4.2.5正態(tài)分布人教B版（2019）選擇性必修第二冊第四章

概率與統(tǒng)計學(xué)習(xí)目標(biāo)了解正態(tài)分布的概念01了解正態(tài)曲線及其性質(zhì)02了解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)03掌握3σ

原則04探索新知嘗試與發(fā)現(xiàn)已知X服從參數(shù)為100，0.5的二項分布，即

X~B(100，0.5)，你能手工計算出

P(X＝50)的值嗎？

探索新知

這正是18世紀(jì)30年代數(shù)學(xué)家棣莫弗所研究過的問題.在討論這個問題的過程，棣莫弗發(fā)現(xiàn)了本小節(jié)我們要學(xué)習(xí)的正態(tài)曲線.探索新知

X0123456PX的分布列可以用右圖直觀表示出來，其中每個矩形的寬為1，高為對應(yīng)的概率值.探索新知右圖具有以下性質(zhì)：(1)中間高、兩邊低；(2)

圖形關(guān)于直線

X＝3對稱，而且

E(X)＝3；(3)某一整數(shù)

k上方的矩形面積正好等于

P(X＝k)，其中，k＝0,1,2,3,4,5,6；(4)

所有矩形的面積之和為1.探索新知事實上，很多服從二項分布的隨機變量分布列的直觀圖都具有類似的特點.

探索新知由下圖可以看出，當(dāng)

n充分大時，X~B(n，p)的直觀表示總是具有中間高、兩邊低的“鐘形”.而且，對不同的參數(shù)，只是鐘形的寬度和高度不一樣而已.那么，是否存在一個函數(shù)

φ(x)，它對應(yīng)的圖象能夠近似這些鐘形呢？如果這樣的函數(shù)存在的話，要計算

X落在某區(qū)間內(nèi)的概率，只需計算對應(yīng)曲線與

x軸在適當(dāng)區(qū)間所圍成的面積即可.事實上，這樣的函數(shù)是存在的，這也正是棣莫弗的發(fā)現(xiàn)一般地，φ(x)對應(yīng)的圖象稱為

(也因形狀而被稱為“鐘形曲線”，φ(x)也常常記為

φμ，σ(x)).探索新知正態(tài)曲線φ(x)的解析式中含有

μ和

σ

兩個參數(shù)，其中：μ＝

?，即X的均值；σ＝

，即X的標(biāo)準(zhǔn)差.E(X)

正態(tài)曲線xφ(x)探索新知正態(tài)曲線的性質(zhì)

xφ(x)(1)正態(tài)曲線關(guān)于

x＝μ對稱(即

μ決定正態(tài)曲線對稱軸的位置)，具有中間高、兩邊低的特點.(2)正態(tài)曲線與

x軸所圍成的圖形面積為1；(3)σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”：σ越大，說明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強，所以曲線越“瘦”.x＝μ探索新知更進一步，利用計算機軟件可計算出：正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間[μ，μ＋σ]內(nèi)所圍面積為0.3413，在區(qū)間[μ＋σ，μ＋2σ]內(nèi)所圍面積約為0.1359，在區(qū)間[μ＋2σ，μ＋3σ]內(nèi)所圍面積約為0.0215，如圖所示.典型例題例1求正態(tài)曲線與

x軸在下列區(qū)間內(nèi)所圍面積

(精確到0.001)：(1)[μ，＋∞)；

(2)[μ－σ，μ＋σ]；(3)[μ－2σ，μ＋2σ]；

(4)[μ－3σ，μ＋3σ]解：(1)因為正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，而且正態(tài)曲線與x軸所圍成的面積為1，因此所求面積為0.5.(2)利用對稱性可知，所求面積為區(qū)間[μ，μ＋σ]內(nèi)面積的2倍，即約為0.3413×2＝0.6826≈0.683.典型例題例1求正態(tài)曲線與

x軸在下列區(qū)間內(nèi)所圍面積

(精確到0.001)：(1)[μ，＋∞)；

(2)[μ－σ，μ＋σ]；(3)[μ－2σ，μ＋2σ]；

(4)[μ－3σ，μ＋3σ]解：(3)利用對稱性可知，所求面積約為(0.3413＋0.1359)×2＝0.9544≈0.954.(4)利用對稱性可知，所求面積約為(0.3413＋0.1359＋0.0215)×2＝0.9974≈0.997.探索新知正態(tài)曲線被發(fā)現(xiàn)后并沒有立刻得到人們的重視，這一情況直到

19

世紀(jì)初，拉普拉斯和高斯開始利用它來研究“隨機誤差”時才有所改善.

