第四章基本平面圖形（B卷·培優(yōu)卷）考試時間：60分鐘，滿分：100分一．選擇題（共8小題，滿分21分）1．（3分）如圖，圍繞在正方形四周的四條線段a，b，c，d中，長度最長的是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得四邊相等，根據(jù)圖形比較線段與四邊形的邊長的長度即可求解．【詳解】解：根據(jù)圖形可知，c的長度等于正方形的邊長，b的長度小于正方形的邊長，a、d的長度大于正方形的邊長，再a與d比較，因?yàn)閍往下少了一點(diǎn)，所以最長的是d．故選：D．2．（3分）如圖，一艘輪船行駛在B處，同時測得小島A、C的方向分別為北偏西50°和西南方向，則∠ABC的度數(shù)是（）A．75° B．85° C．95° D．105°【分析】根據(jù)交點(diǎn)和差計(jì)算求解．【詳解】解：∠ABC＝（90°﹣50°）+45°＝85°，故選：B．3．（3分）如果線段AB＝5cm，線段BC＝4cm，那么A，C兩點(diǎn)之間的距離是（）A．9cm B．1cm C．1cm或9cm D．以上答案都不對【分析】（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在一條直線上時，分點(diǎn)B在A、C之間和點(diǎn)C在A、B之間兩種情況討論；（2）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)不在一條直線上時，A，C兩點(diǎn)之間的距離有多種可能；【詳解】解：（1）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)在一條直線上時，分點(diǎn)B在A、C之間和點(diǎn)C在A、B之間兩種情況討論．①點(diǎn)B在A、C之間時，AC＝AB+BC＝5+4＝9cm；②點(diǎn)C在A、B之間時，AC＝AB﹣BC＝5﹣4＝1cm．所以A、C兩點(diǎn)間的距離是9cm或1cm．（2）當(dāng)A，B，C三點(diǎn)不在一條直線上時，A，C兩點(diǎn)之間的距離有多種可能；故選：D．4．（3分）A，B兩個海上觀測站的位置如圖所示，A在燈塔O北偏東40°方向上，∠AOB＝110°，則B在燈塔O的（）A．南偏東30°方向 B．南偏東40°方向 C．南偏西50°方向 D．東偏南30°方向【分析】先判斷B在燈塔O的南偏東，因?yàn)椤螦0B在北偏東40°，∠AOB＝110°，則180°﹣40°﹣110°＝30°，推出B地在燈塔O南偏東30°方向．【詳解】解：由題意得：180°﹣40°﹣110°＝30°，∴B地在燈塔O的南偏東30°方向，故選：A．5．（3分）如圖所示，鐘表上顯示的時刻是10點(diǎn)10分，再過20分鐘，時針與分針?biāo)傻慕鞘牵ǎ〢．75° B．120° C．135° D．150°【分析】根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【詳解】解：10點(diǎn)10分，再過20分鐘就是10點(diǎn)30分，30°×（4+12）＝故選：C．6．（3分）如圖，正六邊形的邊長為12，AP，BP分別平分∠BAF，∠ABC，則△ABP的周長為（）A．24 B．36 C．38 D．40【分析】根據(jù)正六邊形可知∠APB為60°，又因?yàn)锳P＝BP，所以△ABP為等邊三角形，可求得△ABP的周長．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠APB=360°6=60°∴△ABP是等邊三角形，∴AB＝AP＝BP＝12，故△ABP的周長為36，故選：B．7．（3分）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容（）如圖，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB作法：（1）以●為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心◎長為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D（3）以點(diǎn)D為圓心⊙長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)F（4）作⊕，∠DEF即為所求作的角A．●表示點(diǎn)E B．◎表示PQ C．⊙表示OQ D．⊕表示射線EF【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖作一個角等于已知角的方法即可判斷．【詳解】解：作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)P、Q；（2）作射線EG，并以點(diǎn)E為圓心，OP長為半徑畫弧交EG于點(diǎn)D；（3）以點(diǎn)D為圓心PQ長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點(diǎn)F；（4）作射線EF，∠DEF即為所求作的角．所以A，B，C選項(xiàng)都錯誤，D選項(xiàng)正確．故選：D．8．（3分）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠EOF在∠AOD的內(nèi)部，當(dāng)∠AOD＝150°，∠EOF＝30°時，則∠AOF與∠EOD的度數(shù)和為（）A．100° B．120° C．130° D．150°【分析】根據(jù)∠AOF+∠EOF+∠EOD＝∠AOD，得∠AOF+∠EOD＝∠AOD﹣∠EOF，再根據(jù)∠AOD＝150°，∠EOF＝30°即可得出答案．【詳解】解：∵∠EOF在∠AOD的內(nèi)部，∴∠AOF+∠EOF+∠EOD＝∠AOD，∴∠AOF+∠EOD＝∠AOD﹣∠EOF，又∵∠AOD＝150°，∠EOF＝30°，∴∠AOF+∠EOD＝150°﹣30°＝120°，故選：B．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）9．（3分）兩根木條，一根長20cm，一根長24cm，將它們一端重合且放在同一條直線上，此時兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為2或22cm．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離分兩種情況計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)兩條線段一端重合，另一端在同一方向時，此時兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為12﹣10＝2（cm）；當(dāng)兩條線段一端重合，另一端方向相反時，此時兩根木條的中點(diǎn)之間的距離為10+12＝22（cm）；故答案為2或22．