即cm，由，可得：cm，所以長軸為cm.故選：B.2．若方程表示一個(gè)圓，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，方程表示一個(gè)圓，所以，即，解得故選：B3．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.4．空間四邊形OABC中，，，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選：A.5．如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別為和的中點(diǎn)，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故選：D6．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的取值為（

）A．或 B． C． D．【答案】B【解析】由已知，若直線與直線平行，則需滿足，解得,由于當(dāng)時(shí)，兩直線重合，因此故選：B7．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由雙曲線可得．設(shè)，．則，，所以，．因?yàn)槭堑妊切?，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長．故選：A．8．已知雙曲線：與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，的左?右焦點(diǎn)分別為，.若，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則（

）A．B．的離心率為C．若，則的面積為2D．若的面積為，則為鈍角三角形【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)則，且，兩式相減得，所以，因?yàn)椋?，故雙曲線C的漸近線方程因?yàn)榻裹c(diǎn)(c，0)到漸近線的距離為1，所以，，所以，，離心率為，故A，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，不妨設(shè)P在右支上,記則因?yàn)?所以解得或(舍去）,所以的面積為，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)?，所以，將帶入C：，得，即由于對(duì)稱性，不妨取P得坐標(biāo)為(，2)，則，因?yàn)樗浴螾F2F1為鈍角，所以PF1F2為鈍角三角形，故D正確故選：D二、多選題9．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（

）A．的最小值為3 B．的最大值為7C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為 D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為【答案】ABC【解析】圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑，∴圓心距又在圓上，在圓上，則的最小值為，最大值為．故A、B正確；兩圓圓心所在的直線斜率為，C正確；圓心距大于兩圓半徑和，兩圓外離，無相交弦，D錯(cuò)誤.故答案為：ABC10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在左、右焦點(diǎn)分別為、的雙曲線C上，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線C的離心率為2 B．當(dāng)P在雙曲線左支時(shí)，的最大值為C．點(diǎn)P到兩漸近線距離之積為定值 D．雙曲線C的漸近線方程為【答案】AC【解析】【解析】在雙曲線C中，實(shí)半軸長，虛半軸長，半焦距.對(duì)于AD，雙曲線的離心率，漸近線方程為，故A正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)P在雙曲線的左支上時(shí)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則，即，而漸近線為和，故到漸近線的距離之積為為定值，故C正確.故選：AC.11．設(shè)、分別是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，過作軸的垂線與交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的焦距是C．的離心率為 D．的面積為【答案】ACD【解析】設(shè)，則，，離心率，選項(xiàng)C正確，∴，，選項(xiàng)A正確，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，設(shè)，將代入得，的面積為，選項(xiàng)D正確，故選:ACD.三、填空題12．已知點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，若線段的中點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的長軸長為______．【答案】4【解析】由線段的中點(diǎn)恰好在橢圓上，即為右頂點(diǎn)，可得，解得，所以橢圓的長軸長為4．故答案為：.13．若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為______．【答案】【解析】∵直線與平行，∴，解得，∴直線：，直線：，∴直線與之間的距離．故答案為：14．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線的左支上存在一點(diǎn)P，使得與雙曲線的一條漸近線垂直于點(diǎn)H，且，則此雙曲線的離心率為______.【答案】.【解析】設(shè)雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為：，，一條漸近線方程為，可得到漸近線的距離為，，則，，在直角三角形中，，在中，可得，化為，即有，故答案為：.四、解答題15.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求平面與平面所成的角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）依題意，棱DA，DC，DP兩兩互相垂直.以點(diǎn)D為原點(diǎn)，依次以DA，DC，DP所在直線為x，y，z軸，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.可得，.所以，所以（2）由（1）得到，，因此可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得令，解得.同理，可求平面PDC的一個(gè)法向量.所以，平面PAM與平面PDC所成的銳二面角滿足：.即平面PAM與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.16．已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，圓C與x軸相切，求此時(shí)圓C的方程；(2)如果AB是圓C的直徑，證明：無論a取何正實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個(gè)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo).(3)已知點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C上，且過點(diǎn)B的直線l與兩坐標(biāo)軸分別交于不同兩點(diǎn)M和N，當(dāng)圓C的面積最小時(shí)，試求的最小值；【答案】(1)(2)證明見解析，定點(diǎn)為(3)【解析】（1）解：時(shí)，圓過，，設(shè)圓的半徑為r，則圓心為，則，解得，所以圓C的方程為；（2）證明：設(shè)點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)锳B是圓C的直徑，所以，即，所以圓的方程為：，則，，等式恒成立，定點(diǎn)為，所以無論a取何正實(shí)數(shù)，圓C恒經(jīng)過除A外的另一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）解：因點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在圓C，所以點(diǎn)C在直線上，又圓C的面積最小，所以圓C是以直徑的圓，過點(diǎn)A與直線垂直的直線方程為，由方程組得，所以圓C的方程為，當(dāng)時(shí)，或，又，所以，即，由題意知直線l斜率存在且不為零，設(shè)直線l的方程為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即時(shí)，.17．如圖所示的多面體中，面是邊長為的正方形，平面平面，，，，分別為棱，，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)已知二面角的余弦值為，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭钦叫危?，．因?yàn)?，分別是，中點(diǎn)，所以，．又因?yàn)榍遥?，，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫?，平面所以平?/p>

（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面．如圖，以為原點(diǎn)，射線，，分別為，，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則

，，．因?yàn)榈酌?，所以平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，得，所以

由已知，二面角的余弦值為，所以，解得，所以

因?yàn)槭撬睦忮F的高，正方形面積為，所以其體積為．18．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為且經(jīng)過點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若斜率為1的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】(1)(2)【解析】（1）由橢圓的定義，可知解得，又.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得，，得設(shè)，則，，點(diǎn)到直線的距離，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；面積的最大值為.19．已知橢圓的方程為，斜率為