數(shù)學(xué)競(jìng)賽最難試題及答案一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1。若對(duì)于任意x∈(0,1)，都有f'(x)存在且f'(x)≠1，則下列哪個(gè)選項(xiàng)正確描述了f(x)的性質(zhì)？A.f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增B.f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減C.f(x)在(0,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)D.f(x)在(0,1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)2.已知平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)A、B、C，平面β內(nèi)有不共線的三點(diǎn)D、E、F。若向量AB與向量DE不共線，且存在實(shí)數(shù)λ、μ使得向量AC=λ向量AB+μ向量DE，則平面α與平面β的關(guān)系是？A.平行B.相交C.重合D.無(wú)法確定3.設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/a_n（n≥1）。則下列哪個(gè)選項(xiàng)正確描述了數(shù)列{a_n}的增長(zhǎng)性？A.數(shù)列{a_n}有界B.數(shù)列{a_n}無(wú)界但增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢

C.數(shù)列{a_n}無(wú)界且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快

D.數(shù)列{a_n}收斂4.已知函數(shù)g(x)=ln(x+√(x2+1))，則g(x)的反函數(shù)g?1(x)的表達(dá)式為？A.g?1(x)=e^x-e^{-x}

B.g?1(x)=(e^x-e^{-x})/2

C.g?1(x)=sinh(x)D.g?1(x)=cosh(x)5.設(shè)A、B為n階方陣，且AB=BA。若A有n個(gè)不同的特征值，則下列哪個(gè)選項(xiàng)正確？A.B必為對(duì)角矩陣B.B可對(duì)角化C.AB=0

D.A=B6.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是？A.直線B.圓C.拋物線D.雙曲線7.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若P(X=1)=P(X=2)，則λ的值為？A.1

B.2

C.√2

D.e8.已知橢圓方程為x2/9+y2/4=1，過(guò)點(diǎn)(3,0)作橢圓的切線，則切線方程為？A.x=3B.y=0C.x+y=3

D.x-y=39.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且∫?1f(x)dx=1，∫?1xf(x)dx=a。則∫?1(x-a)2f(x)dx的最小值為？A.0B.1/4C.1/12D.無(wú)法確定10.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，則該三棱錐的外接球半徑為？A.√(b2-a2/3)/2

B.√(b2+a2/3)/2

C.√(3b2-a2)/6

D.√(3b2+a2)/6二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共40分）11.下列哪些函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不連續(xù)？A.f(x)=|x|3B.f(x)=x2sin(1/x)（x≠0），f(0)=0C.f(x)=(x2)1/3D.f(x)=e^{-1/x2}（x≠0），f(0)=012.已知矩陣A=[[1,2],[3,4]]，則下列哪些矩陣與A可交換？A.單位矩陣IB.2AC.A的轉(zhuǎn)置D.零矩陣O13.下列哪些命題是正確的？A.若數(shù)列{a_n}收斂，則其任意子列都收斂B.若數(shù)列{a_n}有界，則其必存在收斂子列C.若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上一致連續(xù)D.若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)14.已知空間向量a、b、c滿足|a|=|b|=|c|=1，且a·b=b·c=c·a=1/2。則下列哪些結(jié)論正確？A.向量a、b、c兩兩夾角為60°B.(a+b+c)2=3C.向量a、b、c共面D.存在實(shí)數(shù)k使得a+b=kc15.下列哪些積分是發(fā)散的？A.∫?^{+∞}1/xdxB.∫?11/√xdxC.∫?∞^{+∞}e^{-x2}dxD.∫?1lnxdx16.已知二次型f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+2xy+2xz，則下列哪些變換可將f化為標(biāo)準(zhǔn)形？A.x=u+v,y=u-v,z=w

B.x=u,y=v+w,z=v-wC.正交變換D.配方法17.下列哪些條件能推出兩個(gè)平面平行？A.兩個(gè)平面內(nèi)各有一組相交直線分別平行B.兩個(gè)平面都與第三個(gè)平面垂直C.兩個(gè)平面內(nèi)各有一組平行直線分別對(duì)應(yīng)平行D.兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)18.已知函數(shù)h(x)=sinx/x（x≠0），h(0)=1。則下列哪些結(jié)論正確？A.h(x)在x=0處連續(xù)B.h(x)在x=0處可導(dǎo)C.h'(x)在x=0處連續(xù)D.h''(x)在x=0處存在19.下列哪些數(shù)列的極限存在？A.a_n=(-1)^n/nB.a_n=n^(1/n)

C.a_n=sin(nπ/2)

D.a_n=(1+1/n)^n20.已知隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。則下列哪些命題正確？A.X+Y服從N(0,2)B.X-Y服從N(0,2)C.X2+Y2服從χ2(2)分布D.X/Y服從柯西分布三、判斷題（每題1分，共10分）21.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則f(x)在[a,b]上必有界。（）22.任意n階方陣都可相似對(duì)角化。（）23.若級(jí)數(shù)∑a_n收斂，則級(jí)數(shù)∑|a_n|必收斂。（）24.兩個(gè)收斂數(shù)列的和仍收斂。（）25.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，則f(x)在x?處必連續(xù)。（）26.平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。（）27.若矩陣A、B滿足AB=O，則必有A=O或B=O。（）28.連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)。（）29.若隨機(jī)變量X、Y不相關(guān)，則X、Y必獨(dú)立。（）30.任意兩個(gè)向量都共面。（）四、填空題（每題1分，共10分）31.已知曲線y=x3-3x2+2x在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為_(kāi)_____。32.設(shè)A、B為兩個(gè)事件，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.7，則P(A∩B)=______。33.已知行列式|abc;def;ghi|=2，則行列式|3a3b3c;d+ge+hf+i;ghi|=______。34.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值之和為_(kāi)_____。35.已知向量a=(1,2,3)，b=(4,5,6)，則向量a在向量b上的投影長(zhǎng)度為_(kāi)_____。36.設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且∫?1f(x)dx=3，∫?2f(x)dx=5，則∫?2f(x)dx=______。37.已知橢圓x2/16+y2/9=1，則其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____。38.設(shè)z=f(x,y)由方程e^{xy}+z+yz=1確定，則?z/?x|_{x=0,y=1}=______。39.已知數(shù)列{a_n}滿足a?=1，a_{n+1}=2a_n+1，則a?=______。40.設(shè)A為3階方陣，且|A|=2，則|2A?1|=______。答案一、單項(xiàng)選擇題1.D2.B3.C4.B5.B6.A7.B8.A9.C10.D二、多項(xiàng)選擇題11.B,D12.A,B,D13.A,B,C,D14.A,B,C15.A,D16.A,B,C,D17.A,D18.