線代b題庫及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\vertA\vert=\)（）-A.-2-B.2-C.10-D.-10答案：A2.向量組\(\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(0,1,0),\alpha_3=(0,0,1)\)是（）-A.線性相關(guān)-B.線性無關(guān)-C.部分線性相關(guān)-D.無法確定答案：B3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(AB=AC\)能推出\(B=C\)，則\(A\)應(yīng)滿足（）-A.\(A\neq0\)-B.\(A=0\)-C.\(A\)可逆-D.\(A\)不可逆答案：C4.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(r(A)=r\)，則齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為（）-A.\(r\)-B.\(n-r\)-C.\(m-r\)-D.\(r(A)+r(A^T)\)答案：B5.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\)是\(A\)的特征值，\(I\)為\(3\times3\)單位矩陣，則\(\vertA-\lambda_1I\vert=\)（）-A.0-B.\(\lambda_2\lambda_3\)-C.\(\lambda_1\lambda_2\lambda_3\)-D.\(\lambda_1\)答案：A6.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)相似，則（）-A.\(A\)與\(B\)有相同的特征值-B.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量-C.\(A\)與\(B\)有相同的秩-D.\(A\)與\(B\)有相同的行列式答案：A7.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\)，則\(A^n=\)（）-A.\(\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}\)-B.\(\begin{pmatrix}n&1\\1&n\end{pmatrix}\)-C.\(\begin{pmatrix}1&1\\0&n\end{pmatrix}\)-D.\(\begin{pmatrix}n&0\\0&n\end{pmatrix}\)答案：A8.設(shè)\(V=\{(x_1,x_2,x_3)\vertx_1+x_2+x_3=0,x_i\inR\}\)，則\(V\)是\(R^3\)的（）-A.子空間-B.不是子空間-C.空集-D.無法確定答案：A9.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-2x_1x_2+4x_2x_3\)的矩陣為（）-A.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)-B.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)-C.\(\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-2\\0&-2&3\end{pmatrix}\)-D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&-2\\0&-2&3\end{pmatrix}\)答案：A10.設(shè)\(\lambda=2\)是可逆矩陣\(A\)的一個特征值，則矩陣\((\frac{1}{2}A^2)^{-1}\)有一個特征值等于（）-A.\(\frac{1}{2}\)-B.\(\frac{1}{4}\)-C.\(\frac{1}{8}\)-D.\(\frac{1}{16}\)答案：C二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的是（）-A.\((AB)^T=B^TA^T\)-B.\((A+B)^T=A^T+B^T\)-C.\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)（\(A,B\)可逆）-D.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)（\(A,B\)可逆）答案：ABC2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(\vertA\vert=0\)，則（）-A.\(A\)的行向量組線性相關(guān)-B.\(A\)的列向量組線性相關(guān)-C.\(Ax=0\)有非零解-D.\(A\)可逆答案：ABC3.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，則下列向量組線性無關(guān)的是（）-A.\(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1\)-B.\(\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)-C.\(\alpha_1-\alpha_2,\alpha_2-\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1\)-D.\(2\alpha_1+\alpha_2,3\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+4\alpha_3\)答案：AB4.設(shè)\(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，則（）-A.\(A\)的特征值為實數(shù)-B.\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量-C.屬于不同特征值的特征向量正交-D.\(A\)一定可以對角化答案：ABCD5.設(shè)\(n\)階方陣\(A\)滿足\(A^2=A\)，則（）-A.\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)-B.\(A+I\)可逆-C.\(r(A)+r(A-I)=n\)-D.\(A\)可對角化答案：ACD6.對于\(n\)維向量空間\(V\)中的向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)，如果（），則稱向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)是\(V\)的一個基。-A.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)線性無關(guān)-B.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)可以線性表示\(V\)中的任意向量-C.