1/13.1.2橢圓性質(zhì)（精講）考點(diǎn)一點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【例1】點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的外部，所以,解得,故選：B.【一隅三反】1．連續(xù)擲兩次股子，以先后得到的點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)的坐標(biāo)，那么點(diǎn)在橢圓內(nèi)部的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連續(xù)擲兩次骰子，構(gòu)成的點(diǎn)的坐標(biāo)有個(gè)，滿足的有，共2個(gè)，∴概率為：.故選：B.2．點(diǎn)P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)P在橢圓C上 B．點(diǎn)P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi) D．點(diǎn)P在橢圓C外【答案】D【解析】將P的坐標(biāo)代入到橢圓方程的左邊，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可判斷點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系.把點(diǎn)P(2cosα，sinα)(α∈R)代入橢圓方程的左邊為＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此點(diǎn)P在橢圓外．故選:D.3．若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系即可求解.，所以故選：B.考點(diǎn)二直線與橢圓的位置關(guān)系【例2-1】設(shè)直線，橢圓．（1）直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則m滿足的條件是______．（2）直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m滿足的條件是______．（3）直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則m滿足的條件是______．【答案】（1）

（2）

（3）或【解析】由消去并化簡(jiǎn)得，.（1）當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn).（2）當(dāng)，即時(shí)，直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn).（3）當(dāng)，即或時(shí)，直線與橢圓沒(méi)有公共點(diǎn).故答案為：；；或【例2-2】若直線和圓沒(méi)有交點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．至多有一個(gè) C．1個(gè) D．2個(gè)【答案】D【解析】因?yàn)橹本€和圓沒(méi)有交點(diǎn)，可得，即，所以點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓及其內(nèi)部的點(diǎn)，又因?yàn)闄E圓，可得，所以圓內(nèi)切于橢圓，即點(diǎn)是橢圓內(nèi)的點(diǎn)，所以點(diǎn)的一條直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.【例2-3】已知是橢圓：，直線l：，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，則使得點(diǎn)P到直線l的距離為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】設(shè)直線：與橢圓相切，聯(lián)立，得，整理得，則該方程有且只有一個(gè)解，由，得或，所以的方程為或，易知直線與直線l的距離為，直線與直線l的距離為，所以在直線l的右側(cè)有兩個(gè)符合條件的P點(diǎn)，在直線l的左側(cè)不存在符合條件的P點(diǎn)，故符合條件的點(diǎn)P有2個(gè)．故選：C．【一隅三反】1．已知，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．以上三種情況均有可能【答案】A【解析】因?yàn)?，所以直線可化為，所以，直線過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，直線與橢圓的位置關(guān)系是相交.故選：A2．如果過(guò)的任意直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】要使過(guò)的任意直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則必在橢圓內(nèi)或橢圓上，即①，又為橢圓方程，則且②，有①②可得，.故答案為：3．曲線上點(diǎn)到直線距離的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】令與相切，聯(lián)立整理可得，所以，可得，當(dāng)，此時(shí)與的距離，當(dāng)，此時(shí)與的距離，所以曲線到直線距離的最小值為.故答案為：4．直線和曲線的位置關(guān)系為_(kāi)____.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過(guò)，由知定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.考點(diǎn)三直線與橢圓的弦長(zhǎng)【例3-1】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且斜率為1的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式有：=．故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.【例3-2】若過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】若過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，則直線為，將代入橢圓得，此時(shí)；若過(guò)原點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，方程可設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程：化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，所以，綜上所述，的最大值為，故答案為：【一隅三反】1．已知橢圓：的離心率為是橢圓的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)，由題意又離心率，，橢圓的方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程可設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程：化簡(jiǎn)得：，由設(shè)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為令，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，故當(dāng)，即時(shí)，的面積最大，此時(shí)直線的方程為：．2．橢圓C：左右焦點(diǎn)為，，離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：由題意得，解得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，，，所以．3．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P，Q為橢圓C上任意兩點(diǎn)，且，若的周長(zhǎng)為8，面積的最大值為2．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C內(nèi)切于矩形ABCD（橢圓與矩形四條邊均相切），求矩形ABCD面積的最大值．【答案】(1)(2)12【解析】(1)解：由得P、、Q三點(diǎn)共線，因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)為8，即，所以，則．