2024級高二年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版必修第二冊第六～八章，選擇性必修第一冊第一章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在空間直角坐標系中，一個點關(guān)于平面對稱的點的坐標為，據(jù)此即可得到答案．【詳解】由空間直角坐標系，可得點關(guān)于平面對稱的點的坐標為.故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，為原點，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)的虛部為（）A.－1 B.1 C.i D.－i【答案】B【解析】【分析】先表示出向量，，求出，然后可得答案.【詳解】由題知，，可得，所以向量對應(yīng)復(fù)數(shù)為，其虛部為1．故選：B．3.已知向量，，若與共線，則（）A.12 B.9 C. D.【答案】C【解析】【分析】由空間向量共線的充要條件列式求得，，即得.【詳解】由向量，共線，故存在，使得，即，解得，，所以．故選：C．4.在中，角，，的對邊分別為，，，若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍及余弦函數(shù)的單調(diào)性求出范圍.【詳解】由余弦定理得，當且僅當時取等號，因為，在單調(diào)遞減，所以，即A的最大值為．故選：B．5.如圖，在中，是邊上的點，其中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先在中，由正弦定理求出，再在中，由正弦定理求出.【詳解】在中，，，由正弦定理得，所以，在中，，，由正弦定理得，所以，故選：D．6.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為的重心，，且，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，確定相關(guān)點以及向量的坐標，利用點到直線的距離的向量求法，即可得答案.【詳解】如圖，以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，由，可得，為的重心，所以，，，則，，，故點到直線的距離為.故選：A7.已知為的外接圓圓心，，，則的最大值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知畫出示意圖，利用向量數(shù)量積的運算律有，再應(yīng)用數(shù)量積的定義、數(shù)形結(jié)合求最值.【詳解】如圖所示，因為為的外接圓圓心，，，所以，且，所以，所以當反向共線時，取到最大值.故選：D8.已知正方體的棱長為2，為正方體內(nèi)一點，若，，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，判斷點在四邊形內(nèi)，設(shè)的中點為，結(jié)合線面垂直判定定理證明平面，由此證明，再由勾股定理求，由此確定點的軌跡及長度.【詳解】由，知點在四邊形內(nèi)，設(shè)的中點為，則．因為平面平面，所以．又因為，，，平面，所以平面，平面，所以，則，所以點在以為圓心，的半圓上運動，點的軌跡長度為．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，，則（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量的坐標為【答案】BC【解析】【分析】應(yīng)用向量線性關(guān)系的坐標運算及共線的坐標表示判斷A；由向量模長、夾角的坐標運算判斷B、C；根據(jù)投影向量的定義及坐標運算求投影向量判斷D.【詳解】由題知，顯然，即與不平行，A錯誤，，，因此，B正確；設(shè)與的夾角為，則，且，因此與的夾角為，C正確；在方向上的投影向量為，D錯誤．故選：BC10.如圖，是圓錐的底面圓的直徑，點是底面圓上異于，的動點，點是母線上一點，已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面積為，則下列說法正確的是（）A.該圓錐的體積為B.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為C.三棱錐的體積的最大值為D.若，則從點出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周到達點的最短長度為5【答案】ACD【解析】【分析】求出圓錐的母線及高，代入圓錐體積公式求解判斷A；根據(jù)扇形圓心角公式求解判斷B；當時，三棱錐的體積最大，根據(jù)三棱錐體積公式求解判斷C；在側(cè)面展開圖中利用勾股定理求解最短長度判斷D.【詳解】由題知，圓錐的底面半徑為，圓錐的側(cè)面積，所以母線長，則圓錐高，所以體積，故A正確；側(cè)面展開圖弧長，圓心角，故B錯誤；因點是底面圓上異于，的動點，AB是底面圓的直徑，故當時，的面積最大，此時三棱錐的體積最大，則三棱錐的體積的最大值為，故C正確；由B知，圓錐的側(cè)面展開圖扇形的圓心角，在上且，則，展開后的扇形中，所對的圓心角為，故最短路徑為線段，，故D正確．故選：ACD．11.在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，的平分線交于點，則（）A.B.外接圓的面積為C.若，則為直角三角形D.若的內(nèi)切圓的圓心為，則周長的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡目標式求解出判斷A，利用正弦定理求出三角形外接圓的半徑，再結(jié)合圓的面積公式求出外接圓面積判斷B，結(jié)合題意求出，再得到，利用余弦定理求出，，結(jié)合勾股定理得到為直角三角形判斷C，作出符合題意的圖形，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到，再利用正弦定理得到，結(jié)合兩角差的正弦公式表示出周長，最后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解最大值判斷D即可.