第一部分圓的方程與位置關(guān)系一、圓的方程體系1.標(biāo)準(zhǔn)方程：幾何特征的直觀表達(dá)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\(\boldsymbol{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)（\(r>0\)），其中圓心為\(C(a,b)\)，半徑為\(r\)。該形式直接體現(xiàn)“圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離等于半徑”的幾何定義，適用于已知圓心或半徑的問(wèn)題。例題1：已知圓過(guò)點(diǎn)\(A(1,2)\)，圓心為\(C(2,3)\)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：由圓心\(C(2,3)\)，半徑\(r=|AC|=\sqrt{(2-1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{2}\)，因此方程為\(\boldsymbol{(x-2)^2+(y-3)^2=2}\)。2.一般方程：代數(shù)形式的普適性圓的一般方程為\(\boldsymbol{x^2+y^2+Dx+Ey+F=0}\)（\(D^2+E^2-4F>0\)），通過(guò)配方可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：\(\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}\)，其中圓心為\(\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)\)，半徑\(r=\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\)。例題2：已知圓過(guò)三點(diǎn)\(A(0,0)\)、\(B(1,1)\)、\(C(4,2)\)，求圓的一般方程。分析：將三點(diǎn)代入一般方程，得方程組：\[\begin{cases}F=0\\1+1+D+E+F=0\\16+4+4D+2E+F=0\end{cases}\]解得\(D=-8\)，\(E=6\)，\(F=0\)，故方程為\(\boldsymbol{x^2+y^2-8x+6y=0}\)（驗(yàn)證\(D^2+E^2-4F=64+36=100>0\)，符合圓的條件）。3.參數(shù)方程：動(dòng)態(tài)角度的描述圓的參數(shù)方程為\(\boldsymbol{\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}}\)（\(\theta\)為參數(shù)），其中\(zhòng)((a,b)\)為圓心，\(r\)為半徑。參數(shù)\(\theta\)的幾何意義是圓心與動(dòng)點(diǎn)連線的旋轉(zhuǎn)角，常用于處理圓上動(dòng)點(diǎn)的最值或軌跡問(wèn)題。例題3：在圓\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)上求一點(diǎn)\(P\)，使\(P\)到直線\(x+y-5=0\)的距離最小。分析：設(shè)\(P(1+2\cos\theta,2+2\sin\theta)\)，則\(P\)到直線的距離\(d=\frac{|1+2\cos\theta+2+2\sin\theta-5|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}|\cos\theta+\sin\theta-1|\)。利用輔助角公式，\(\cos\theta+\sin\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)\)，當(dāng)\(\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=1\)時(shí)，\(d\)最小，此時(shí)\(\theta=\frac{\pi}{4}\)，\(P\)的坐標(biāo)為\(\boldsymbol{(1+\sqrt{2},2+\sqrt{2})}\)。二、直線與圓的位置關(guān)系1.位置關(guān)系的判定直線\(l:Ax+By+C=0\)與圓\(C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的位置關(guān)系可通過(guò)幾何法（圓心到直線的距離\(d\)與半徑\(r\)比較）或代數(shù)法（聯(lián)立方程后判別式\(\Delta\)判斷）：相離：\(d>r\)（或\(\Delta<0\)）；相切：\(d=r\)（或\(\Delta=0\)）；相交：\(d<r\)（或\(\Delta>0\)）。例題4：判斷直線\(2x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)的位置關(guān)系。分析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-1)^2+(y-2)^2=4\)，圓心\((1,2)\)，半徑\(r=2\)。圓心到直線的距離\(d=\frac{|2\times1-2+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<2\)，故直線與圓相交。2.切線問(wèn)題過(guò)圓上一點(diǎn)的切線：圓心與該點(diǎn)的連線垂直于切線，斜率乘積為\(-1\)（若斜率存在）。過(guò)圓外一點(diǎn)的切線：設(shè)切線方程為\(y-y_0=k(x-x_0)\)（斜率存在時(shí)），利用\(d=r\)求\(k\)，注意斜率不存在的情況。例題5：求過(guò)點(diǎn)\(P(3,4)\)且與圓\(x^2+y^2=25\)相切的直線方程。分析：點(diǎn)\(P(3,4)\)在圓上（\(3^2+4^2=25\)），圓心\(O(0,0)\)，則\(OP\)的斜率為\(\frac{4}{3}\)，故切線斜率為\(-\frac{3}{4}\)，方程為\(y-4=-\frac{3}{4}(x-3)\)，即\(\boldsymbol{3x+4y-25=0}\)。3.弦長(zhǎng)問(wèn)題與垂徑定理若直線與圓相交，弦長(zhǎng)\(l=2\sqrt{r^2-d^2}\)（\(d\)為圓心到直線的距離），此為垂徑定理的應(yīng)用（垂直于弦的直徑平分弦）。例題6：已知圓\(x^2+y^2=13\)，直線\(x-y-1=0\)與圓相交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)\(|AB|\)。分析：圓心\((0,0)\)到直線的距離\(d=\frac{|0-0-1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，半徑\(r=\sqrt{13}\)，故弦長(zhǎng)\(|AB|=2\sqrt{13-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\boldsymbol{5\sqrt{2}}\)。三、圓與圓的位置關(guān)系1.