年成人高考數(shù)學(xué)試題及答案一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\([1,2)\cup(2,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：A2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，且\(\alpha\)為第二象限角，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(-\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(-\frac{3}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)答案：A3.直線\(2x-y+3=0\)與圓\(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交且過圓心D.相交但不過圓心答案：D4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_3+a_7=10\)，則\(a_1+a_9\)等于（）A.5B.10C.15D.20答案：B5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(3,-4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值為（）A.-5B.-1C.1D.5答案：A6.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-2x-3)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-\infty,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((3,+\infty)\)答案：D7.過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(x-y+1=0\)平行的直線方程為（）A.\(x-y+1=0\)B.\(x-y-1=0\)C.\(x+y-1=0\)D.\(x+y+1=0\)答案：B8.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+2y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為（）A.\(3+2\sqrt{2}\)B.\(3-2\sqrt{2}\)C.\(1+\frac{2\sqrt{2}}{3}\)D.\(1-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)答案：A9.若\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為（）A.3B.-3C.\(\frac{1}{3}\)D.\(-\frac{1}{3}\)答案：A10.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的一條漸近線方程為\(y=2x\)，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)C.\(\sqrt{3}\)D.2答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=2^x\)答案：A2.直線\(l_1\)：\(ax+2y+1=0\)與直線\(l_2\)：\(x+(a-1)y+a=0\)平行的充要條件是（）A.\(a=2\)B.\(a=-1\)C.\(a=\frac{2}{3}\)D.\(a=-2\)答案：A、C3.已知\(\alpha\)，\(\beta\)為銳角，且\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\cos(\alpha+\beta)=-\frac{5}{13}\)，則（）A.\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)B.\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{12}{13}\)C.\(\cos\beta=\frac{56}{65}\)D.\(\tan\beta=\frac{56}{33}\)答案：A、B、C4.下列命題中正確的是（）A.若\(p\veeq\)為真命題，則\(p\)，\(q\)都為真命題B.命題“\(\forallx\gt0\)，\(e^x\gtx+1\)”的否定是“\(\existsx_0\leq0\)，\(e^{x_0}\leqx_0+1\)”C.命題“若\(x^2-3x+2=0\)，則\(x=1\)或\(x=2\)”的逆否命題為“若\(x\neq1\)且\(x\neq2\)，則\(x^2-3x+2\neq0\)”D.已知函數(shù)\(f(x)\)在\(R\)上可導(dǎo)，則“\(f^\prime(x_0)=0\)”是“\(x_0\)為函數(shù)\(f(x)\)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件答案：C、D5.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1\)，\(F_2\)，點(diǎn)\(P\)在橢圓上，且\(|PF_1|=3|PF_2|\)，則（）A.橢圓的離心率\(e\)的取值范圍為\([\frac{1}{2},1)\)B.當(dāng)\(e=\frac{1}{2}\)時(shí)，\(\trianglePF_1F_2\)為直角三角形C.當(dāng)\(e=\frac{3}{4}\)時(shí)，\(\trianglePF_1F_2\)為直角三角形D.當(dāng)\(e=\frac{4}{5}\)時(shí)，\(\trianglePF_1F_2\)為直角三角形答案：A、B、C三、判斷題1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上都是單調(diào)遞減的。（）答案：√2.若直線\(l_1\)：\(ax+by+c=0\)與直線\(l_2\)：\(mx+ny+p=0\)垂直，則\(am+bn=0\)。（）答案：√3.若向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)滿足\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）答案：√4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(m+n=p+q\)（\(m\)，\(n\)，\(p\)，\(q\inN^*\)），則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。（）答案：√5.若\(p\)是\(q\)的充分條件，則\(\negp\)是\(\negq\)的必要條件。（）答案：√6.方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)表示圓的充要條件是\(D^2+E^2-4F\gt0\)。（）答案：√7.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)平行，則\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)的任意直線都平行。（）答案：×8.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=x_0\)處可導(dǎo)，則\(f^\prime(x_0)\)就是曲線\(y=f(x)\)在點(diǎn)\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率。