【詳解】對于A，由題意得，由正弦定理得，可得，化簡得，由兩角和的正弦公式得，故，而，則，得到，解得，而，可得，故A正確，對于B，設(shè)外接圓的半徑為，則由正弦定理得，解得，由圓的面積公式得外接圓的面積為，故B錯誤，對于C，如圖，作出符合題意的圖形，因為，所以，而的平分線交于點，則，得到，即，故，在中，由余弦定理得，解得，故，滿足，則為直角三角形，故C正確，對于D，如圖，作出符合題意的圖形，因為，所以，因為的內(nèi)心為，所以，故，設(shè)，則，在中，由正弦定理得，，則，得到的周長為，因為，所以，則，可得，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)乘法、除法求出，進而求出.【詳解】依題意，，所以.故答案為：13.在空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為______．【答案】##【解析】【分析】分別確定題中三個平面的法向量，設(shè)直線的方向向量為，求得，利用線面角的向量求法，即可求得答案.【詳解】由題意可知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，設(shè)直線的方向向量為，則，故，即，取，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，故答案為：14.已知中，，，且的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是______．【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)模長公式和二次函數(shù)的性質(zhì)計算出，然后建立直角坐標系，用坐標法表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案.【詳解】設(shè)，則，當且僅當時等號成立，又的最小值為，所以，又，則，以點為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)點，其中，且、，，，所以，當且僅當時，取最小值．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，多面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，是線段的兩個三等分點．求證：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由條件證明，同理可得，再根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）由（1）證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面，同理可得平面，再由面面平行判定定理證明結(jié)論.小問1詳解】因為四邊形為等腰梯形，，，是線段的兩個三等分點，所以，，，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，所以，因為為中點，所以，即，同理．又平面，所以平面．【小問2詳解】由（1）知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面不在平面內(nèi)，所以平面．由已知，，所以四邊形為平行四邊形，所以．因為平面不在平面內(nèi)，所以平面．又，平面，所以平面平面．16.已知，，．（1）求與的夾角；（2）若，且，求及．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積的運算律、定義求得即可得解.（2）由題意，結(jié)合數(shù)量積的運算律列方程求得的值，然后結(jié)合數(shù)量積的運算律、模的計算公式即可求解.【小問1詳解】，所以．又，所以．【小問2詳解】由題意知，即，解得，所以，所以，所以．17.設(shè)中，角所對的邊分別為，．（1）求A；（2）已知的面積為，是邊上靠近點的三等分點，，求的值．【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用正弦定理進行邊化角，再利用三角恒等變換公式進行化簡即可；（2）根據(jù)是邊上靠近點的三等分點，可得，從而可得，對等式兩邊同時平方化簡即可得到答案．【小問1詳解】由正弦定理及，得，，，．∵，∴，整理得．又∵，∴，∴．【小問2詳解】由題知，則，故，兩邊平方得．∵，∴，即．∵，即，∴，∴．18.如圖，正方體的棱長為，，是棱，上的點，且（）．（1）證明：過，，三點的平面截正方體所得截面圖形為平行四邊形；（2）若，求直線與所成角的余弦值；（3）設(shè)平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角為，證明：．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平行四邊形判定、性質(zhì)及平行公理推理得證.（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線線角的余弦.（3）由（2）中坐標系，利用面面角的向量求法求出，即可計算得證.【小問1詳解】在正方體中，在上取點，使得，連接，由，得四邊形是平行四邊形，則，又，則，四邊形是平行四邊形，因此，又，則四邊形為平行四邊形，，于是，四邊形為平行四邊形，所以過，，三點的平面截正方體所得截面圖形為平行四邊形.【小問2詳解】以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，因此，所以直線與所成角的余弦值為.【小問3詳解】依題意，平面平面，則平面的法向量可取為，平面的法向量可取為，而，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，則，又平面的法向量為，則，所以.19.如圖，三棱錐中，平面平面，是等邊三角形，是以為斜邊等腰直角三角形，，分別是，的中點，是上一點（不含端點）．（1）證明：平面；（2）若三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且球的表面積為．（?。┣笕忮F體積；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）（?。?；（ⅱ）【解析】【分析】（1）要證明線面平行，可通過證明線線平行即可證明線面平行，即證明.（2）（i）先根據(jù)已知條件確定球的球心位置，然后根據(jù)球的表面積求出球的半徑，最后可求出三棱錐的體積.（ii）先建立空間直角坐標系，然后利用向量的坐標、向量夾角的余弦公式即可求出線面角的正弦值的最大值.【小問1詳解】證明：因為，分別是，的中點