當(dāng)P點(diǎn)為橢圓上或下頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，即，由，解得，所以橢圓C的方程為．(2)解：當(dāng)矩形ABCD中有一條邊與坐標(biāo)軸平行時(shí)，則另外三條邊也與坐標(biāo)軸平行，矩形ABCD的兩條邊長(zhǎng)分別為，，此時(shí)．當(dāng)矩形ABCD的邊都不與坐標(biāo)軸平行時(shí)，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線AB的方程為：，則CD的方程為：，AD的方程為：，BC的方程為：．由，得，令得，同理得，矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以矩形ABCD面積的最大值是12．綜上所述，矩形ABCD面積的最大值是12．考點(diǎn)四中點(diǎn)弦【例4-1】已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，則，①﹣②得：，即，所以．故以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y，整理得：.故選：C.【例4-2】過(guò)橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，焦點(diǎn)，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A【例4-3】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點(diǎn)，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A【一隅三反】1．橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦恰好以為中點(diǎn)，那么這條弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，即，設(shè)弦為，，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，，所以弦所在直線方程為.故選：B2．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)、，若軸，則、關(guān)于軸對(duì)稱，不合乎題意，將、的坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得，可得，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，又直線過(guò)點(diǎn)，因此，所以，，整理得，又，解得，，因此，橢圓的方程為，故選：D.3．直線過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，設(shè)為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)與，則，，所以，，又點(diǎn)與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.4．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線：上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，由于線段的中點(diǎn)在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A考點(diǎn)五橢圓的綜合運(yùn)用【例5-1】（多選）已知橢圓的方程為，斜率為的直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AB與OM垂直B．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則直線AB的方程為C．若直線AB的方程為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為D．若直線AB的方程為，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，根據(jù)橢圓的中點(diǎn)弦的性質(zhì)知，，所以A不正確；對(duì)于B，，根據(jù)，知，所以直線AB的方程為，即，所以B正確；對(duì)于C，，由，得，所以C不正確；對(duì)于D，若直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，整理得，解得或，所以，所以D正確．故選：BD．【例5-2】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線AM和直線AN的斜率分別為和，求證：為定值【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，可得，解得，故橢圓C的方程為（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為，由，可得，由于直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，則，解得，設(shè),則，，故，即為定值.【一隅三反】1．（多選）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)，均在橢圓上，則（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓的短軸長(zhǎng)為C．直線與橢圓相交D．若點(diǎn)在橢圓上，中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為【答案】BCD【解析】設(shè)橢圓的方程為：，將點(diǎn)，代入橢圓的方程，得，解得，所以橢圓的方程為：，所以橢圓的離心率為，故A錯(cuò)誤；橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確；由于直線，過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以直線與橢圓相交，故C正確；設(shè)，所以，所以，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，所以直線的方程為，即，故D正確.故選：BCD.2．已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，的面積為1．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．求證：為定值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【解析】（1）依題意，又，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，而，且，，當(dāng)時(shí)，直線AP：，點(diǎn)，，直線BP：，點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，，，所以所以是定值.3．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于A，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線，的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）由題意點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，知，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）若直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由題意知．由，得，由題意知，設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，所以，整理得，故直線的方程為，即，所以直線過(guò)定點(diǎn)．若直線的斜率不存在，設(shè)其方程為，，．由題意得，解得，此時(shí)直線的方程為，顯然過(guò)點(diǎn)．綜上，直線過(guò)定點(diǎn)．3.1.2橢圓性質(zhì)（精練）1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以有，即，解得，則的取值范圍是．故選：B.2．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，則．因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，故的取值范圍是．故選：D．3.已知橢圓C:，點(diǎn)，則點(diǎn)A與橢圓C的位置關(guān)系是（

