1/11.1空間向量及其運(yùn)算（精講）考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算【例1-1】如圖，從長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩點(diǎn)作為向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)：(1)寫出所有與相等的向量；(2)寫出的相反向量．【例1-2】已知長(zhǎng)方體中，是對(duì)角線中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式：(1)；(2)；(3).【例1-3】在平行六面體中，若，則（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．如圖，在平行六面體中，點(diǎn)M為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）.A．B．C．D．2.已知空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（

）A．B．C．D．3．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)E在上，滿足，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，記分別為，則（

）A．B．C．D．4．根據(jù)如圖的平行六面體，化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2).考點(diǎn)二空間向量的共線問題【例2】已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點(diǎn)共線．【一隅三反】1．如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點(diǎn)共線．2．如圖，在正方體中，E在上，且，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且若.（1）用表示.（2）求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.3．如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對(duì)角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．考點(diǎn)三空間向量的共面問題【例3-1】下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A．B．C．D．【例3-2】若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【例3-3】已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知，，三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，下列條件中能確定，，，四點(diǎn)共面的是（

）A．B．C．D．2.對(duì)于空間任意一點(diǎn)，若，則A，B，C，P四點(diǎn)（

）A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．與點(diǎn)位置有關(guān)3．已知空間、、、四點(diǎn)共面，且其中任意三點(diǎn)均不共線，設(shè)為空間中任意一點(diǎn)，若，則（

）A．2B．C．1D．4．有下列說法:①若，則與，共面；②若與，共面，則=x+y；③若=x+y，則P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，則=x+y.其中正確的是（

）A．①②③④B．①③④C．①③D．②④考點(diǎn)四空間向量的數(shù)量積【例4-1】如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，，（1）用表示；（2）求對(duì)角線的長(zhǎng)；（3）求【例4-2】如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)棱上，且.(1)用，，表示；(2)若，求；(3)若，求證：平面.【例4-3】正四面體的棱長(zhǎng)為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．【一隅三反】1．已知單位正方體，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).2．如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)度為4，且.用向量法求:(1)的長(zhǎng);(2)直線與所成角的余弦值.3．如圖所示，在三棱錐中，兩兩垂直，且，E為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求直線與所成角的余弦值．4．如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．考點(diǎn)五空間向量的概念辨析【例5】下列命題為真命題的是（

）A．若兩個(gè)空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個(gè)向量不是共面向量B．若，則?的長(zhǎng)度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個(gè)非零向量與滿足，則.【一隅三反】1．下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動(dòng)C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量2．給出下列命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．B．C．D．3．給出下列命題①空間中所有的單位向量都相等；②方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；③若滿足，且同向，則；④零向量的方向是任意的；⑤對(duì)于任意向量，必有．其中正確命題的序號(hào)為（

）A．①②③B．⑤C．④⑤D．①⑤1.1空間向量及其運(yùn)算（精練）1空間向量的線性運(yùn)算11．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量相等的向量共有（

）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．在長(zhǎng)方體中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③；④.A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)3．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M、N分別在線段OA、BC上，且，，則等于（

）A．B．C．D．4．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A．B．C．D．5．在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．6．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（

）A．B．C．D．7．如圖所示空間四邊形ABCD，連接AC、BD，設(shè)M、G分別滿足，，則等于（

）A．B．C．D．8.在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量為（

）A．B．C．D．9．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點(diǎn)，，設(shè)，則向量用為基底表示為（

）A．B．C．D．10．如圖，在空間平移到，連接對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若，則（

）A．B．C．1D．11．如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（）A．B．C．D．12．已知在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．D．13．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（

）A．1B．C．D．214．在三棱錐中，，，則（

）A．B．C．D．2空間向量的共線問題21．若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈ABB．P?ABC．點(diǎn)P可能在直線AB上D．以上都不對(duì)2．設(shè)是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______．3．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.4．已知非零向量，不共線，則使與共線的的值是________．3空間向量的共面問題31．A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)空間內(nèi)任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)（

）A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．無法判斷是否共面2．已知空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)、、，下列能得到、、、四點(diǎn)共面的是（

）A．B．C．D．以上都不對(duì)3．已知點(diǎn)O，A，B，C為空間中不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則不能與，共同構(gòu)成空間向量的一組基底的向量是（

）A．B．C．D．以上都不能4．對(duì)于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有如下關(guān)系：，則（

）A．四點(diǎn)O，A，B，C必共面B．四點(diǎn)P，A，B，C必共面C．四點(diǎn)O，P，B，C必共面D．五點(diǎn)O，P，A，B，C必共面5．若空間四點(diǎn)???共面且則的值為（

）A．1B．2C．3D．66．已知三點(diǎn)不共線，為平面外一點(diǎn)，若由確定的點(diǎn)與共面，則的值為（

）A．B．C．D．7．（多選）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，8．（多選）下列條件中，使點(diǎn)與三點(diǎn)一定共面的是（

）A．B．C．D．9．（多選）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．10．（多選）下列命題中正確的是（

）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件11．（多選）下列命題不正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則有B．“”是“、共線”的充要條件C．若、共線，則與所在直線平行D．對(duì)空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點(diǎn)共面．12.在以下命題中：①三個(gè)非零向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，，共面；②若兩個(gè)非零向量，與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則，共線；③對(duì)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若，則，，，四點(diǎn)共面④若，是兩個(gè)不共線的向量，且，則構(gòu)成空間的一個(gè)基底⑤若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0B．1C．2D．34空間向量的數(shù)量積41.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長(zhǎng)．2．已知在平行六面體中，，，，且.（1）求的長(zhǎng)；（2）求與夾角的余弦值.3．如圖，平行六面體中，，，與AB、AD的夾角都為求：（1）的長(zhǎng)；

（2）與AC所成的角的余弦值．4．平行六面體，(1)若，，，，，，求長(zhǎng)；(2)若以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．5．如圖，三棱柱中，，，點(diǎn)，分別在和上，且滿足，.(1)證明：平面；(2)若為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).5空間向量的概念辨析51．下列說法中正確的是（

）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同B．若非零向量和是共線向量，則、、、四點(diǎn)共線C．在空間中，任意兩個(gè)單位向量都相等D．零向量與任意向量平行2．（多選）下列命題中為真命題的是（）A．向量與的長(zhǎng)度相等B．將空間中所有單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量3．(多選)下列命題中，真命題是（

）A．向量與的長(zhǎng)度相等B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等4．（多選）下列命題中正確的是（

）.A．單位向量都相等B．任一向量與它的相反向量不相等C．若、、、四點(diǎn)不共線，四邊形是平行四邊形的充要條件是D．模為是一個(gè)向量方向不確定的充要條件5．下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等6．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①在同一條直線上的單位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方體中，與是相等向量；④在空間四邊形中，與是相反向量；⑤在三棱柱中，與的模一定相等的向量一共有3個(gè)A．2B．3C．4D．57.有下列命題：①若與平行，則與所在的直線平行；②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；④若與是平面上互不平行的向量，點(diǎn)，點(diǎn)，則與、一定不共面．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0B．1C．2D．38．下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（

）A．若向