位置關(guān)系的判定設(shè)兩圓的圓心分別為\(C_1(a_1,b_1)\)、\(C_2(a_2,b_2)\)，半徑分別為\(r_1\)、\(r_2\)（\(r_1\geqr_2\)），圓心距\(d=|C_1C_2|\)，則：外離：\(d>r_1+r_2\)；外切：\(d=r_1+r_2\)；相交：\(|r_1-r_2|<d<r_1+r_2\)；內(nèi)切：\(d=|r_1-r_2|\)；內(nèi)含：\(d<|r_1-r_2|\)。例題7：判斷圓\(C_1:(x-1)^2+(y-2)^2=4\)與圓\(C_2:(x+2)^2+(y+1)^2=9\)的位置關(guān)系。分析：圓心\(C_1(1,2)\)，\(C_2(-2,-1)\)，圓心距\(d=\sqrt{(1+2)^2+(2+1)^2}=3\sqrt{2}\approx4.24\)。半徑\(r_1=2\)，\(r_2=3\)，則\(|r_1-r_2|=1\)，\(r_1+r_2=5\)，因\(1<3\sqrt{2}<5\)，故兩圓相交。2.公共弦與公切線公共弦：兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，公共弦長(zhǎng)可通過(guò)其中一圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算。公切線：外離、外切時(shí)有外公切線和內(nèi)公切線（外切時(shí)內(nèi)公切線唯一），相交時(shí)只有外公切線，內(nèi)切時(shí)只有內(nèi)公切線，內(nèi)含時(shí)無(wú)公切線。例題8：求圓\(C_1:x^2+y^2-2x-6y+1=0\)與圓\(C_2:x^2+y^2-4x-2y-11=0\)的公共弦長(zhǎng)。分析：兩圓方程相減得公共弦方程：\(2x-4y+12=0\)，即\(x-2y+6=0\)。圓\(C_1\)的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-1)^2+(y-3)^2=9\)，圓心\((1,3)\)到公共弦的距離\(d=\frac{|1-6+6|}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)，半徑\(r=3\)，故公共弦長(zhǎng)\(l=2\sqrt{9-\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}=\boldsymbol{\frac{4\sqrt{55}}{5}}\)。四、圓的綜合問(wèn)題1.最值問(wèn)題圓上動(dòng)點(diǎn)的最值常與距離、角度、面積相關(guān)，核心是利用“圓心到定點(diǎn)/定直線的距離\(\pm\)半徑”的幾何意義。例題9：已知圓\((x-2)^2+(y-3)^2=1\)，求圓上一點(diǎn)到點(diǎn)\(P(5,7)\)的距離的最大值和最小值。分析：圓心\(C(2,3)\)到\(P\)的距離\(d=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=5\)，半徑\(r=1\)，故最大值為\(d+r=\boldsymbol{6}\)，最小值為\(d-r=\boldsymbol{4}\)。2.軌跡問(wèn)題求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，常用定義法（判斷軌跡為圓）、相關(guān)點(diǎn)法（利用已知點(diǎn)的軌跡推導(dǎo)）或直接法（列等式化簡(jiǎn)）。例題10：已知點(diǎn)\(M\)到點(diǎn)\(F(1,0)\)的距離比到直線\(x=-2\)的距離小\(1\)，求點(diǎn)\(M\)的軌跡方程。分析：點(diǎn)\(M\)到\(F(1,0)\)的距離等于到直線\(x=-1\)的距離，根據(jù)拋物線定義，軌跡為拋物線。設(shè)\(M(x,y)\)，則\(\sqrt{(x-1)^2+y^2}=|x+1|\)，平方得\(\boldsymbol{y^2=4x}\)。第二部分空間幾何體與空間點(diǎn)線面關(guān)系一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)與度量1.棱柱、棱錐、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱：有兩個(gè)面互相平行（底面），其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行（側(cè)棱平行且相等）。棱錐：有一個(gè)面是多邊形（底面），其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形（側(cè)棱交于一點(diǎn)）。球：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，球的截面是圓，球心到截面的距離\(d\)、截面半徑\(r\)、球半徑\(R\)滿足\(\boldsymbol{r=\sqrt{R^2-d^2}}\)（球的截面性質(zhì)）。例題11：已知球的半徑為\(5\)，一個(gè)截面圓的面積為\(9\pi\)，求球心到該截面的距離。分析：截面圓半徑\(r=3\)（由\(\pir^2=9\pi\)），根據(jù)球的截面性質(zhì)，\(d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{25-9}=\boldsymbol{4}\)。2.表面積與體積的計(jì)算棱柱體積：\(V=S_{\text{底}}\cdoth\)（\(h\)為高）；棱錐體積：\(V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}\cdoth\)；球的表面積與體積：\(S=4\piR^2\)，\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)；割補(bǔ)法：將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的和或差（如“塹堵”“陽(yáng)馬”“鱉臑”的體積關(guān)系）。例題12：求底面邊長(zhǎng)為\(2\)，側(cè)棱長(zhǎng)為\(3\)的正四棱柱的體積和表面積。分析：正四棱柱即長(zhǎng)方體，底面積\(S_{\text{底}}=2\times2=4\)，高\(yùn)(h=3\)，體積\(V=4\times3=\boldsymbol{12}\)；表面積\(S=2\times(2\times2+2\times3+2\times3)=\boldsymbol{32}\)。3.球的外接與內(nèi)切問(wèn)題外接球：幾何體各頂點(diǎn)都在球面上，球心到各頂點(diǎn)距離相等，常通過(guò)“補(bǔ)形法”（如長(zhǎng)方體的外接球直徑為體對(duì)角線）求解。內(nèi)切球：球與幾何體各面都相切，球心到各面距離等于半徑，常利用體積法（\(V=\frac{1}{3}S_{\text{表}}\cdotr\)，適用于棱錐）。例題13：求棱長(zhǎng)為\(a\)的正四面體的外接球半徑\(R\)和內(nèi)切球半徑\(r\)。分析：正四面體可補(bǔ)成一個(gè)正方體，正方體棱長(zhǎng)為\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)，體對(duì)角線為\(\sqrt{3}\cdot\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}a}{2}\)，故外接球直徑為體對(duì)角線，\(R=\boldsymbol{\frac{\sqrt{6}a}{4}