）．A．點(diǎn)A在橢圓C上 B．點(diǎn)A在橢圓C內(nèi) C．點(diǎn)A在橢圓C外 D．無(wú)法判斷【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，代入橢圓得到，故點(diǎn)在橢圓內(nèi)故選B3.函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓（，）上，則的最小值為（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】由，即，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以（，），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C4．(多選)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線l1與過(guò)F2的直線l2交于點(diǎn)M，設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，若l1⊥l2，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由橢圓，可得：，，．左、右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)，則，可得：，．，直線與直線交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部．，A正確；，B不正確；直線與橢圓聯(lián)立，可得：無(wú)解，因此直線與橢圓無(wú)交點(diǎn)．而點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，在直線的左下方，滿足，C正確．，，，因此D正確．故選：ACD.5．（多選）已知橢圓的離心率為，的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別，，，且，，均不為0．為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．B．直線與直線的斜率之積為C．直線與直線的斜率之積為D．若直線，，的斜率之和為1，則的值為【答案】CD【解析】橢圓的離心率為，，，故錯(cuò)；設(shè)，，，．，．，，兩式相減可得：．，同理，，故錯(cuò)，正確．又，故選：CD．6．（多選）已知橢圓的離心率為，的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)它的三條邊，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別，，，且，，均不為，則（

）A．B．直線與直線的斜率之積為C．直線與直線的斜率之積為D．若直線，，的斜率之和為，則的值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A：因?yàn)闄E圓的離心率，所以，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：設(shè)，，，則，，所以，，兩式相減可得：，即，所以，，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C:由選項(xiàng)B同理可得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)B同理可知，可得，，由已知可得，即，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.7．若點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】∵點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，∴，整理得，解得．故答案為：8．已知點(diǎn)(3，2)在橢圓上，則點(diǎn)(-3，3)與橢圓的位置關(guān)系是__________.【答案】點(diǎn)在橢圓外【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(3，2)在橢圓上，所以=1，又，所以，故點(diǎn)(-3，3)在橢圓外.故答案為：點(diǎn)在橢圓外.2直線與橢圓的位置關(guān)系1．若過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l的方程為_(kāi)_____．【答案】或y＝－5【解析】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：，右頂點(diǎn)坐標(biāo)，下頂點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)作橢圓的切線，如圖所示：直線的方程為：或y＝－5，故答案為：或y＝－52．直線與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】根據(jù)題意,可得過(guò)點(diǎn)，要使直線與橢圓總有公共點(diǎn)，只需使點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上,則有，又由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則有；綜合可得，故答案為：.3．不論為何值，直線與橢圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是__.【答案】【解析】方法一：把直線代入橢圓1，化為．其中．(注意這個(gè)坑)，直線與橢圓1有公共點(diǎn)，恒成立，化簡(jiǎn)為．上式對(duì)于任意實(shí)數(shù)都成立，，解得．實(shí)數(shù)的范圍是．方法二：因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)所以代入得即因?yàn)槭菣E圓，所以故的取值范圍是．故答案為：．4．橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線與橢圓相切，由得，由得，，解得設(shè)直線與直線的距離為，當(dāng)時(shí)，直線為，則，當(dāng)時(shí)，直線為，則，因?yàn)?，所以橢圓1上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故答案為：5．如果直線l：與橢圓C：（）總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】【解析】由題知直線l：過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l：與橢圓C：（）總有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，所以，由于，所以，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3直線與橢圓的弦長(zhǎng)1．一條過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，則它被橢圓截得的弦長(zhǎng)等于（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【解析】設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程為：，直線與橢圓的一個(gè)兩個(gè)交點(diǎn)分別設(shè)為，則根據(jù)對(duì)稱性可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，而直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為,所以.故選：B.2．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若是上兩點(diǎn)，直線與圓相切，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得，，解得，所以的方程為.（2）圓的圓心為，半徑圓.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為或，于是有或解得，所以.

②當(dāng)直線的斜率為時(shí)，方程為或，于是有或解得，所以.

