課時9向量法求空間角與距離一、課標要求1.解決坐標法求空間角（線線角、線面角、二面角）及距離（點線距、點面距等）；2.體會向量方法在研究空間角和距離中的應用．二、知識梳理1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝＝．2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝＝＝．3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝＝．4．點到直線的距離如圖，已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝．5．點到平面的距離如圖，已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點．過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度，因此PQ＝＝＝．三、基礎回顧1．判斷正誤.（正確的打“√”，錯誤的打“×”）(1)兩異面直線夾角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是.()(2)二面角的平面角為θ，則兩個面的法向量的夾角也是θ.()(3)點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線的長度．()(4)直線l上兩點到平面α的距離相等，則l平行于平面α.()2．設直線與平面相交,且的方向向量為a,的法向量為n,若,則與所成的角為(

)A． B．C． D．3．已知兩平面的法向量分別為(0，－1,3)，(2,2,4)，則這兩個平面夾角的余弦值為______．4．已知直線l經過點A(2,3,1)，且向量n＝為l的一個單位方向向量，則點P(4,3,2)到l的距離為________．四、考點掃描考點一異面直線所成的角例1如圖，已知圓錐CO的截面三角形ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點D在eq\o(AB,\s\up8(︵))上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)規(guī)律方法：對點訓練(2024·江西五市九校聯考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝BC，E為棱CD的中點，F為棱PC的中點，則異面直線BF與PE所成角的余弦值為()A．－eq\f(\r(3),9)B.eq\f(\r(3),9)C．－eq\f(5\r(3),9)D.eq\f(5\r(3),9)考點二直線與平面所成的角例2(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，點A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明：A1C＝AC；(2)已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.規(guī)律方法：對點訓練(2024·江蘇鎮(zhèn)江市高三期初統(tǒng)考改編)如圖，已知直四棱柱中，底面為菱形，，，，為線段上中點，求與平面所成角的正弦值.考點三平面與平面的夾角例3（2024·全國新課標Ⅱ卷）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF對折至△PEF，使得．（1）證明：；（2）求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．規(guī)律方法：對點訓練（2024·江蘇南通市模擬改編）如圖，在三棱臺中，⊥平面ABC，，△ABC是邊長為2的正三角形，，求二面角的正弦值．

考點四空間距離例4（1）如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD.已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，則點P到直線BD的距離為________．（2）（2024·江蘇鹽城中學模擬）如圖，已知△ABC為等邊三角形，D，E分別為邊AC，AB的中點，把△ADE沿DE折起，使得點A到達點P處，且平面PDE⊥平面BCDE，若BC＝4，則直線DE到平