（）答案：√9.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)（\(n\inN^*\)）。（）答案：×10.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）答案：×四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)；令\(f^\prime(x)\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，所以單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。當(dāng)\(x=0\)時(shí)，取得極大值\(f(0)=1\)；當(dāng)\(x=2\)時(shí)，取得極小值\(f(2)=-3\)。2.已知直線\(l\)過點(diǎn)\((1,2)\)，且與直線\(2x-y+1=0\)平行，求直線\(l\)的方程。答案：已知直線\(2x-y+1=0\)的斜率為\(2\)，因?yàn)閮芍本€平行斜率相等，所以直線\(l\)的斜率也為\(2\)。又直線\(l\)過點(diǎn)\((1,2)\)，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線\(l\)的方程為\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。3.求橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距和離心率。答案：由橢圓方程可知\(a^2=9\)，\(b^2=4\)，則\(a=3\)，\(b=2\)。長(zhǎng)軸長(zhǎng)\(2a=6\)，短軸長(zhǎng)\(2b=4\)。\(c^2=a^2-b^2=9-4=5\)，\(c=\sqrt{5}\)，焦距\(2c=2\sqrt{5}\)，離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。4.已知\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)，且\(0\lt\alpha\lt\pi\)，求\(\tan\alpha\)的值。答案：將\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)兩邊平方得\(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{25}\)，則\(2\sin\alpha\cos\alpha=-\frac{24}{25}\lt0\)，因?yàn)閈(0\lt\alpha\lt\pi\)，所以\(\sin\alpha\gt0\)，\(\cos\alpha\lt0\)。\((\sin\alpha-\cos\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}\)，則\(\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{7}{5}\)，與\(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{5}\)聯(lián)立解得\(\sin\alpha=\frac{4}{5}\)，\(\cos\alpha=-\frac{3}{5}\)，所以\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{4}{3}\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+ax\)在\(R\)上的單調(diào)性。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=x^2-2x+a=(x-1)^2+a-1\)。當(dāng)\(a-1\geq0\)，即\(a\geq1\)時(shí)，\(f^\prime(x)\geq0\)恒成立，\(f(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(a-1\lt0\)，即\(a\lt1\)時(shí)，令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=1\pm\sqrt{1-a}\)，當(dāng)\(x\lt1-\sqrt{1-a}\)或\(x\gt1+\sqrt{1-a}\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增，當(dāng)\(1-\sqrt{1-a}\ltx\lt1+\sqrt{1-a}\)時(shí)，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減。2.討論直線\(l\)：\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同時(shí)為\(0\)）與圓\(C\)：\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)的位置關(guān)系。答案：將圓\(C\)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程\((x+\frac{D}{2})^2+(y+\frac{E}{2})^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}\)，圓心坐標(biāo)為\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)，半徑\(r=\frac{\sqrt{D^2+E^2-4F}}{2}\)。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，圓心到直線\(l\)的距離\(d=\frac{|-\frac{AD}{2}-\frac{BE}{2}+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。當(dāng)\(d\gtr\)時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)\(d=r\)時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)\(d\ltr\)時(shí)，直線與圓相交。3.討論等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的最值問題。答案：當(dāng)公差\(d\gt0\)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增，若存在\(a_m\leq0\)且\(a_{m+1}\gt0\)，則\(S_m\)為最小值；當(dāng)公差\(d\lt0\)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，若存在\(a_m\geq0\)且\(a_{m+1}\lt0\)，則\(S_m\)為最大值。也可通過求\(S_n\)的二次函數(shù)表達(dá)式的最值來確定。4.討論函數(shù)\(f(x)=e^x-ax\)（\(a\)為常數(shù)）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。答案：對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=e^x-a\)。當(dāng)\(a\leq0\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)恒成立，\(f(x)\)單調(diào)遞增，當(dāng)\(x\to-\infty\)