③當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)斜率為，方程為，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，得建立方程組，消并化簡(jiǎn)得，.設(shè),,則,，所以=而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.3．已知橢圓：的離心率為且經(jīng)過(guò)點(diǎn)1)，直線經(jīng)過(guò)且與橢圓相交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)求此時(shí)直線的方程；【答案】(1)；(2)或?yàn)?【解析】(1)，，即，，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)1)，，解得，所以橢圓方程為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程，此時(shí)，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組可得消可得，其判別式，，，整理可得，解得即此時(shí)直線方程為或?yàn)?4．已知橢圓過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，的面積是．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓交與、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或或或.【解析】（1）根據(jù)題意，橢圓的左焦點(diǎn)為，聯(lián)立，解得，則過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，可得，因?yàn)榈拿娣e是，即，解得，所以，，所以，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)、，由得，解得，，所以，，整理可得，解得或.因此，直線的方程為或或或.5．已知橢圓，直線經(jīng)過(guò)橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為1，求面積的最大值.【答案】(1)(2)最大值為1【解析】(1)因?yàn)橹本€與x軸的交點(diǎn)為，與y軸的交點(diǎn)為（0，1），所以，，，故橢圓C的方程為.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，此時(shí)，的面積為.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組得，則，.因?yàn)?，所以AB的中點(diǎn)為.因?yàn)?，所?因?yàn)樵c(diǎn)到直線AB的距離，，所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由解得，，也滿足，所以.綜上所述，面積的最大值為1.4中點(diǎn)弦1．橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2)，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，又即，即，∴弦所在的直線的斜率為，故選：C.2．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B3．已知橢圓E：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則有①，②，兩式作差可得：，即，又，故，，所以，又，解得，故的方程為.故選：C4．已知AB是橢圓一條弦，且弦AB與直線：垂直，P是AB的中點(diǎn)，O為橢圓的中心，則直線OP的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，弦AB不過(guò)點(diǎn)O，而弦AB與直線：垂直，則設(shè)直線AB：，由消去y得：，，即，且，設(shè)點(diǎn)，則，于是得弦AB中點(diǎn)，所以直線OP的斜率是.故選：D5．點(diǎn)，在橢圓上，點(diǎn)，，則直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，故為的中點(diǎn).設(shè)，故，因此，故，故，故即直線的斜率為-1，故直線的方程為：，故選：C.6．已知橢圓C：上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線對(duì)稱，且線段MN中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】設(shè)，，則，，兩式相減，得，即，，關(guān)于直線對(duì)稱，，又線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得．故選：A．7．已知橢圓，其右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以直線斜率，代入橢圓方程得，兩式相減得，，所求的橢圓方程為.故選：B.8．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，整理可得．設(shè)，，則，兩式相減可得．因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)，所以，則直線的斜率．故選：C9．已知拋物線，的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)三條邊AB，BC，AC的中點(diǎn)分別為M，N，Q，且M，N，Q的縱坐標(biāo)分別為.若直線AB，BC，AC的斜率之和為，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，三個(gè)式子兩兩相減得，即即，所以.故選：B10．已知橢圓上有三個(gè)點(diǎn)??，，，的中點(diǎn)分別為??，，，的斜率都存在且不為0，若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，兩式作差，可得，所以，即，同理可得，所以.故選：A.11．已知橢圓：上有三點(diǎn)，，，線段，，的中點(diǎn)分別為，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，的斜率都存在，分別記為，，，且，直線，，的斜率都存在，分別記為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，代入橢圓方程可得，兩式相減，可得，即，故，即，即，同理可得：，．由，得，故．故選：B．5橢圓的綜合運(yùn)用1．已知橢圓C：內(nèi)一點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M是線段AB的中點(diǎn)，則下列不正確的是（

）.A．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， B．橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4C．直線的方程為 D．【答案】A【解析】依題意橢圓C：，所以，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，B選項(xiàng)正確.設(shè)，則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，由于是的中點(diǎn)，所以，即直線的斜率為，所以直線的方程為，C選項(xiàng)正確.消去并化簡(jiǎn)得，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：A2．（多選）一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合．若直線與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率是B．線段長(zhǎng)度的取值范圍是C．面積的最大值是D．的周長(zhǎng)存在最大值【答案】AC【解析】由題意得半圓的方程為，設(shè)半橢圓的方程為，由題意知，∴，∴半橢圓的方程為．對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由圖可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，，設(shè)，則，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確．對(duì)于D，的周長(zhǎng)為，所以當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最大，但是不能取零，所以的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值，D錯(cuò)誤，故選：AC3．（多選）若是橢圓上的三個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則（

）A．若直線的斜率為，則直線的斜率為2B．記的中點(diǎn)為，若，則C．若，則D．存在，滿足【答案】ABC【解析】設(shè)，，則，，，兩式相減，得①，因直線的斜率為，所以且不同時(shí)為0，所以，，，故A正確；當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，易得P在左右頂點(diǎn)，此時(shí)不符合題意，所以AB斜率存在，且不同時(shí)為0，，，，由①，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故