§4.8正弦定理、余弦定理分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·海口模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，sinA=12，則sinB等于(A.34 B.C.13 D.2.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，則cosB等于(A.19 B.C.12 D.3.(2024·長沙模擬)已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且三邊之比a∶b∶c=2∶3∶4，則sinA-2sinBsin2A.12 B.-124.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin2A2+b2c=12，則△ABCA.直角三角形 B.等邊三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形5.(2024·榆林模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且三邊滿足b2=(a+c)2-42，B=π4，則△ABC的面積為(A.2-2 B.4-22C.2+2 D.4+226.(2025·上海模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=3，且c-2b+23cosC=0，則該三角形外接圓的半徑為()A.1 B.3 C.2 D.23二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列條件能確定2個三角形的是()A.A=π4，b=1，cB.B=2π3，b=1，cC.A=π6，b=3，a=D.B=π4，b=3，a8.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個命題中正確的是()A.若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形B.若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形C.若acosA=bcosB=ccosD.若B=60°，b2=ac，則△ABC是直角三角形三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·開封模擬)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC=23，a=3b，則cosA=10.(2024·成都模擬)在△ABC中，AC=1，∠ACB=π4，延長BA到點D，使得AD=2，∠ADC=π6，則AB的長為四、解答題(共27分)11.(13分)(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2.(1)求A；(5分)(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周長.(8分)12.(14分)(2025·南昌模擬)如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10，∠BAC=π3，∠DAC=π4，BD交AC(1)求BD2；(7分)(2)求AE.(7分)13題6分，14題5分，共11分13.(多選)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a=10，a2+b2-c2=absinC，acosB+bsinA=c，則下列結(jié)論正確的是()A.tanC=2 B.A=π4 C.b=2 D.△ABC的面積為14.已知△ABC的面積S=14(b2+c2)(其中b，c為△ABC的邊長)，則△ABC的形狀為答案精析1.A2.A3.C4.A[∵sin2A2+b2∴1-cosA2=12-b2c，∵cosA=b2+∴b2+c2-a2=2b2，∴b2+a2=c2，∴△ABC為直角三角形，且C=90°.]5.A[因為b2=(a+c)2-42=a2+c2+2ac-42，所以a2+c2-b2=42-2ac因為B=π4cosB=22=a2所以ac=42-4，故△ABC的面積S=12acsinB=12(42-4)=2-2.]6.A[∵a=3，∴c-2b+2acosC=0∴sinC-2sinB+2sinAcosC=0，∴sinC-2sin(A+C)+2sinAcosC=0，∴sinC-2sinAcosC-2sinCcosA+2sinAcosC=0，∴sinC-2sinCcosA=0，∵sinC>0，∴cosA=1∵A∈(0，π)，∴A=π設(shè)該三角形外接圓的半徑為r，由正弦定理得asinA=33∴r=1.]7.CD[對于A，因為兩邊及其夾角唯一確定一個三角形，所以A選項的條件能確定1個三角形；對于B，由正弦定理可知，sinC=csinBb=2×故B選項的條件不能確定三角形；對于C，由正弦定理可知，sinB=bsinAa=3×123=32<1，又b>a，即B∈π6，π，所以對于D，由正弦定理可知，sinA=asinBb=2×22又a>b，即A∈π又易知sinA=23>sinπ4=22，則sin故D選項的條件能確定2個三角形.]8.BC[對于A，若acosA=bcosB，則由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，則△ABC為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B，若bcosC+ccosB=b，則由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sinB，即A=B，則△ABC是等腰三角形，故B正確；對于C，若acosA=bcosB=ccosC，則由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，則tanA=tan對于D，由于B=60°，b2=ac，由余弦定理可得b2=ac=a2+c2-ac，可得(a-c)2=0，解得a=c，故△ABC是等邊三角形，故D錯誤.]9.-6解析在△ABC中，cosC=23，a=3由余弦定理可得cosC=a2+b2解得c=6b，再由余弦定理可得cosA=b2+c2-10.6解析∵在△ABC中，AC=1，∠ACB=π4，延長BA到點D，使得AD=2，∠∴由正弦定理得ADsin∠ACD可得sin∠ACD=ADsin∠ADC可得∠ACD=π4，∴∠BAC=∠ACD+∠ADC=π4+π6=5π12，∠ABC∴在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB即ABsinπ4=1sinπ11.解(1)方法一常規(guī)方法(輔助角公式)由sinA+3cosA=2，可得12sinA+32cosA即sinA+π由于A∈(0，π)?A+π3∈故A+π3=解得A=π6方法二常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)由sinA+3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到4cos2A-43cosA+3=0?(2cosA-3)2=0，解得cosA=3又A∈(0，π)，故A=π6(2)由題設(shè)條件和正弦定理得，2bsinC=csin2B?2sinBsinC=2sinCsinBcosB，又B，C∈(0，π)，則sinBsinC≠0，進而cosB=22，得到B于是C=π-A-B=7πsinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2由正弦定理可得，asinA=b即2sinπ6=解得b=22，c=6+故△ABC的周長為2+6+32.12.解(1)因為兩塊直角三角形斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10，∠BAC=π3，∠DAC=π4，BD交AC于點E，可得AB=AC·cos∠BAC=10×12=5，AD=AC·cos∠DAC=10×22=52，因為∠BAD=∠BAC+∠DAC=π3+π4，所以cos∠BAD=cos=12×22-32×所以在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=25+50-2×5×52×2=50+253.(2)因為sin∠BAD=sinπ=6又因為S△ABD=S△ABE+S△ADE，所以12·AB·AD·sin∠BAD=12·AB·AE·sin∠BAE+12·AE·AD·sin即12×5×52×6+24=12×5×AE×32+12解得AE=53-5.13.ABD[因為a2+b2-c2=absinC，所以cosC=a=absinC所以tanC=sinCcosC=2因為acosB+bsinA=c，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，即sinBsinA=cosAsinB，因為B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以tanA=1，又A∈(0，π)，所以A=π4，故因為tanC=2，C∈(0，π)，所以sinC=255，cos又A=π4，所以sinA=cosA所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=22×55+22×因為asinA=bsinB，所以b=asinBS△ABC