10．（3分）過八邊形的一個頂點(diǎn)有5條對角線．【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對角線可直接得到答案．【詳解】解：從八邊形的一個頂點(diǎn)可引出的對角線的條數(shù)為：8﹣3＝5（條）．故答案為：5．11．（3分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，∠DEF＜∠ABC．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】過點(diǎn)E向下作豎直線EG，根據(jù)網(wǎng)格線可得∠ABC＝∠DEG，∠EDG＞∠DEF，即可比較∠DEF和∠ABC的大?。驹斀狻拷猓哼^點(diǎn)E向下作豎直線EG，由網(wǎng)格線可得，∠ABC＝∠DEG＝45°，∵∠EDG＞∠DEF，∴∠DEF＜∠ABC，故答案為：＜．12．（3分）已知：A、B、C是同一直線上的三點(diǎn)，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，若AB＝10，BC＝6，則CD的長為1或11．【分析】分兩種情況討論如下：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得AD＝BD＝5，再根據(jù)CD＝BC﹣BD可得出答案；②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時，同理得AD＝BD＝5，再根據(jù)CD＝BC+BD可得出答案．【詳解】解：分兩種情況討論如下：①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時，如圖1所示：∵AB＝10，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝5，∵BC＝6，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1；②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時，如圖2所示：∵AB＝10，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝5，∵BC＝6，∴CD＝BC+BD＝6+5＝11．綜上所述：線段CD的長為1或11．故答案為：1或11．13．（3分）火車往返于A、B兩個城市，中途經(jīng)過4個站點(diǎn)（共6個站點(diǎn)），不同的車站來往需要不同的車票，共有30種不同的車票．【分析】根據(jù)每條線段就有兩種車票，每兩點(diǎn)就是一條線段，可得答案．【詳解】解：如圖：，車票：AC、CD、DE、EF、FB、AD、AE、AF、AB、CE、CF、CB、DF、DB、EB，BE、BD、FD、BC、FC、EC、BA、FA、EA、DA、BF、FE、ED、DC、CA．火車往返于A、B兩個城市，中途經(jīng)過4個站點(diǎn)（共6個站點(diǎn)），不同的車站來往需要不同的車票，共有30種不同的車票，故答案為：30．三．解答題（共7小題，滿分64分）14．（8分）如圖，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB內(nèi)的一條射線，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OD，若∠AOD=12∠AOB，求∠【分析】（1）根據(jù)∠AOC：∠BOC＝1：2，即可求解；（2）先求出∠COM，再求出∠CON，相加即可求解．【詳解】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，∴∠AOC=13∠AOB=13（2）∵∠AOD=12∠∴∠AOD＝60°，當(dāng)OD在∠AOB內(nèi)時，∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，當(dāng)OD在∠AOB外時，∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．故∠COD的度數(shù)為20°或100°．15．（6分）如圖，已知線段AB＝3cm，延長線段AB到C，使BC＝2AB，延長線段BA到D，使AD：AC＝4：3，點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，求線段BD和AM的長度．【分析】先求出AC＝9cm，則AD＝12cm，得出BD＝15cm，再求出BM的長，即可得出AM的長．【詳解】解：∵AB＝3cm，BC＝2AB，∴BC＝6（cm），∴AC＝AB+BC＝9（cm），∵AD：AC＝4：3，∴AD＝9×43=12∴BD＝AD+AB＝15（cm），∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，∴BM=12BD=15∴AM＝BM﹣AB=152-3=16．（8分）用小棒按下面的方式拼圖形．五邊形個數(shù)拼成的形狀小棒根數(shù)15234……（1）填表，聰明的你從表中發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出來．（2）按規(guī)律拼成10個這樣的五邊形，一共用多少根小棒？請你寫出算式．【分析】（1）由圖示可知，拼1個五邊形，需要小棒根數(shù)：5根；拼2個五邊形，需要小棒根數(shù)：5+4＝9（根）；拼3個五邊形，需要小棒根數(shù)：5+4+4＝13（根）；……有擺n個五邊形，需要小棒根數(shù)：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）．（2）把n＝10代入，即可解答．【詳解】解：（1）拼1個五邊形，需要小棒根數(shù)：5根；拼2個五邊形，需要小棒根數(shù)：5+4＝9（根）；拼3個五邊形，需要小棒根數(shù)：5+4+4＝13（根）；拼4個五邊形，需要小棒根數(shù)：5+4+4+4＝17（根）；……；有拼n個五邊形，需要小棒根數(shù)：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）；（2）當(dāng)n＝10時，所需小棒根數(shù)：4×10+1＝40+1＝41（根）．答：拼成10個這樣的五邊形，一共要用41根小棒．17．（8分）已知點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別為線段AC、BD中點(diǎn)．