高斯(1777-1855)探索新知正態(tài)分布一般地，如果隨機變量

X落在區(qū)間

[a，b]內(nèi)的概率，總是等于

φμ，σ(x)對應(yīng)的正態(tài)曲線與

x軸在區(qū)間

[a，b]內(nèi)圍成的面積，則稱

X服從參數(shù)為

μ

和

σ的正態(tài)分布，記作X~N(μ

，σ2).xφμ，σ(x)μab

此時

稱為

X的概率密度函數(shù).探索新知由正態(tài)曲線的性質(zhì)及例1不難得出，如果

X~N(μ，σ2)，那么：P(X≤μ)＝P(X≥μ)＝50%，P(|X－μ|≤σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(|X－μ|≤2σ)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(|X－μ|≤3σ)＝P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.

現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態(tài)分布，例如隨機誤差、同一地區(qū)同齡人的身高、正常條件下生產(chǎn)出來的產(chǎn)品尺寸等.

也正因為如此，正態(tài)分布在概率統(tǒng)計中有著廣泛的應(yīng)用.典型例題例2

假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170(單位：cm，下同)，標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：(1)不高于170的概率；(2)在區(qū)間[160，180]內(nèi)的概率；解：設(shè)該學(xué)生的身高為

X，由題意可知

X~N(170，102

).(1)

易知

P(X≤170)＝P(X≤μ)＝50%，(2)

因為

均值

μ＝170，標(biāo)準(zhǔn)差

σ＝10，而

160＝170－10，180＝170＋10，所以P(160≤X≤180)＝P(|X－170

|≤10)≈68.3%.典型例題例2

假設(shè)某地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且均值為170(單位：cm，下同)，標(biāo)準(zhǔn)差為10.在該地區(qū)任意抽取一名高二學(xué)生，求這名學(xué)生的身高：(3)不高于180的概率.

典型例題例3假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500，52)(單位：g)，該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515g.(1)求正常情況下，任意抽取一包食鹽，質(zhì)量大于515g的概率為多少；

典型例題例3假設(shè)某廠包裝食鹽的生產(chǎn)線，正常情況下生產(chǎn)出來的食鹽質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500，52)(單位：g)，該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽，稱得其質(zhì)量均大于515g.(2)檢測員根據(jù)抽檢結(jié)果，判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，要求立即停產(chǎn)檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理由.解：(2)檢測員的判斷是合理的.因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話，由(1)可知，隨機抽取兩包檢查，質(zhì)量都大于515g的概率約為0.15%×0.15%＝2.25×10－6，幾乎為零，但這樣的事件竟然發(fā)生了，所以有理由認(rèn)為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常，檢測員的判斷是合理的.探索新知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布μ＝0，σ＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作

X~N(0，1).xφ(x)O123－1－2－3其在正態(tài)分布中扮演著核心角色，這是因為如果

Y~N(μ，σ2)，那么令

，則可證明

X~N(0，1).即任意正態(tài)分布通過變換都可化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

探索新知理解正態(tài)分布要注意以下3點：①參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù)（數(shù)學(xué)期望）；σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計；②正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布，許多現(xiàn)象都近似地服從正態(tài)分布，如長度測量誤差、正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)等；③由一些相互獨立的偶然因素所引起的，每一種偶然因素在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，這一類隨機現(xiàn)象的隨機變量的概率分布一般近似服從正態(tài)分布.探索新知如果

X~N(0，1)，那么對于任意實數(shù)

a，通常記Φ(a)＝P(X＜a)，也就是說

Φ(a)表示

N(0，1)對應(yīng)的正態(tài)曲線與

x軸在區(qū)間(－∞，a)內(nèi)所圍的面積，如圖所示.根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可以知道

Φ(a)具有性質(zhì)Φ(－a)＋Φ(a)＝1.

探索新知為了方便起見，人們將

a≥0時部分

Φ(a)的值制成了專門的表格，可供查詢，下表是部分?jǐn)?shù)據(jù).例如，從上表可查：Φ(0.16)＝0.5636，Φ(0.58)＝0.7190.典型例題例4已知X~N(0，1)，利用上述表格求以下概率值：(1)P(X＜0.28)；(2)P(X＜－0.36)；(3)P(0.18≤X＜0.57).解：(1)

P(X＜0.28)＝Φ(0.28)＝0.6103.(2)因為

P(X＜－0.36)＝Φ(－0.36)，而Φ(－0.36)＋Φ(0.36)＝1，且由上表可知Φ(0.36)＝0.6406，所以Φ(－0.36)＝1－Φ(0.36)＝1－0.6406＝0.3594.典型例題例4已知X~N(0，1)，利用上述表格求以下概率值：(1)P(X＜0.28)；(2)P(X＜－0.36)；(3)P(0.18≤X＜0.57).解：(3)

由概率的加法公式以及上表可知P(0.18≤X＜0.57)＝P(X＜0.57)－P(X＜0.18)

＝Φ(0.57)－Φ(0.18)

＝0.7157－0.571