\(m=n\)-D.\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\)是單位向量答案：AB7.設(shè)\(A\)是\(m\timesn\)矩陣，\(B\)是\(n\timesm\)矩陣，且\(m>n\)，則（）-A.\(\vertAB\vert=0\)-B.\(r(AB)<m\)-C.\(AB\)是不可逆矩陣-D.\(AB\)的行向量組線性相關(guān)答案：ABCD8.設(shè)二次型\(f(x)=x^TAx\)，其中\(zhòng)(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，則（）-A.二次型\(f(x)\)經(jīng)可逆線性變換\(x=Cy\)后化為\(y^T(C^TAC)y\)-B.存在正交矩陣\(Q\)，使得二次型\(f(x)\)經(jīng)變換\(x=Qy\)后化為標(biāo)準(zhǔn)形\(\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2\)，其中\(zhòng)(\lambda_i\)為\(A\)的特征值-C.二次型\(f(x)\)的正定性由\(A\)的特征值的正負(fù)性決定-D.二次型\(f(x)\)的規(guī)范形是唯一的答案：ABCD9.設(shè)\(\lambda\)是\(n\)階方陣\(A\)的特征值，\(x\)是對應(yīng)的特征向量，則（）-A.\(\lambda^2\)是\(A^2\)的特征值-B.\(\lambda+1\)是\(A+I\)的特征值-C.對于任意常數(shù)\(k\)，\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值-D.\(x\)是\(A^2\)的特征向量答案：ACD10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(r(A)=r\)，則（）-A.\(A\)的行向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)為\(r\)-B.\(A\)的列向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)為\(r\)-C.\(Ax=0\)的解空間的維數(shù)為\(n-r\)-D.存在可逆矩陣\(P,Q\)使得\(PAQ=\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}\)答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(n\)階方陣\(A\)與\(B\)等價，則\(\vertA\vert=\vertB\vert\)。（）答案：錯誤2.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的行向量組線性相關(guān)，則\(A\)的列向量組也線性相關(guān)。（）答案：錯誤3.設(shè)\(A,B\)為\(n\)階方陣，若\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）答案：錯誤4.設(shè)\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)是線性空間\(V\)中的向量，若\(\alpha_1,\alpha_2\)線性相關(guān)，則\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)。（）答案：正確5.設(shè)\(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，則\(A\)的特征向量一定是實向量。（）答案：正確6.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)可逆，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆。（）答案：正確7.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的特征值全為\(0\)，則\(A=0\)。（）答案：錯誤8.設(shè)\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timesm\)矩陣，則\(tr(AB)=tr(BA)\)。（）答案：正確9.設(shè)\(V=\{(x,y)\vertx,y\inR\}\)，定義加法\((x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)和數(shù)乘\(k(x,y)=(kx,ky)\)，則\(V\)是線性空間。（）答案：正確10.設(shè)二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3\)是正定二次型。（）答案：錯誤四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的定義及其判別方法。答案：若存在矩陣\(B\)，使得\(AB=BA=I\)（\(I\)為單位矩陣），則稱矩陣\(A\)可逆。判別方法：（1）\(A\)可逆當(dāng)且僅當(dāng)\(\vertA\vert\neq0\)；（2）\(A\)可逆當(dāng)且僅當(dāng)\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)；（3）\(A\)可逆當(dāng)且僅當(dāng)\(r(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣）等。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？如何求向量組的極大線性無關(guān)組？答案：向量組的極大線性無關(guān)組是向量組的一個部分組，它本身線性無關(guān)，且再添加向量組中的任何一個向量就線性相關(guān)。求法：將向量組構(gòu)成矩陣，通過初等行變換化為階梯形矩陣，首非零元所在列對應(yīng)的原向量組中的向量構(gòu)成極大線性無關(guān)組。3.簡述實對稱矩陣的性質(zhì)。答案：實對稱矩陣的性質(zhì)有：（1）實對稱矩陣的特征值為實數(shù)；（2）實對稱矩陣有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量；（3）屬于不同特征值的特征向量正交；（4）實對稱矩陣一定可以對角化。4.簡述二次型正定的判別方法。答案：判別方法有：（1）二次型\(f(x)=x^TAx\)正定當(dāng)且僅當(dāng)\(A\)的所有特征值都大于\(0\)；（2）二次型\(f(x)\)正定當(dāng)且僅當(dāng)順序主子式都大于\(0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣\(A\)的秩與\(A\)的行向量組、列向量組的關(guān)系。答案：矩陣\(A\)的秩等于\