（1）若AC＝4，BC＝10，求CE的長；（2）若AB＝5CE，且點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)，試探究線段AD與BE之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出CD和DE，根據(jù)題意計(jì)算即可；（2）設(shè)CE＝x，CD＝y(tǒng)，則可以求出AD＝y(tǒng)，BE＝x+y，根據(jù)AB＝5CE，得2x+3y＝5x，所以x＝y(tǒng)，即可得到AD與BE的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)，∴CD=12AC＝∴BD＝CD+BC＝2+10＝12，∵點(diǎn)E為線段BD中點(diǎn)，∴DE=12BD＝∴CE＝DE﹣CD＝6﹣2＝4，∴CE的長為4；（2）如圖2，設(shè)CE＝x，CD＝y(tǒng)，∴DE＝CE+CD＝x+y，∵點(diǎn)D為線段AC中點(diǎn)，∴CD＝AD＝y(tǒng)，∵點(diǎn)E為線段BD中點(diǎn)，∴DE＝BE＝x+y，∴AB＝AD+CD+CE+BE＝2x+3y，∵AB＝5CE，∴2x+3y＝5x，∴x＝y(tǒng)，∴BE＝2y，∴AD=1218．（10分）如圖，已知點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，BE⊥CD于點(diǎn)E．（1）實(shí)踐與操作：請?jiān)趫D1中過點(diǎn)A作CD的垂線，垂足為點(diǎn)F（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）猜想與應(yīng)用：在（1）的條件下，如圖2，若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，試猜想線段ME與MF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可．（2）延長FM交BE的延長線于點(diǎn)N，結(jié)合平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定證明△AFM≌△BNM，可得MF＝MN，即ME是Rt△NEF斜邊上的中線，進(jìn)而可得ME＝MN＝MF．【詳解】解：（1）如圖1，AF即為所求．（2）ME＝MF．理由：如圖2，延長FM交BE的延長線于點(diǎn)N，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∴BE∥AF，∴∠AFM＝∠N，∠FAM＝∠NBM．∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴AM＝BM，∴△AFM≌△BNM（AAS），∴MF＝MN，即ME是Rt△NEF斜邊上的中線，∴ME＝MN＝MF．19．（10分）定義：如圖①，射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖中共有3個角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一個角是另一個角的3倍，則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”．（1）如圖①，若∠AOB＝60°，且射線OC是∠AOB的“巧分線”，則∠AOC的度數(shù)＝15°或20°或40°或45°；（2）如圖②，若∠MPN＝60°，射線PQ繞點(diǎn)P從PN位置開始，以每秒4°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時射線PM繞點(diǎn)P以每秒3°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)PQ與PN第一次成100°角時，射線PQ和射線PM同時停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t秒，求t為何值時，射線PQ是∠MPN的“巧分線”．【分析】（1）根據(jù)“巧分線”定義即可求解；（2）根據(jù)“巧分線”定義分4種情況：當(dāng)∠MPQ＝3∠NPQ時，當(dāng)∠MPN＝3∠NPQ時，當(dāng)∠MPN＝3∠MPQ時，當(dāng)∠NPQ＝3∠MPQ時，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵∠AOB＝60°，且射線OC在∠AOB的“巧分線”，∴∠AOC＝3∠BOC或∠BOC＝3∠AOC或∠AOB＝3∠AOC或∠AOB＝3∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°∴∠AOC＝45°或15°或20°或40°；故答案為：15°或20°或40°或45°（2）根據(jù)題意得：當(dāng)∠MPQ＝3∠NPQ時，則60+3t﹣4t＝3×4t，解得t=當(dāng)∠MPN＝3∠NPQ時，則60+3t＝3×4t，解得t=當(dāng)∠MPN＝3∠MPQ時，則60+3t＝3×（60+3t﹣4t），解得t＝20；當(dāng)∠NPQ＝3∠MPQ時，4t＝3（3t+60﹣4t），解得t=此時∠NPQ=4°×180綜上，當(dāng)t為6013或203或20時，射線PQ是∠20．（11分）新定義：如果∠MON的內(nèi)部有一條射線OP將∠MON分成的兩個角，其中一個角是另一個角的n倍，那么我們稱射線OP為∠MON的n倍分線，例如，如圖1，∠MOP＝4∠NOP，則OP為∠MON的4倍分線．∠NOQ＝4∠MOQ，則OQ也是∠MON的4倍分線．（1）應(yīng)用：若∠AOB＝60°，OP為∠AOB的二倍分線，且∠BOP＞∠POA，則∠BOP＝40°；（2）如圖2，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，OC為直線AB上方的一條射線．①若OP，OQ分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，則∠POQ＝135°；②在①的條件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請寫出計(jì)算過程；若發(fā)生變化，請說明理由．③如圖3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射線恰好是分別為∠AOC和∠BOC的三倍分線，請直接寫出∠AOC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AO