第18講數(shù)的整除性知識概述知識概述如果整數(shù)a除以不為零的整數(shù)b,所得的商為整數(shù)且沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或b能整除a。如果a能被b整除，那么,b叫做a的因數(shù)，a叫做b的倍數(shù)。下面我們給出數(shù)的整除的幾個重要的性質(zhì)：1.如果數(shù)a、b都能被c整除，則(a+b)與(ab)也能被c整除。2.如果數(shù)a能被b整除，c為整數(shù)，則積ac也能被b整除。3.如果數(shù)a能同時被數(shù)b、c整除，且b、c互質(zhì)，則a一定能被b、c之積整除。例題例題精學例1在□內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)，使六位數(shù)32787□能被4或25整除?！舅悸伏c撥】末位填4這個數(shù)就可以被4整除，填上5就可以被25整除。個數(shù)要能被4或25整除，應該看這個數(shù)的末兩位，而不是像能被2(或5)整除的數(shù)那樣看末位。末兩位是7□,要能被4整除，是否可以填0、2、4、6、8?要能被4整除，0、4和8是不可以填的，只可以填2或6;要能被25整除，就只可以填5。例題例題精學例2六位數(shù)3ABABA是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(A、B可以相同)?【思路點撥】六位數(shù)3ABABA是6的倍數(shù)，就是說它能被6整除，因為6=2x3,所以和能否被2和3整除有關系。要使這個六位數(shù)能被2整除，A可取0,2,4,6,8五個數(shù)。這個六位數(shù)的和是3+A+B+A+B+A=3×(A+1)+2B,3×(A+1)的乘積可以被3整除，2B在B是0,3,6,9的情況下可以被3整除，它們的和也就可以被3整除。例題例題精學例3在865后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能小?！舅悸伏c撥】能被5整除的數(shù)，末位是0或5,要使這個數(shù)盡可能小，就要盡可能地填0。百位數(shù)字和個位數(shù)字一樣，也應選0,這樣，已知的五個數(shù)字和就是8+6+5+0+0=19。19不能被3整除，要使它能被3整除，應該加上2,5,8。還要考慮能被4整除，這個數(shù)的末兩位就要能被4整除，再按題意，要求盡可能小，所以十位上就要填2。例題例題精學例4六位數(shù)12□34□是88的倍數(shù)，這個數(shù)除以88所得的商是多少?【思路點撥】88=8×11,8和11互質(zhì)，也就是說這個六位數(shù)既是11的倍數(shù)也是8的倍數(shù)。一個數(shù)的末三位能被8整除，這個數(shù)就能被8整除，也就是說34□中只能填4。什么樣的數(shù)可以被11整除呢?一個數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差能被11整除，這個數(shù)就能被11整除?，F(xiàn)在奇數(shù)位上是2+3+4=9,偶數(shù)位上是1+□+4=5+□,它們的差是9(5+□)=4□，要使4□能被11整除，這個結(jié)果只能是0,這樣□中就應該填4。例題例題精學例5一個三位數(shù)減去它的各位數(shù)字之和，其差還是一個三位數(shù)73□。問：□里的數(shù)字是幾?【思路點撥】這個三位數(shù)我們可以假設為abc這個三位數(shù)的各位數(shù)字之和就是a+b+c。這樣就可以知道abc和a+b+c之和的差是多少了。abc=100a+10b+c,abc(a+b+c)=100a+10b+c(a+b+c)=99a+9b=(11a+b)×9很明顯，(11a+b)×9一定是9的倍數(shù)，這也說明73□必是9的倍數(shù)，□中填8。同步精練同步精練1.在358的后面補上3個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它分別能被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能小。2.在□里填上合適的數(shù)字，使□895□能被8、9整除。3.有一個四位數(shù)3AA1,它能被9整除。A代表的數(shù)字是幾?4.1～100的自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少?5.用0、1、3、5、7這五個數(shù)字中的四個數(shù)字，可以組成許多能被11整除的四位數(shù)，其中最小的一個四位數(shù)是多少?6.173□是個四位數(shù)。王老師說：“我在這個數(shù)的□中先后填入3個數(shù)，所得的3個四位數(shù)依次能被7、11、6整除?！蓖趵蠋熛群筇钊氲?個數(shù)字的和是多少?7.小王買了3支鉛筆、5支圓珠筆、4本筆記本和3塊橡皮，總共用去20元錢。已知鉛筆4角一支，圓珠筆1元5角一支，筆記本2元4角一本。問，售貨員阿姨的賬有沒有算錯?8.用1、2、3、4、5、6、7、8、9(每個數(shù)字用一次)組成3個能被9整除的三位數(shù)。如果這3個數(shù)的和最大，這3個三位數(shù)是多少?9.一個無重復數(shù)字的五位數(shù)3□6□5能被75整除，這樣的五位數(shù)有哪幾個?課后作業(yè)課后作業(yè)1.在□內(nèi)填上適當?shù)臄?shù)，使六位數(shù)32787□能被4整除。2.在□里填上合適的數(shù)，使□895□能被8、9整除。3.在1～100的自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少?4.有一個四位數(shù)3AA1,它能被9整除。A代表的數(shù)字是幾?5.用0,1,3,5,7這五個數(shù)字中的四個數(shù)字，可以組成許多能被11整除的四位數(shù)，其中最小的一個四位數(shù)是多少?6.四位數(shù)7a2b能被2、3、5整除，求這樣的四位數(shù)。7.173□是個四位數(shù)。王老師說：“我在這個數(shù)的□中先后填入3個數(shù)，所得的3個四位數(shù)依次能被7、11、6整除?！蓖趵蠋熛群筇钊氲?個數(shù)字的和是多少?8.用1,2,3,4,5,6,7,8,9(每個數(shù)字用一次)組成3個能被9整除的和盡可能大的三位數(shù)